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绝密★启用前
2025年高中数学人教（A）版必修一（5.5 三角恒等变换）同步训练
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题(共15题，共45.0分)
1．(3分)sin12°cos18°+cos12°cos72°的值等于（　　）
A. B.
C. D. 1
2．(3分)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称．若，则cos（α-β）=（　　）
A. B.
C. 1 D.
3．(3分)若tan，则=（　　）
A. - B. -3
C. D. 3
4．(3分)=（　　）
A. B. -
C. 2 D. -2
5．(3分)已知，则cos2α=（　　）
A. B.
C. D.
6．(3分)已知，则的值为（　　）
A. B.
C. D.
7．(3分)已知tan（α+β）=4，tan（α-β）=5，则tan2β=（　　）
A. B.
C. D.
8．(3分)关于函数f（x）=2（sinx-cosx）cosx的四个结论：
P1：最大值为；
P2：把函数的图象向右平移个单位后可得到函数f（x）=2（sinx-cosx）cosx的图象；
P3：单调递增区间为[]，k∈Z；
P4：图象的对称中心为（），k∈Z．
其中正确的结论有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9．(3分)已知tanα=2tanβ，则=（　　）
A. B.
C. -3 D. 3
10．(3分)已知，，则cos2αcos2β=（　　）
A. B.
C. D.
11．(3分)设α，β，γ∈，且sinβ+sinγ=sinα，cosα+cosγ=cosβ，则β-α等于（　　）
A. B.
C. 或 D.
12．(3分)函数，其中ω＞0，其最小正周期为π，则下列说法正确的是（　　）
A. ω=2
B. 函数f（x）图象关于点对称
C. 函数f（x）图象向右移φ（φ＞0）个单位后，图象关于y轴对称，则φ的最小值为
D. 若，则函数f（x）的最大值为
13．(3分)=（　　）
A. B.
C. D.
14．(3分)已知函数f（x）=cos2x+bcosx+c,若对任意x1，x2∈R，都有|f（x1）-f（x2）|≤4，则b的最大值为（　　）
A. 1 B. 2
C. 2 D. 4
15．(3分)已知a=sin，b=，c=，则（　　）
A. c＜b＜a B. a＜b＜c C. a＜c＜b D. c＜a＜b
二、多选题(共5题，共15.0分)
