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绝密★启用前
2025年高中数学人教（A）版必修一（5.7.1三角函数应用）同步训练
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题(共15题，共45.0分)
1．(3分)敲击如图1所示的音叉时，在一定时间内，音叉上一点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y=Asin400πt.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定A，a的值分别为（　　）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2．(3分)不等式1＜x＜成立是不等式（x-1）tanx＞0成立的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
3．(3分)函数y=sin2x+2cos2x+1的图象和直线在y轴左侧的交点按横坐标从大到小依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于（　　）
A. π B. 2π C. 3π D. 4π
4．(3分)M，N是曲线y=πsinx与曲线y=πcosx的两个不同的交点，则|MN|的最小值为（　　）
A. π B.
C. D. 2π
5．(3分)如图，摩天轮的半径为40m,摩天轮的中心点O距地面的高度为50m,摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面超过70m的时长为（　　）
A. 10min B. 12min C. 14min D. 16min
6．(3分)函数在区间[0，π]上恰有两个最小值点，则ω的取值范围为（　　）
A. B. [2，6）
C. D.
7．(3分)如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m,转盘直径为110m,开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30min.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm,则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是（　　）
A.
B.
C.
D.
8．(3分)图1是某长方体建筑，图2长方体ABCD-A1B1C1D1是该建筑的直观图，点N在AB的延长线上，MN是垂直于地面的测量标杆，高为hm.现测得BC长为am,在M处测得B1点的仰角为α，C1点的仰角为β，则建筑物的高BB1为（　　）（单位：m）
A. B.
C. D.
9．(3分)已知函数，则下列选项正确的是（　　）
A. 函数f（x）的最大值为
B. 函数f（x）的最小值为
C. 函数f（x）的最大值为-3
D. 函数f（x）的最小值为-3
10．(3分)声音是由物体振动产生的声波，我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y=Asinωt.音有四要素：音调、响度、音长和音色，他们都与函数y=Asinωt及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．像我们平时所听到的声音，不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音，我们听到的声音函数是f（x）=sinx+sin4x+…，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是（　　）
A. 函数具有奇偶性
B. 函数在区间上单调递增
C. 若某声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度不一定比纯音的响度大
D. 若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉
11．(3分)若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（　　）
A. （-∞，-1] B. [-1，+∞） C. （-∞，1] D. [1，+∞）
12．(3分)如图，一个摩天轮的半径为18m，12分钟旋转一周，它的最低点P0离地面2m，
∠P0OP1=15°，摩天轮上的一个点P从P1开始按逆时针方向旋转，则点P离地
面距离y（m）与时间x（分钟）之间的函数关系式是（　　）
A. B.
C. D.
13．(3分)某小区南门有条长120米、宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD），路的一侧划有20个长6米、宽2.5米的停车位（如矩形AEFG）．由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，某数学老师向小区物业提供了一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位（如图2所示）．若绿化带被压缩的宽度AM为3米，停车位相对道路倾斜的角度∠E′A′M=θ，其中．按照该老师的设计方案，该路段改造后的停车位比改造前增加的个数为（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
14．(3分)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
15．(3分)已知函数f（x）=|sin2x|+2sinx,则f（x）的值域为（　　）
A. [-2，3] B.
C. D.
二、多选题(共5题，共15.0分)
16．(3分)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A（3，-3）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为（x,y），其纵坐标满足y=f（t）=Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|＜）．则下列叙述正确的是（　　）
A. R=6，ω=，φ=-
B. 当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C. 当t∈[10，25]时，函数y=f（t）单调递减
D. 当t=20时，|PA|=6
17．(3分)图所示为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距水面2米，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离y（米）与时间t（秒）满足关系式y=Asin（ωt+φ）+2，则有（　　）
