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绝密★启用前
2025年高中数学人教（A）版必修一（5.6 函数y=Asin（ωxφ））同步训练
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题(共15题，共45.0分)
1．(3分)设函数f（x）=sin（ωx+）-1（ω＞0）的导数f′（x）的最大值为3，则f（x）的图象的一条对称轴的方程是（　　）
A. x= B. x=
C. x= D. x=
2．(3分)将函数y=sin（x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴为（　　）
A. x=π B. x=
C. x= D. x=
3．(3分)要得到函数y=cosx的图象，只需将函数y=sin（2x+）的图象上所有的点的（　　）
A. 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
B. 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
C. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
D. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
4．(3分)要得到函数的图象，可以将函数的图象（　　）
A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
5．(3分)将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则ω的值可能是（　　）
A. 11 B. 13 C. 14 D. 15
6．(3分)将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位，得到函数y=g（x）的图象，若|f（x1）-g（x2）|=2时|x1-x2|≥恒成立，将函数g（x）的图象向左平移θ个单位后关于y轴对称，则θ的最小正值是（　　）
A. B.
C. D.
7．(3分)函数的部分图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为等边三角形．若，且x0∈（0，1），则的值为（　　）
A. B.
C. D.
8．(3分)为了得到函数y=cos（2x-）的图象，只要把函数y=cos（2x+）的图象上所有点（　　）
A. 向左平行移动个单位长度
B. 向右平行移动个单位长度
C. 向左平行移动个单位长度
D. 向右平行移动个单位长度
9．(3分)已知函数的图象过点，若要得到一个偶函数的图象，则需将函数f（x）的图象（　　）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
10．(3分)已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（0＜φ＜π）的图象与直线y=2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，若|x2-x1|的最小值为π，且将函数f（x）的图象向右平移个单位得到的函数为奇函数，则函数f（x）的一个递增区间为（　　）
A. B.
C. D.
11．(3分)将函数y=sinx的图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩为原来的后将图象沿y轴正方向平移2个单位，再沿x轴正方向平移个单位，得到的是下列哪个函数的图象（　　）
A. B.
C. y=sin2x+2 D.
12．(3分)如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-对称，那么a等于（　　）
A. B. 1
C. D. -1
13．(3分)已知定义在上的函数满足：为偶函数，且；函数，则当时，函数的所有零点之和为（　　）
A. B.
C. D.
14．(3分)已知函数f（x）=Asinωx+2cosωx（A＞0，ω＞0）的对称轴为，且函数g（x）=f（x）-a在[0，nπ]（n∈N*）内恰有2023个零点，则满足条件的有序实数对（a,n）（　　）
A. 只有2对 B. 只有3对 C. 只有4对 D. 有无数对
15．(3分)已知函数的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（　　）
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数f（2x）的最小正周期为π
D. 当时，函数f（x）的图象与直线y=2围成的封闭图形面积为2π
二、多选题(共5题，共15.0分)
16．(3分)函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A. 函数y=f（x）在单调递减
B. 函数y=f（x）图象关于中心对称
C. 将函数y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）=2sin2x的图象
D. 若f（x）在区间上的值域为，则实数a的取值范围为
17．(3分)已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（　　）
A. 若f（x）的最小正周期为，则ω=4
B. 若f（x）的图象关于点中心对称，则ω=1+3k（k∈N）
C. 若f（x）在上单调递增，则ω的取值范围是
D. 若方程在[0，π]上恰有两个不同的实数解，则ω的取值范围是
18．(3分)已知函数的部分图象如图所示，则（　　）
A.
B. 直线是f（x）的极值点
C. 将函数f（x）的图象上点的横坐标向左平移个单位得到y=sin2x的图象
D. 函数f（x）在上单调递减
19．(3分)函数部分图象如图所示，对不同x1，x2∈[a,b]，若f（x1）=f（x2），都有，则（　　）
A. a+b=π B.
C. D.
20．(3分)下列说法中正确的是（　　）
A. 函数f（x）=Asin（wx+φ）（其中A＞0，w＞0，|φ|＜π）的图像如图所示，则f（）=-
B. 不等式+-x3-5x＞0的解集是（-1，1）
C. 若2a+log2a=4b+2log4b,则a＜2b
D. 已知实数x1，x2满足，x2（lnx2-2）=e5，则x1x2=e5
三、填空题(共5题，共15.0分)
21．(3分)设函数，其中ω＞0．若函数f（x）在[0，2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是_____．
22．(3分)已知函数 的图象关于点 对称，且 ，若 在 上没有最大值，则实数 的取值范围是__________.