16．(3分)对于函数f（x）=sinxcosx,x∈R，则（　　）
A. f（x）的最大值为1 B. 直线为其对称轴
C. f（x）在上单调递增 D. 点为其对称中心
17．(3分)若a=cos15°-sin15°，，c=sin105°cos15°-cos75°sin15°，则（　　）
A. c＜a B. b＜a C. b＜c D. a＜c
18．(3分)已知θ是锐角，那么下列各值中，sinθ+cosθ不能能取得的值是（　　）
A. B.
C. D.
19．(3分)已知α，β满足，且，则（　　）
A. α+β＜π B.
C. β﹣2α＝0 D. tan2α+tan2β＞0
20．(3分)已知f（θ）=sin4θ+sin3θ，且θ1，θ2，θ3是f（θ）在（0，π）内的三个不同零点，则（　　）
A. B.
C. D.
三、填空题(共5题，共15.0分)
21．(3分)已知，，则tanβ= _____．
22．(3分)记A，B，C为△ABC的内角，
①若，则=_____；
②若cosB，cosC是方程5x2-3x-1=0的两根，则sinB sinC=_____．
23．(3分)已知函数在区间上只有1个零点，且当时，f（x）单调递增，则ω的取值范围是 _____．
24．(3分)已知x∈（0，1），y∈（0，+∞），满足，则xy的值是 _____．
25．(3分)设A、B、C是△ABC的三个内角，则3cosA+2cos2B+cos3C的取值范围为 _____．
四、解答题(共5题，共75.0分)
26．(15分)已知函数f（x）=2sin2x+2sinxcosx
（1）求f（）的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．
27．(15分)已知．
（1）求；
（2）若角α为第二象限角，且，求f（α）的值．
28．(15分)已知函数的最小值为-1．
（1）求m的值；
（2）若f（x）的定义域为[0，π]，求f（x）的单调递增区间；
（3）若，，求的值．
29．(15分)已知tan=2，求：
（1）的值；
（2）的值．
30．(15分)已知函数f（x）=sinxcosx-cos2x-．
（ I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）将函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移个单位，得函数F（x）的图象．若a,b,c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a+c=4，且F（B）=0，求b的取值范围．
试卷答案
1．【答案】A
2．【答案】B
【解析】由任意角的三角函数知cosα=cosβ，sinα=-sinβ，再根据两角差的余弦公式，即可得解．
解：由题意得，cosα=cosβ，sinα=-sinβ，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=cos2α-sin2α=2cos2α-1=．
故选：B．
3．【答案】A
【解析】利用诱导公式和二倍角公式对所求式子化简即可求出结果．
解：===-tan=-，
故选：A．
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】D
10．【答案】B
11．【答案】A
12．【答案】C
【解析】利用三角恒等变换及其应用求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的性质逐项判断即可．
解：f（x）=（1-cos2ωx）-sin2ωx+cos2ωx=-（sin2ωx+cos2ωx）+=-sin（2ωx+），其中ω＞0，
∵其最小正周期为π，
∴=π，解得ω=1，A错误；
∵f（）=≠0，B错误；
∵f（x-φ）=-sin[2（x-φ）+]的图象关于y轴对称，
∴-2φ=kπ+（k∈Z），
∴φ=--（k∈Z），又φ＞0，
∴k=-1时，φ取得最小值为，C正确；
若，则2x+∈[，]，f（x）∈[-1，]，
函数f（x）的最大值为，D错误．
故选：C．
13．【答案】A
【解析】先求出cos36°，然后利用=，代入cos36°的值即可求解．
解：因为cos36°sin18°=cos36°cos72°===，
cos36°-sin18°=sin54°-sin18°=sin（36°+18°）-sin（36°-18°）=2cos36°sin18°=，
令x=cos36°，可得sin18°=，
所以x-=，可得x=，可得cos36°=，
=
=
=
=
=
=
=．
故选：A．
14．【答案】C
【解析】化函数f（x）为cosx的二次函数，利用换元法设t=cosx,问题等价于g（t）对任意的t1、t2∈[-1，1]，都有|g（t1）-g（t2）|≤4，即|g（t）max-g（t）min|≤4；再讨论b＞0时，利用二次函数的图象与性质，即可求出b的最大值．
解：函数f（x）=cos2x+bcosx+c=cos2x+bcosx+c-，
设t=cosx,则t∈[-1，1]；
问题等价于g（t）=t2+bt+c-，对任意的t1、t2∈[-1，1]，都有|g（t1）-g（t2）|≤4；
即|g（t）max-g（t）min|≤4，欲使满足题意的b最大，只需考虑b＞0；
当0＜b＜1时，函数g（t）=t2+bt+c-的图象与函数h（t）=t2的图象形状相同；
则|g（t1）-g（t2）|≤2≤4，所以0＜b＜1时显然成立；
