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2025年高中数学人教（A）版必修一（5.7.3三角函数的最值）同步训练
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题(共15题，共45.0分)
1．(3分)函数f（x）=cos2x+sinx+（x）的最大值为（　　）
A. 2 B. +
C. + D. 5/4
2．(3分)函数的最大值是（　　）
A. 1 B. 0
C. -1 D.
3．(3分)若函数在[0，π]上的最小值是-1，则实数m的值为（　　）
A. 1 B. -1
C. 0 D.
4．(3分)函数y=2cos2x+6sinx+1的最大值为（　　）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
5．(3分)关于x的不等式2cos2x＞a-4sinx在区间（n，m）上恒成立，m-n的最大值为，则实数a的取值范围（　　）
A. B.
C. a≤-7 D. a=-7
6．(3分)函数y=1-sinx的最大值为（　　）
A. 1 B. 0 C. 2 D. -1
7．(3分)函数f（x）=cos24x-3sin24x的最小值和最小正周期分别为（　　）
A. B.
C. D.
8．(3分)若ω＞0，函数f（x）=3sinωx+4cosωx（）的值域为[4，5]，则的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
9．(3分)设函数.若对任意的实数都成立，则的最小值为
A. B.
C. D. 1
10．(3分)已知函数f（x）=sinωx（ω∈R）是上的增函数，且满足，则的值组成的集合为（　　）
A. B.
C. D.
11．(3分)已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则ω的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
12．(3分)已知函数，过点，，则且当，且的最大值为，则m的值为（　　）
A. B.
C. 和 D. 和
13．(3分)已知函数f（x）=cos2x+bcosx+c,若对任意x1，x2∈R，都有|f（x1）-f（x2）|≤4，则b的最大值为（　　）
A. 1 B. 2
C. 2 D. 4
14．(3分)已知函数f（x）=|sin2x|+2sinx,则f（x）的值域为（　　）
A. [-2，3] B.
C. D.
15．(3分)函数f（x）=sin（2x+）在区间[t上的最大值与最小值之差的取值范围是（　　）
A. [] B. [1，]
C. [，1] D. [1，]
二、多选题(共5题，共15.0分)
16．(3分)已知a＞0，b＞0，函数f（x）=a|sinx|+b|cosx|，则下列结论一定正确的是（　　）
A. f（x）的图象关于y轴对称
B. f（x）的最小正周期为π
C. f（x）的最大值为
D. f（x）在上的最小值为a
17．(3分)已知函数f（x）=sinx+，则（　　）
A. f（x）的最小正周期为π
B. f（x）的最小值为0
C. y=f（x）的图象关于点（π，1）对称
D. y=f（x）的图象关于直线x=对称
18．(3分)关于函数 ，下列结论正确的是
A. 是偶函数 B. 在区间 单调递减
C. 在 有 个零点 D. 的最小值为
19．(3分)已知函数，则（　　）
A. f（x）的图象关于对称 B. f（x）的最小正周期为
C. f（x）的最小值为1 D. f（x）的最大值为
20．(3分)已知函数f（x）=sinx+|cos2x|，则下列说法正确的是（　　）
A. 2π是f（x）的一个周期
B. f（x）的最小值是-2
C. 存在唯一实数a∈（0，2），使得f（x+a）是偶函数
D. f（x）在[0，π]上有3个极大值点
三、填空题(共5题，共15.0分)
21．(3分)已知f（x）=asinx+bcosx的最大值为ab,则+的最小值为_____．
22．(3分)对任意闭区间 ， 表示函数 在区间 上的最大值，则 ______，若 ，则 的值为 ______.
23．(3分)已知函数，则f（x）的最大值是 _____；若f（x）在[0，π]上垥有3个零点，则ω的取值范围是 _____．
24．(3分)已知函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0），若集合{x∈（0，π）|f（x）=-1}含有4个元素，且关于t的方程cos2t-2sint+2-ω=0在上有解，则实数ω的取值范围是 _____．
25．(3分)关于x的不等式（sinx+1）|sinx-m|+≥m对x∈[0，]恒成立，则实数m的取值范围是_____．
四、解答题(共5题，共75.0分)
26．(15分)已知函数f（x）=2cos（4x-）．
（1）求函数f（x）的最大值以及相应的x的取值集合；
（2）若直线x=m是函数f（x）的对称轴，求实数m的值．
27．(15分)已知f（x）=2sin（2x+）-．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若x∈（0，），求f（x）的值域．
28．(15分)已知函数f（x）=cos2（x-x.