A. A=5 B.
C. A=3 D.
18．(3分)已知角α为锐角，则（　　）
A. tan（α+90°）＞0 B. sin（α+180°）＜0
C. cos（α-90°）＞0 D. cos（α-180°）＜0
19．(3分)摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t=15时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（　　）
A. 摩天轮离地面最近的距离为4米
B. 若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h=-60cos（t）+68
C. 若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1+t2的最小值为30
D. ヨt1，t2∈[0，20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
20．(3分)一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心、半径为20km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西25km处，为确保轮船没有触礁危险，则该轮船的行驶路线可以是（　　）
A. 南偏西45°方向 B. 南偏西30°方向
C. 北偏西30°方向 D. 北偏西25°方向
三、填空题(共5题，共15.0分)
21．(3分)函数f（x）=sinx+2cosx取得最大值时sinx的值是 _____．
22．(3分)一半径为4m的水轮，水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动（按逆时斜方向）3圈，当水轮上点P从水中浮现时开始计时，即从图中点P0开始计算时间．
（Ⅰ）当t=5秒时点P距离水面的高度为 _____m；
（Ⅱ）将点P距离水面的高度为h（单位：m）表示为时间t（单位：S）的函数，则此函数表达式为h（t）=_____．
23．(3分)若函数f（x）=3sinx-4cosx的定义域为，则f（x）的值域为 _____．
24．(3分)如图，某小区内有一块矩形区域ABCD，其中AB=40米，AD=20米，点E、F分别为AB、CD的中点，左右两个扇形区域为花坛（两个扇形的圆心分别为A、B，半径均为20米），其余区域为草坪．现规划在草坪上修建一个三角形的儿童游乐区，且三角形的一个顶点在线段EF上，另外两个顶点在线段CD上，则该游乐区面积的最大值为 _____平方米．（结果保留整数）
25．(3分)如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离|OA|=3，P0为圆周上一点，且∠AOP0=，点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动．
①1秒钟后，点P的横坐标为 _____；
②t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为 _____．
四、解答题(共5题，共75.0分)
26．(15分)已知f（x）=sin．
（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）当x∈时，求函数f（x）的最大值和最小值．
27．(15分)已知函数f（x）=sin（2x-φ），其中，且y=f（x）的图象过点．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调减区间和对称中心的坐标；
（Ⅲ）若m＞0，函数f（x）在区间[0，m]上最小值为，求实数m的取值范围．
28．(15分)已知函数，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值；
（3）求不等式-1≤f（x）≤1的解集．
29．(15分)如图是一“T”型水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m,东西向渠宽（从拐角处，即图中A，B处开始）．假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）．
（1）在水平面内，过点A的一条直线与水渠的内壁交于P，Q两点，且与水渠的一边的夹角为，将线段PQ的长度l表示为θ的函数；
（2）若从南面漂来一根长为7m的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由．
30．(15分)如图，射线OA和OB均为笔直的公路，扇形OPQ区域（含边界）是规划的生态文旅园区，其中P、Q分别在射线OA和OB上．经测量得，扇形OPQ的圆心角（即∠POQ）为、半径为3千米．根据发展规划，要在扇形OPQ区域外修建一条公路MN，分别与射线OA、OB交于M、N两点，并要求MN与扇形弧PQ相切于点T（T不与P，Q重合）．设∠POT=α（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计．
（Ⅰ）试将公路MN的长度表示为α的函数；
（Ⅱ）已知公路每千米的造价为2000万元，问建造这样一条公路MN，至少要投入多少万元？
试卷答案
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】C
【解析】|MN|的最小值即一个周期内两个交点的距离；列出方程求出两个交点坐标，据两点的距离公式求出|MN|的最小值．
解：要求|MN|的最小值在，只要在一个周期内解即可