23．(3分)已知函数，（i）若ω=1，将函数f（x）沿x轴向右平移单位后得到函数图像关于y轴对称，则φ=_____；（ii）若f（x）在上单调，则ω的最大值为 _____．
24．(3分)关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括2种v变换和4种w变换
v1：模变为原来的倍，同时逆时针旋转90°；
v2：模变为原来的倍，同时顺时针旋转90°；
w1：模变为原来的倍，同时逆时针旋转45°；
w2：模变为原来的倍，同时顺时针旋转45°；
w3：模变为原来的倍，同时逆时针旋转135°；
w4：模变为原来的倍，同时顺时针旋转135°
记集合S={v1，v2，w1，w2，w3，w4}，若每次从集合S中随机抽取一种变换，每次抽取彼此相互独立，经过n次抽取，依次将第i次抽取的变换记为ai（i=0，1，2， ，n），即可得到一个n维有序变换序列，记为Gn（a1，a2， ，an），则以下判断中正确的序号是 _____．
①单位向量经过奇数次v变换后所得向量与向量同向的概率为；
②单位向量经过偶数次w变换后所得向量与向量同向的概率为；
③若单位向量经过G6变换后得到向量，则G6中有且只有2个v变换；
④单位向量经过G6变换后得到向量的概率为．
25．(3分)给出下列四个命题：
①函数f（x）=sin|x|不是周期函数；
②把函数f（x）=2sin2x图象上每个点的横坐标伸长到原来的4倍，然后再向右平移个单位得到的函数解析式可以表示为；
③函数f（x）=2sin2x-cosx-1的值域是[-2，1]；
④已知函数f（x）=2cos2x,若存在实数x1、x2，使得对任意x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值为；
其中正确命题的序号为_____（把你认为正确的序号都填上）．
四、解答题(共5题，共75.0分)
26．(15分)已知函数．
（Ⅰ）用“五点法”作出在函数在一个周期内的图象简图．
（Ⅱ）请描述如何由函数y=sinx的图象通过变换得到y=2sin（2x+）的图象．
27．(15分)已知函数 的图象与 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 ，且过点
求函数 的解析式；
当 时， ，求 的值；
当 时，关于 的方程 恰有两个不同的实数解，求实数 的取值范围．
28．(15分)已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2），若对，使得2f（x1）=g（x2），求实数m的取值范围．
29．(15分)设函数fn（x）=2sin（anx+）（an＞0，n∈N*），其周期为n（n+1），Sn是数列{an}的前n项和．
（Ⅰ）求an，Sn的表达式；
（Ⅱ）设bn=fn（1），求{bn}的最大、最小项的值；
（Ⅲ）在（2）的条件下，证明：bn＜Sn．
30．(15分)已知f（x）=2cos2+sinωx+a的图象上相邻两对称轴的距离为．
（1）若x∈R，求f（x）的递增区间；
（2）若x∈[0，]时，f（x）的最大值为4，求a的值．
试卷答案
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】B
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】B
【解析】直接利用函数的平移变换的应用求出结果．
解：把函数y=cos（2x+）的图象上所有点向右平移个单位，得到函数y=cos（2x-）的图象；
故选：B．
9．【答案】B
10．【答案】A
11．【答案】A
12．【答案】D
13．【答案】A
【解析】因为为偶函数，所以关于对称，
所以当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
……
函数为的图象向左平移个单位，
的图象如下图所示，
均关于对称，有14个交点，
所以函数的所有零点之和为：.
故答案为：A.