当b≥1时，g（t）在t∈[-1，1]上单调递增，
|g（t）max-g（t）min|=g（1）-g（-1）=2b≤4，解得b≤2，所以1＜b≤2；
综上知，b的取值范围是0＜b≤2，最大值是2．
故选：C．
15．【答案】D
【解析】由函数的单调性结合已知条件求解即可．
解：由题意可知，，即b＞c,
又，且当时，令f（x）=sinx-x,
则f′（x）=cosx-1≤0，
所以f（x）=sinx-x在单调递减，
又，
所以，即，
所以，即a＜b,
又因为，而，
所以c＜a,即c＜a＜b,
故选：D．
16．【答案】BD
【解析】利用倍角公式变形，然后逐一分析四个选项得答案．
解：∵f（x）=sinxcosx=，
∴f（x）的最大值为，故A错误；
∵f（）=，∴直线为其对称轴，故B正确；
当x∈时，2x∈[0，π]，则f（x）在上先增后减，故C错误；
∵f（）=，∴点为其对称中心，故D正确．
故选：BD．
17．【答案】BCD
18．【答案】BCD
19．【答案】BCD
【解析】根据平方关系求出cosα，sinβ，再根据两角和的正弦公式即可判断A；根据两角差的余弦公式即可判断B；根据β﹣2α＝（β﹣α）﹣α结合两角差的正弦公式即可判断C；根据二倍角的正切公式即可判断D．
因为，且，所以，
则，所以故A错误；
由，得0＜β﹣α＜π，，所以则，故B正确；
由，，
得，，，
所以β﹣2α＝0，故C正确；
因为，故，故D正确．
故选：BCD．
20．【答案】BCD
【解析】根据题意结合正弦函数的图像性质，解出θ1，θ2，θ3，即可判断选项A、B，将cosθ1cosθ2cosθ3根据诱导公式化为，分子分母同乘，结合倍角公式即可判断C，将cosθ1+cosθ2+cosθ3分子分母同乘，结合积化和差公式进行化简即可判断D．
解：由题知θ1，θ2，θ3是sin4θ+sin3θ=0的三个根，
sin4θ+sin3θ=0可化为sin4θ=-sin3θ，即sin4θ=sin（3θ+π），
所以可得4θ=3θ+π+2kπ或4θ+3θ+π=π+2kπ，k∈Z，
解得θ=π+2kπ或，k∈Z，
因为θ∈（0，π），所以或或，
故可取，，，
所以A错误；
因为，所以B正确；
=
=
==
=，
故C正确；
而
=
=，
根据积化和差公式：，
所以原式可化为：
=
=
=，故D正确．
故选：BCD．
21．【答案】-1
【解析】由tanβ=tan[α-（α-β）]，利用两角差的正切公式，展开运算即可．
解：因为β=α-（α-β），
所以tanβ=tan[α-（α-β）]====-1．
故答案为：-1．
22．【答案】(1)2;(2);
【解析】①由已知得1+sinA=3cosA，再利用sin2A+cos2A=1，即可得出sinA，cosA，代入即可；
②由题知cosB+cosC= ①cosBcosC= ②，将 ①平方得出cos2B+cos2C，再由，乘进去代入即可得出结果
解：①由已知得1+sinA=3cosA＞0，再由sin2A+cos2A=1，联立化简，则
故应填2；
②由题知cosB+cosC= ①
cosBcosC= ②
将①式平方得
得
=
=
故应填
23．【答案】
【解析】利用三角恒等变换得到，根据f（x）在区间上只有1个零点，得到，求出，进而根据时，f（x）单调递增，得到不等式，求出ω≤1，最终求出ω的取值范围．
解：由题意可得
=2（sin+cos）cos-
=
=
=，
又，ω＞0，
故，
因为f（x）在区间上只有1个零点，可得，
所以解得，
当时，可得，
又，可得，可得，
要想当时，f（x）单调递增，则可得，
解得ω≤1，
综上，ω的取值范围是．
故答案为：．
24．【答案】
【解析】f（x）=2ycosπx-+y2+，利用辅助角公式及基本不等式求解即可．
解：x∈（0，1），y∈（0，+∞），
令f（x）=2ycosπx-+y2+=cos（πx+φ）+y2+=2cos（πx+φ）+y2+，其中tanφ==.①
∵f（x）=0，
∴2cos（πx+φ）+y2+=0，
∴-2cos（πx+φ）==≥==2（当且仅当y2=，即y=时取等号），②
∴cos（πx+φ）≤-1，又cos（πx+φ）≥-1，
∴cos（πx+φ）=-1，
∴πx+φ=2kπ+π（k∈Z），
∴φ=2kπ+π-πx（k∈Z），③
由①②③得tanφ=tan（-πx）==1，又x∈（0，1），
∴-πx=-，解得x=，
∴xy=．
故答案为：．
25．【答案】（-，6）
【解析】先利用极限的思想，当A→0，B→π，C→0 时，求出3cosA+2cos2B+cos3C→6，根据三角形内角和为π，消元，把3cosA+2cos2B+cos3C化为-3cos（B+C）+2cos2B+cos3C，构造函数f（C）=3cos（B+C）+2cos2B+cos3C（0＜C＜π-B），求导，分类讨论，研究函数的单调性，即可求出范围．
解：因为A、B、C是△ABC的三个内角，
由题意得当A→0，B→π，C→0 时，3cosA+2cos2B+cos3C→6，
令f（C）=3cosA+2cos2B+cos3C=-3cos（B+C）+2cos2B+cos3C（0＜C＜π-B），
则f′（C）=3sin（B+C）-3sin3C=6cossin，
令f′（C）=0可得C= 或C=或C=，
①当0＜B＜时，有-B，所以，
则f（C）在（0，）单调递增．（，） 单调递减，（，）单调递增，
（，π-B）递减，
∴f（0）=-3cosB+2cos2B+1=4（cosB-）2-＞4（-）2-=-，
f（）=-3cos（ ）+2 cos2B+cos（）=-4cos（ ）+2 cos2B，