∵πsinx=πcosx 解得x=或x=
得到两个点为（，）和（）
得到|MN|==
故选：C．
5．【答案】B
6．【答案】A
7．【答案】B
【解析】根据题意，设H（t）=Asin（ωt+φ）+B（0≤t≤30），进而结合题意求解即可．
解：根据题意设，H（t）=Asin（ωt+φ）+B（0≤t≤30），
因为某摩天轮最高点距离地面高度为120m,转盘直径为110m,
所以，该摩天轮最低点距离地面高度为10m,
所以，解得A=55，B=65，
因为开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30min,
所以，，解得，
因为t=0时，H（0）=10，故10=55sinφ+65，即sinφ=-1，解得，
所以，．
故选：B．
8．【答案】B
9．【答案】C
10．【答案】C
11．【答案】D
12．【答案】D
13．【答案】B
14．【答案】C
【解析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．
故选：C．
15．【答案】B
16．【答案】ABD
【解析】求出圆的半径，利用周期求出ω，通过三角函数的解析式求解初相，求出函数的最值以及正弦函数的单调性判断求解即可．
解：由题意，R==6，T=60=，∴ω=，
点A（3，-3）代入可得-3=6sinφ，∵|φ|＜），∴φ=-．故A正确；
f（t）=6sin（t-），当t∈[35，55]时，t-∈[π，]，∴点P到x轴的距离的最大值为6，正确；
当t∈[10，25]时，t-∈[π，]，函数y=f（t）单调递减，不正确；
当t=20时，t-=，P的纵坐标为6，|PA|==6，正确，
故选：ABD．
17．【答案】BC
【解析】根据关系式y=Asin（ωt+φ）+2，以及水轮与水面的关系可得ω和A．
解：因为y=Asin（ωt+φ）+2的图象最高点离水面的距离为5，
所以A=3，A错误，C正确；
又因为水轮每分钟旋转4圈，转动一周为一个周期，所以T=15秒，
则ω==，B正确，D错误．
故选：BC．
18．【答案】BCD
【解析】利用三角函数中象限角的三角函数值的正负可得答案．
解：因为角α为锐角，所以90°＜α+90°＜180°，α+90°为第二象限角，
则tan（α+90°）＜0，A错误；
同理，180°＜α+180°＜270°，α+180°为第三象限角，则sin（α+180°）＜0，B正确；
-90°＜α-90°＜0°，α-90°为第四象限角，则cos（α-90°）＞0，C正确；
-180°＜α-180°＜-90°，α-180°为第三象限角，则cos（α-180°）＜0，D正确．
故选：BCD．
19．【答案】BC
20．【答案】BCD
【解析】以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，1km为单位长度，建立直角坐标系，再数形结合求解轮船航线所在直线的方程与受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程相切的临界条件，再逐个选项判断即可．
解：如图，以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，1km为单位长度，建立如图所示的直角坐标系，
则轮船所在的位置为A（25，0），受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为x2+y2=400，
设轮船航线所在直线的方程为y=k（x-25），即kx-y-25k=0，
由，得或．
因为，所以该轮船的行驶路线可以是南偏西30°方向，北偏西30°方向，
北偏西25°方向．
故选：BCD．
21．【答案】
【解析】结合正弦的两角和公式，以及正弦函数的性质，即可求解．
解：f（x）=sinx+2cosx=，
令cosθ=，sinθ=，
故f（x）=，
当x+时，f（x）取得最大值，
此时sinx=．
故答案为：．
22．【答案】(1);(2);
【解析】（Ⅰ）利用直角三角形的边角关系，即可求出5秒后点P离开水面的距离；（Ⅱ）由题意求ω值，结合t=0的情况可求出φ的值，即得函数解析式．
解：（Ⅰ）t=5秒时，水轮转过角度为，
在Rt△MOP0中，MP0=2，∴；
在Rt△AON中，，∴，
此时点A（P）离开水面的高度为；
（Ⅱ）由题意可知，，
设角是以Ox为始边，OP0为终边的角，
由条件得，其中；
将t=0，h（0）=0代入，得4sinφ+2=0，
∴；
∴所求函数的解析式为．
故答案为，．
23．【答案】[-4，3]
【解析】根据正弦函数、余弦函数的单调性求解即可．
解：函数y=cosx在上单调递减，
所以y=-4cosx在上单调递增，
又函数y=sinx在上单调递增，
所以f（x）=3sinx-4cosx在上单调递增，
函数f（x）=3sinx-4cosx的定义域为，
所以，
所以f（x）的值域为[-4，3]．
故答案为：[-4，3]．
24．【答案】137
【解析】游乐区为△PMQ，当M在EF上移动时，让PQ最大，则△PMQ的面积最大，即PM、QM与圆弧相切，
由对称性，求出Rt△PMF面积的最大值，即可求解，设∠MAE=θ，θ∈[0，），由此求出ME，MF，PD，PF，求解即可．
解：游乐区为△PMQ，当M在EF上移动时，让PQ最大，则△PMQ的面积最大，即PM、QM与圆弧相切，
由对称性知，在Rt△PMF中，设∠MAE=θ，θ∈[0，），
则ME=20tanθ，MF=20-20tanθ，PD=20tan（-θ），PF=20-20tan（-θ），且S△PMQ=2S△PMF，