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，]，都有f（x）≤c,求实数c的取值范围．
29．(15分)设关于x的函数y=2cos2x-2acosx-（2a+1）的最小值为f（a），试确定满足的a的值，并对此时的a值求y的最大值及对应x的集合．
30．(15分)△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若B=60°，a=（-1）c.
（1）求角A的大小；
（2）已知S△ABC=6+2，求函数f（x）=cos2x+asinx的最大值．
试卷答案
1．【答案】A
2．【答案】B
【解析】画出余弦函数在[]的图象，利用数形结合即可求解．
解：观察函数y=cosx在区间上的图象可知最大值是0，
故选：B．
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】D
9．【答案】C
【解析】利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可．
解：函数f（x）=cos（ωx﹣ ）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，可得： ，解得 ，
则ω的最小值为：．
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数的最值的求法与应用，考查转化思想以及计算能力．
10．【答案】A
11．【答案】A
12．【答案】B
【解析】求出f（x）的解析式，求出g（x）的解析式，结合x的范围以及二次函数的性质求出函数的最大值，得到关于m的方程，解出即可．
解：∵，过点，，
∴函数f（x）的最小正周期为T=4（-）=π，
∵T=（ω＞0），∴=π，解得：ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），
∵函数f（x）过点，
∴2sin（+φ）=2，即sin（+φ）=1，
∴+φ=2kπ+，k∈Z．
∴φ=2kπ-，k∈Z，
∵|φ|＜，∴φ=-，
∴f（x）=2sin（2x-），
∴g（x）=2mf（x）+sin（4x+）
=4msin（2x-）+cos2（2x-）
=-2sin2（2x-）+4msin（2x-）+1，
∵x∈[，]，∴2x∈[，]，
∴2x-∈[0，]，
∴0≤sin（2x-）≤1，
令t=sin（2x-），
则y=-2t2+4mt+1=-2（t-m）2+2m2+1，0≤t≤1，
当m≥1时，函数的最大值是4m-1，
由已知得4m-1=，解得：m=（舍），
当m≤0时，函数的最大值是1，不满足已知条件，
当0＜m＜1时，函数的最大值是2m2+1，
由已知得2m2+1=，解得：m=或m=-（舍），
综上，m=，
故选：B．
13．【答案】C
【解析】化函数f（x）为cosx的二次函数，利用换元法设t=cosx,问题等价于g（t）对任意的t1、t2∈[-1，1]，都有|g（t1）-g（t2）|≤4，即|g（t）max-g（t）min|≤4；再讨论b＞0时，利用二次函数的图象与性质，即可求出b的最大值．
解：函数f（x）=cos2x+bcosx+c=cos2x+bcosx+c-，
设t=cosx,则t∈[-1，1]；
问题等价于g（t）=t2+bt+c-，对任意的t1、t2∈[-1，1]，都有|g（t1）-g（t2）|≤4；
即|g（t）max-g（t）min|≤4，欲使满足题意的b最大，只需考虑b＞0；
当0＜b＜1时，函数g（t）=t2+bt+c-的图象与函数h（t）=t2的图象形状相同；
则|g（t1）-g（t2）|≤2≤4，所以0＜b＜1时显然成立；
当b≥1时，g（t）在t∈[-1，1]上单调递增，
|g（t）max-g（t）min|=g（1）-g（-1）=2b≤4，解得b≤2，所以1＜b≤2；
综上知，b的取值范围是0＜b≤2，最大值是2．
故选：C．
14．【答案】B
15．【答案】D
【解析】当函数f（x）在区间[t上单调时，最大值与最小值之差有最大值，当对称轴x=t0在区间内部时，讨论可得最大值与最小值之差的最小值．
解：当对称轴不在[t上时，函数f（x）在[t上单调，不妨设函数f（x）在[t上单调递增，
设函数f（x）=sin（2x+）在区间[t上的最大值与最小值之差为g（t），
则g（t）=f（t）-f（t-）=sin（2t+）-sin[2（t-）+）=sin（2t+）+cos（2t+）=，
当对称轴在区间[t上时，不妨设对称轴上取得最大值1，则函数f（x）的最小值为f（t-）或f（t），
显然当对称轴经过区间[t中点时，g（t）有最小值，
不妨设2×+=+2kπ，k∈Z，
则t=，k∈Z，
f（t）=sin[2（）+]=sin（+2kπ）=，
∴g（t）的最小值为1-，
综上，函数f（x）=sin（2x+）在区间[t上的最大值与最小值之差的取值范围是[1-，]，
故选：D．
16．【答案】AC
17．【答案】BD
【解析】由f（x+π）≠f（x），判断A的正误；求出f（x）的最小值，判断出B的正误；由f（2π-x）+f（x）≠2，判断C的正误；由f（π-x）=f（x），判断D的正误，即可得到本题的答案．
【解答】解：因为，
所以π不是f（x）的周期，A错误；
对于B，由sinx≥-1，，得，
当sinx=-1时取“=”，故f（x）的最小值为0，B正确；
对于C，f（2π-x）=sin（2π-x）+=-sinx+，
可得f（2π-x）+f（x）=，故f（x）的图象不关于点（π，1）对称，C错误；
对于D，f（π-x）=sin（π-x）+=sinx+=f（x），
可知f（x）的图象关于直线x=对称，故D正确．
故选：BD．
18．【答案】AC
【解析】本题考查函数的奇偶性及单调性，同时考查辅助角公式及函数 的图象与性质，属于中档题.