令g（B）=-4cos（ ）+2 cos2B，，
则g′（B）=3sin（ ）-4 sin2B，如图所示
则易得g（B）在（0，B1）单调递增，（B1，）单调递减，
又g（0）=2-2，g（）=-1，则f（）＞-1，
又易得f（π-B）=3+2cos2B-cos3B＞0，
∴当 时，有3cosA+2cos2B+cos3C＞；
②当时，由题意得f（C）在（0，） 上单调递增，
∴3cosA+2cos2B+cos3C＞f（0）=，∴此时有3cosA+2cos2B+cos3C＞-3；
③当，所以-＜cosB＜，
f（C）在（0，）单调递增，（，）单调递减，（）单调递增，
∴f（0）=4（cosB-）2-≥-，当cosB=时等号成立，
f（）=2cos2B-2cos=2（8cos4-4cos3--8cos2+3cos+1），
令x=cos∈（，），h（x）=8x4-4x3-8x2+3x+1，
则h'（x）=32x3-12x2-16x+3．h'′（x）=8（12x2-3x-2），
令h′′（x）=0得，∴h′（x）在（，）单调递减， 单调递增，
又，-6＞0，
∴存在唯一x2∈（，），使h′（x2）=0，∴h（x）在（，x2）单调递减，单调递增，
又h′（x2）=32-12-16x2+3=0，
∴=，，
所以h（x）min=h（x2）=2 --8+3x2+1
=，
所以，
所以当 时，有3cosA+2cos2B+cos3C＞-25；
④当 时，f（C）在（0，）上单调递增，（，）上单调递减，
f（0）=，f（）=1，所以此时有3cosA+2cos2B+cos3C＞1；
⑤当＜B＜π时，有，所以-1＜cosB＜-，
则f（C）在（0，）单调递增，（，π-B）单调递减，
而f（π-B）=3+2cos2B-cos3B＞0，f（0）=4（cosB-）2-＞4（--）2-=，
所以此时有3cosA+2cos2B+cos3C＞0．
综上所述，3cosA+2cos2B+cos3C的取值范围为．
故答案为：（-，6）．
26．【解析】（1）将代入求值即可；
（2）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
解：（1）因为f（x）=2sin2x+2sinxcosx
∴；
（2）f（x）=2sin2x+2sinxcosx
=，
由，得
，
∴f（x）的增区间为：．
27．【解析】（1）由题意利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解；
（2）利用同角三角函数基本关系式即可求解．
解：（1）==-cotα，
所以=-cot=-；
（2）若角α为第二象限角，且，
则cosα=-=-，
所以f（α）=-=2．
28．【解析】（1）把函数化成y=Asin（ωx+φ）+b的形式，根据函数的最小值求参数值．
（2）求函数的单调区间，再分析函数在[0，π]上的单调性．
（3）根据条件求出，，再结合二倍角公式和诱导公式求的值．
解：（1）因为=，
又，
又函数的最小值为-1，
则-2+m=-1，
得m=1；
（2）由，k∈Z，
则，k∈Z，
所以函数f（x）在，k∈Z上单调递增，
令k=0，
所以函数f（x）在上单调递增，
令k=1，
函数f（x）在上单调递增，
又x∈[0，π]，
所以函数f（x）在和上单调递增，
故函数的增区间为，
（3）由 ．
因为，
所以，且，
所以，
所以，
所以，
所以==．
29．【解析】（1）利用二倍角公式求出正切函数值，通过两角和与差的正切函数化简求解即可．
（2）利用同角三角函数基本关系式化简求解即可．
解：（1）tan=2，可得tanα==-．
所以：====-．
（2）由（1）tanα=-．
===．
30．【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数f（x），根据三角函数的图象与性质即可求出函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）根据三角函数的图象平移，得出函数F（x）的解析式，再利用余弦定理和基本不等式，结合三角形的三边关系，即可求出b的取值范围．
解：（Ⅰ）函数f（x）=sinxcosx-cos2x-=sin2x-（1+cos2x）-=sin（2x-）-1，
令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，
则kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
所以函数f（x）的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z；
（Ⅱ）函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得函数y=sin（x-）-1的图象，
再向左平移个单位，得函数y=sin（x+-）-1的图象，
所以函数F（x）=sin（x+）-1；
又△ABC中，a+c=4，F（B）=0，
所以，
所以；
由余弦定理可知，
b2=a2+c2-2ac cos=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac≥16-3 =4，
当且仅当a=c=2时取“=”，
所以b≥2；
又b＜a+c=4，
所以b的取值范围是[2，4）．

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