14．【答案】B
【解析】根据正弦函数的图象和性质，对实数a进而分类讨论即可求解．
解：函数f（x）=Asinωx+2cosωx=sin（ωx+φ），
由题意知f（x）图象的对称轴方程为，所以周期T=π，解得ω==2．
又因为f（x）的图象关于直线对称，所以f（）=f（0），
即Asin+2cos=2，解得，
所以．
g（x）=f（x）-a的零点个数等价于方程f（x）=a实根的个数．
先研究方程f（x）=a在[0，π]内实根的个数．
当a=±4时，方程f（x）=a在[0，π]内实根的个数为1；
当a∈（-4，2）∪（2，4）时，方程f（x）=a在[0，π]内实根的个数为2；
当a=2时，方程f（x）=a在[0，π]内实根的个数为3，其中在（0，π]内实根的个数为2．
因为f（x）是周期为π的函数，所以当a∈（-4，4）时，在（π，2π]，（2π，3π]，（3π，4π]，…，（2022π，2023π]内方程f（x）=a实根的个数均为2．
因为g（x）=f（x）-a在[0，nπ]（n∈N*）内恰有2023个零点，且2023为奇数，所以a∈（-4，2）∪（2，4）不合题意．
当a=±4时，n=2023；当a=2时，n=1011．所以满足条件的有序实数对（a,n）只有3对．
故选：B．
15．【答案】D
【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
解：函数的部分图象，可得A=2， =-，∴ω=2．
再根据五点法作图可得2 +φ=，∴φ=，f（x）=2sin（2x+）．
令x=-，求得f（x）=-2，为函数的最小值，故A错误；
令x=-，求得f（x）=-1，不是函数的最值，故B错误；
函数f（2x）=2sin（4x+）的最小正周期为=，故C错误；
当时，≤2x+≤，函数f（x）的图象与直线y=2围成的封闭图形为x=、x=、y=2、y=-2构成的矩形的面积的一半，
矩形的面积为π （2+2）=4π，故函数f（x）的图象与直线y=2围成的封闭图形面积为2π，
故D正确，
故选：D．
16．【答案】ACD
17．【答案】AC
18．【答案】AD
19．【答案】BC
【解析】求出函数的周期，结合a,b为相邻两个零点，结合零点与周期的关系进行判断即可．
解：根据函数部分图象如图所示，
所以函数的周期为=π，
故：b-a==，故B正确；由图象知b＞0，a＜0，∴a+b＜b-a=，故A错误；
由图象知A=2，则f（x）=2sin（2x+φ），
在区间[a,b]中的对称轴为x=，
对不同x1，x2∈[a,b]，有f（x1）=f（x2），
∴x1，x2也关于x=对称，则=，
即x1+x2=a+b,
则f（a+b）=f（x1+x2）=，故D不正确，
设t=，则x1+x2=2t,
则f（t）=2，
即2sin（2t+φ）=2，sin（2t+φ）=1，
即2t+φ=2kπ+，k∈Z，即2t=2kπ+-φ，k∈Z，
f（x1+x2）=2sin[2（x1+x2）+φ]=2sin（4kπ+π-2φ+φ）=2sin（π-φ）=2sinφ=，
即sinφ=，
∵|φ|＜，∴φ=，故C正确，
故选：BC．
20．【答案】ACD
【解析】A：根据正弦型函数的周期性，结合代入法进行求解判断即可；
B：根据不等式的形式，构造函数，利用导数，结合函数的单调性进行求解判断即可；
C：构造函数，结合函数的单调性、对数的运算性质进行判断即可；
D：对已知等式进行变形，构造函数，结合导数的性质、函数的单调性进行判断即可．
解：对于A，因为A＞0，由函数图象可知，A=1，
设函数f（x）=Asin（ωx+φ）的最小正周期为T，
所以有，∵ω＞0，∴，
由函数图象可知，，
即，
因为，
，
所以，
因此，故A正确；
对于B，构造函数f（x）=x3+5x,
所以f′（x）=3x2+5＞0，
故f（x）是R上的单调递增函数，
而，
故，
即，
解得-1＜x＜1或x＜-2，故B错误；
对于C，设f（x）=2x+log2x（x＞0），显然该函数单调递增，
，
，
因此，
因为f（x）=2x+log2x（x＞0）单调递增，
所以2b＞a,故C正确；
对于D，由，
由 lnx2-2+ln（lnx2-2）=3，
构造函数是正实数集上的增函数，
f（x1）=f（lnx2-2）=3，
所以必有x1=lnx2-2，
因此，故D正确；
故选：ACD．
21．【答案】[，）
【解析】根据题意，设f（x）在y轴右侧与x轴的第二个交点横坐标为α，第三个交点的横坐标为β，则有ω×α+=2π，ω×β+=3π，解可得α=，β=，结合题意分析可得≤2π＜，解可得ω的值，即可得答案．
解：根据题意，设在y轴右侧与x轴的第二个交点横坐标为α，第三个交点的横坐标为β，
则有ω×α+=2π，ω×β+=3π，
解可得α=，β=，
若函数f（x）在[0，2π]上恰有2个零点，则≤2π＜，
解可得：≤ω＜，
即ω的取值范围为[，）；
故答案为：[，）．
22．【答案】
【解析】
本题考查三角函数图象与性质的应用、最值，属于较难题目.