利用函数 的图象与性质逐一分析求解即可.
19．【答案】ACD
【解析】直接利用函数的关系式的变换和函数的性质的应用求出结果．
解：函数，
对于A：f（π-x）==，故A正确；
对于B：由于f（π+x）==，故函数的最小正周期为π，故B错误；
对于C：由于，所以f2（x）=|sin|+|cos+2|
=+，当sinx=0时，f（x）min=1，故C正确；
对于D：由于，所以f2（x）=|sin|+|cos+2|
=+，当sinx=±1时，f（x）取得最大值为，故D正确．
故选：ACD．
20．【答案】ACD
【解析】对于A，根据周期的定义验证即可；对于B，根据正弦函数的有界性和绝对值的意义即可判断；对于C，当且仅当a=时，利用诱导公式即可判断；对于D，分类讨论，去绝对值，求导，分析导函数的符号，确定原函数的单调性，求得极值点的个数，即可判断．
解：对于A，f（x+2π）=sin（x+2π）+|cos2（（x+2π）|=sinx+|cos2x|=f（x），
所以2π是f（x）的一个周期，故A正确；
对于B，sinx≥-1，|cos2x|≥0，故B错误；
对于C，a∈（0，2），使得f（x+a）是偶函数，
当且仅当a=时，f（x+a）是偶函数，故C正确；
对于D，当0≤x≤或≤x≤π时，cos2x≥0，
f（x）=sinx+cos2x=-2sin2x+sinx+1=-2（sinx-）2+，
当sinx=时，f（x）取极大值，此时x的值有2个，
即f（x）的极大值点有2个；
当＜x＜时，sinx＞0，f'（x）=cosx+2sin2x=4sinxcosx+cosx
=cosx（4sinx+1）=0，得x=，
当＜x＜时，f'（x）＞0，当＜x＜时，f'（x）＜0，
所以f（x）在（，）单调递增，在（，）上单调递减，
故x=是函数f（x）的极大值点．
综上所述，f（x）在[0，π]上有3个极大值点，故D正确．
故选：ACD．
21．【答案】17
【解析】化简可知，再利用基本不等式即可求得最小值．
解：，最大值为，故，整理可得，
则=，
当且仅当a2=3b2=4时，取得等号，故+的最小值为17．
故答案为：17．
22．【答案】1
【解析】解：由 的定义可知， 表示 上的最大值，
当 时， ，
所以当 时， 有最大值为 ，
所以 ；
由题意得：
当 ，可得 ，不成立；
当 ，可得 ，所以 ， ；
当 ，不满足 ；
当 ，不满足
所以 的值为 ，
故答案为： ；
分 在不同的区间进行讨论，得出符合条件的 的值即可．
本题考查了三角函数的最值问题，属于中档题．
23．【答案】(1);(2){ω|};
【解析】第一空，由二倍角公式、两角和的正弦公式化简函 数式，即可得到结果；
第二空，根据第一空结合题意求得整体的范围，结合正弦函数的零点得出不等关系，从而得到参数范围．
解：，
即，
即，
又因为，
所以f（x）的最大值为，
因为x∈[0，π]，
所以，
因为在[0，π]上恰有3个零点，
所以，
即{ω|}．
24．【答案】（，4）
【解析】函数的关系式是正弦型函数，结合三角函数的图象和性质进行求解即可．
解：函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0），
由集合{x∈（0，π）|f（x）=-1}含有4个元素，
得2sin（ωx-）=-1，即sin（ωx-）=-，
即ωx-=-+2kπ，或ωx-=+2kπ，
即x=+或x=+，k∈Z，
设y=-1与y=f（x）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，
则xA=+，xB=+，
∵f（x）=-1在（0，π）上有且只有四个交点，
则xA＜π≤xB，
即+＜π≤+，
得＜ω≤，
又cos2t-2sint+2-ω=0在上有解，
所以ω=1-sin2t-2sint+2=-（sint+1）2+4∈（0，4），
所以实数ω的取值范围是（，4）．