S△PMF=PF MF=（20-20tanθ）[20-20tan（-θ）]=200（1-tanθ）（1-）=400 ，
其中θ∈[0，），tanθ∈[0，1）；
设1+tanθ=t,则tanθ=t-1，t∈[1，2）；
则S△PMF=400 =-400（t+-3），
因为t+∈[2，3），所以t+-3∈[2-3，0）；
所以S△PMF的最大值为-400（2-3）=1200-800，
所以△PMQ的最大值为2400-1600=800（3-2）≈137，
即该游乐区面积的最大值为137平方米．
25．【答案】(1)-;(2)，t≥0;
【解析】①1秒钟后，点P从P0处开始绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动，旋转了半周，此时点P与P0关于原点对称；②由题意，周期为2，则t秒钟后，旋转角为πt,故可求点P的横坐标，从而求出点P到直线l的距离．
解：①1秒钟后，点P从P0处开始绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动，旋转了半周，此时点P与P0关于原点对称，从而点P的横坐标为；
②由题意，周期为2，则t秒钟后，旋转角为πt,则此时点P的横坐标为，所以点P到直线l的距离为，t≥0．
故答案为；，t≥0．
26．【解析】（1）根据已知条件，结合周期公式，以及正弦函数对称轴的性质，即可求解；
（2）结合正弦函数的单调性，即可求解；
（3）结合x的取值范围，以及正弦函数的有界性，即可求解．
解：（1）f（x）=sin，
最小正周期T==π，
令2x+=kπ+，k∈Z，则x=+，k∈Z，
∴函数f（x）图象的对称轴方程是x=+，k∈Z；
（2）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，则kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
故f（x）的单调增区间为，k∈Z；
（3）当x∈时，≤2x+≤，
∴-1≤sin≤，
∴-≤f（x）≤1，
故函数f（x）的最大值为1，最小值为-．
27．【解析】（Ⅰ）根据f（）=0列式得到关于φ的等式，结合求出φ的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin（2x-），从而根据正弦函数的单调区间公式与正弦曲线的对称中心坐标公式，算出所求答案；
（Ⅲ）根据题意，f（0）=恰好是最小值，因此可得f（m）≥且区间[0，m]的长度小于一个周期，由此建立关于m的不等式，解出实数m的取值范围．
解：（Ⅰ）根据题意得f（）=sin（-φ）=0，结合，可得φ=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，得f（x）=sin（2x-），
令2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
所以f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，
由2x-=kπ，k∈Z，得x=+，可得f（x）图象的对称中心的坐标为（+，0），k∈Z；
（Ⅲ）当0≤x≤m时，-≤2x-≤2m-，
因为f（0）=，且f（x）在区间[0，m]上的最小值为，
所以f（m）≥且m＜T，即2m-≤，解得m，可得实数m的取值范围是（0，]．
28．【解析】（1）由y=Acos（ωx+φ）的性质求周期，结合余弦函数单调性得减区间；
（2）求出的范围，再结合余弦函数的性质得最值；
（3）由余弦函数的性质解不等式．
解：（1）函数，
f（x）的最小正周期，
当，即，k∈Z时，f（x）单调递减，
∴f（x）的单调递减区间是，k∈Z．
（2）∵，则，
故，
∴，此时，即，
f（x）min=-1，此时，即．
（3），即，
所以或，k∈Z，
即或，k∈Z，
所以不等式的解集为．
29．【解析】（1）求出PA，QA，即可将线段PQ的长度l表示为θ的函数；
（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．
解：（1）由题意，，，
所以l=PA+QA，即（）．…（4分）
（2）设，．
由，…（6分）
令f'（θ）=0，得． …（8分）
且当θ∈（0，θ0），f'（θ）＜0；当，f'（θ）＞0，
所以，f（θ）在（0，θ0）上单调递减；在上单调递增，
所以，当θ=θ0时，f（θ）取得极小值，即为最小值．…（10分）
当时，，，
所以f（θ）的最小值为，…（12分）
即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为m.
因为，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．…（14分）
30．【解析】（Ⅰ）根据相切关系与直角三角形的边角关系，用α的三角函数值表示出MN的值；
（Ⅱ）用三角恒等变换化简MN的解析式，根据三角函数的图象与性质求得MN的最小值，再计算建造这条公路至少要投入的资金．
解：（Ⅰ）因为MN与扇形弧PQ相切于点T，所以OT⊥MN，
在Rt△OTM中，因为OT=3，所以MT=3tanα，
在Rt△OTN中，∠NOT=-α，所以NT=3tan（-α），
所以MN=3tanα+3tan（-α）（千米），其中＜α＜；
（Ⅱ）MN=3tanα+3tan（-α）
=3（+）
=3
=
=
=
=
=
=，
∵＜α＜，∴＜2α-＜，
∴2α-=时，MN取得最小值6，
∴建造这样一条公路MN，至少要投入2000×6=12000万元．

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