由已知函数 的图象关于点 对称，且 ，确定出函数的解析式 ，再根据当 时， 函数没有最大值，则 ，即可解答.
解：函数 的图象关于点 对称，
则 ， ，
所以 ， ，①
又 ，
即 ，即 ，
所以 ，
所以 ，②
所以由①②知：当且仅当 时， 成立，
所以 ，
当 时，
因为若 在 上没有最大值，
，解得
故答案为
23．【答案】(1);(2);
【解析】（i）根据辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数图像平移的性质，结合正弦型奇偶性进行求解即可；
（ii）根据正弦型函数单调性与周期性的关系，结合正弦型函数的单调性分类讨论进行求解即可．
解：由题意，
（i）若ω=1，则，由题意可得，
由题意可知，
因为，
所以令k=-1，得；
（ii）由题意可得f（x）的最小正周期，
解得0＜ω≤1，
当函数f（x）在上单调递增时，
由，可得，
则有，
即，
而0＜ω≤1，所以令k1=0，则有；
当函数f（x）在上单调递减时，
由，可得，
则有，
即，
而0＜ω≤1，所以令k2=0，则有，
综上所述：ω的最大值为．
故答案为：，．
24．【答案】①②③
【解析】分别对4个选项进行分类讨论，根据讨论结果判断正确或错误即可．
解：对于①，单位向量经过奇数次v变换后，情况如下：
（1）最终状态为逆时针旋转90°，此时单位向量与向量同向；
（2）最终状态为顺时针旋转90°，此时单位向量与向量逆向；
所以单位向量经过奇数次v变换后，所得向量与向量同向的概率为，
故选项①正确；
对于②，单位向量经过偶数次w变换后，情况如下：
（1）最终状态为逆时针旋转90°，与向量不同向；
（2）最终状态为顺时针旋转90°，与向量不同向；
（3）最终状态为逆时针旋转45°，与向量同向；
（4）最终状态为顺时针旋转945，与向量不同向．
所以单位向量经过偶数次w变换后所得向量与向量同向的概率为，
故选项②正确；
对于③，单位向量经过G6变换后得到向量，
由于与属于逆向关系，即都是单位向量，
经过G6变换后要保证模长不变，因此只能有2个v变换和4个w变换，
故选项③正确；
对于④，单位向量经过G6变换后得到向量，
经过G6变换后要保证模长不变，因此只能有2个v变换和4个w变换，
并且经过G6变换后最终要得到单位向量逆时针旋转180°，
所以其中4次变换要回到单位向量，
由③可知，单位向量经过G6变换后得到向量，
G6中有且只有2个2个v变换，满足题意的这2个v变换的情况有：
（1）v1两次变换；
（2）v2两次变换；
（3）v1和v2各一次变换．
据此讨论这3种情况下的w变换，
故选项④错误．
故答案为：①②③．
25．【答案】①④
【解析】①根据三角函数的周期性进行判断．
②根据三角函数的平移关系进行判断．
③根据三角函数的性质结合一元二次函数的最值进行求解即可．
④根据三角函数的对称性和最值性结合三角函数的周期性进行判断即可．
解：①函数f（x）=sin|x|=是偶函数，关于y轴对称，则函数f（x）不是周期函数，故①正确；
②把函数f（x）=2sin2x图象上每个点的横坐标伸长到原来的4倍，得到y=2sin，
然后再向右平移个单位得到的函数解析式可以表示为y=2sin，故②错误；
③函数f（x）=2sin2x-cosx-1=2（1-cos2x）-cosx-1=-2cos2x-cosx+1
=-2（cosx+）2+，
∴当cosx=-时，函数取得最大值，
当cosx=1时，函数取得最小值-2-1+1=-2，
即函数的值域是[-2，]；故③错误．
④若存在实数x1、x2，使得对任意x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，
则f（x1）为函数f（x）的最小值，f（x2）为函数f（x）的最大值，
则|x1-x2|的最小值为==，故④正确．
故正确的命题是①④，
故答案为：①④．
26．【解析】（Ⅰ）分别令取0，，π，，2π，列表、描点、连线即可作出函数在一个周期内的图象简图；
（Ⅱ）根据三角函数图象的变换原则即可得到函数y=sinx的图象通过变换得到函数的图象的变换过程．
解：（Ⅰ）列表如下：
0 π 2π
x
y 0 2 0 -2 0
函数在一个周期内的图象简图如下所示：
（Ⅱ）先将函数y=sinx的图象向左平移个单位，再将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的，最后将图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，即可得到函数的图象．
27．【答案】详情见解析
【解析】 由题意可求周期，利用周期公式可求 的值，可求 ，结合范围 ，可求 ，即可得解函数解析式．
由已知可求 ，可求范围 ，利用同角三角函数基本关系式可求 ，进而利用诱导公式即可求解．
作出函数 的图象，利用正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了由 的部分图象确定其解析式以及正弦函数的性质即，考查了函数思想和数形结合思想的应用，属于中档题．
解：（1）∵f（x）相邻两个交点之间的距离为 ，
∴T=π= ，
∴ω=2，
∴f（x）=3sin（2x+φ），
∵f（0）=3sinφ= ，
∴sinφ= ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ = ．
（3）作出 图象，可知 ，
28．【解析】（1）由函数图象求得函数的解析式，然后利用正弦函数的性质求解；
（2）分别求得y=2f（x），g（x）的值域为集合A，集合B，根据题意，由B A求解．
解：（1）由题可得A=1，=-（-）=1，
所以T=2，
则，
所以f（x）=sin（πx+φ），
又因为f（）=sin（+φ）=0，
所以+φ=kπ，k∈Z，
所以φ=kπ-，k∈Z，
又因为，
故k=0，；
所以，
令，
解得，
令，
解得，
故函数f（x）的单调递增区间为，
单调递减区间为；
（2）设y=2f（x）的值域为集合A，g（x）的值域为集合B，
根据题意可得：B A，
由（1）可知函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，
所以f（x）max=，f（x）min=，
所以f（x）的值域为，
又，
所以g（x）在[-2，-1]上单调递增，
因为，
所以，
由B A，得，
解得，
所以m的取值范围是．
29．【解析】（Ⅰ）利用三角函数的周期直接求an，利用裂项法即可求解Sn的表达式；
（Ⅱ）利用bn=fn（1）求出bn的表达式，判断三角函数的相位的范围，通过三角函数的最值，直接求{bn}的最大、最小项的值；
（Ⅲ）在（2）的条件下，判断数列{Sn}是增函数数列，然后证明：bn＜Sn．
解：（Ⅰ）由题意可知T==n（n+1），
∴，
∵=，
∴=．
（Ⅱ）bn=fn（1）=2sin（+），
当n=1时，b1=2sin（π+）=-1；
当n≥2时，+≤，
∴＜sin（+）≤1
∴1＜bn≤2，
{bn}的最大、最小项的值分别为2，-1；
（Ⅲ）∵Sn=，
∴=0
∴{Sn}是递推数列，
∴{Sn}min=S1=π，
由于bn＜2＜π≤Sn，
∴bn＜Sn．
30．【解析】利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由f（x）的图象上相邻的两条对称轴的距离是，得到周期为π，进而求出w的值，确定出函数解析式，
（1）由正弦函数的递增区间[-+2kπ，+2kπ]（k∈Z），即可求出f（x）的递增区间；
（2）由确定出的函数解析式，根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出函数的最大值，即可得到a的值．
解：已知f（x）=sinωx+cosωx+a+1=2sin（ωx+）+a+1
由，则T=π=，∴ω=2
∴f（x）=2sin（2x+）+a+1
（1）令-+2kπ≤2x+≤+2kπ
则-+kπ≤x≤+kπ
故f（x）的增区间是[kπ-，kπ+]，k∈Z；
（2）当x∈[0，]时，≤2x+≤
∴sin（2x+）∈[-，1]，
∴fmax（x）=2+a+1=4，∴a=1．

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