故答案为：（，4）．
25．【答案】（-∞，]∪[，+∞）
【解析】通过对m范围的讨论，去掉绝对值符号，通过构造函数，利用函数性质解决恒成立问题，即可求得实数m的取值范围．
解：∵x∈[0，]，
∴sinx∈[0，1]，
当m＞1时，原不等式可化为：（sinx+1）（m-sinx）+≥m,
整理得：msinx-sin2x-sinx+≥0恒成立；
令sinx=t（0≤t≤1），
g（t）=-t2+（m-1）t+，
要使g（t）=-t2+（m-1）t+≥0（0≤t≤1）恒成立，
必须，即，
解得m≥；①
当m＜0时，原不等式可化为：（sinx+1）（sinx-m）+≥m,
整理得：sin2x-（m-1）sinx-2m+≥0，
令h（t）=t2-（m-1）t-2m+≥0（0≤t≤1），
要使t2-（m-1）t-2m+≥0（0≤t≤1）恒成立，
应有，解得：m≤，
∴m＜0；②
当0≤m≤1时，（sinx+1）|sinx-m|+≥m对x∈[0，]恒成立 m≤（sinx+1）|sinx-m|+恒成立，
令t（x）=（sinx+1）|sinx-m|+，
m≤t（x）min，当sinx=m时，t（x）min=，
∴m≤，又0≤m≤1，
∴0≤m≤；③
由①②③得：m≤或m≥，
∴实数m的取值范围是：（-∞，]∪[，+∞）．
故答案为：（-∞，]∪[，+∞）．
26．【解析】（1）根据余弦函数的性质可得f（x）的最大值和相应的x的取值集合；
（2）求解函数的对称轴，可得m的值．
解：（1）∵f（x）=2cos（4x-）．
∴f（x）的最大值为2．此时4x-=2kπ，
则x的取值集合为{x|x=，（k∈Z）}
（2）函数f（x）=2cos（4x-）．
令4x-=kπ（k∈Z），则x=+（k∈Z）．
∵x=m是函数f（x）的对称轴，
∴m=+（k∈Z）．
27．【解析】（1）根据正弦函数的性质求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性求出函数的最值，从而求出函数的值域即可．
解：（1）由函数y=sinx在[-+2kπ，+2kπ]上单调递增，在[+2kπ，+2kπ]上单调递减，k∈Z，
得y=sin（2x+）在[-π+kπ，+kπ]上单调递增，在[+kπ，+kπ]上单调递减，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间是[-π+kπ，+kπ]，递减区间是[+kπ，+kπ]，k∈Z；
（2）T==π，由（1）知f（x）在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，
故f（x）max=f（）=2-，f（x）min＞min[f（0）或f（）]=f（）=1-，
故函数f（x）的值域是（1-，2-]．
28．【解析】（Ⅰ）由条件利用二倍角的余弦公式求出的值．
（Ⅱ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式为，由x的范围求出角的范围，可得f（x）的最大值，可得实数c的取值范围．
解：（Ⅰ）∵函数，∴． …（5分）
（Ⅱ）∵…（7分）
= …（8分）
=． …（9分）
因为 ，所以 ，…（10分）
所以当 ，即 时，f（x）取得最大值． …（11分）
所以 ，f（x）≤c等价于 ．
故当 ，f（x）≤c时，c的取值范围是． …（13分）
29．【解析】利用换元法，令cosx=t,t∈[-1，1]，把原函数化为关于t的二次函数，由对称轴所在的区间分类求最小值，由最小值等于求解a的值为-1，把a=-1代入原函数求得y的最大值，并得到相应的x的取值集合．
解：令cosx=t,t∈[-1，1]，
则y=2t2-2at-（2a+1），对称轴，
当，即a＜-2时，[-1，1]是函数y的递增区间，；
当，即a＞2时，[-1，1]是函数y的递减区间，，
解得，与a＞2矛盾；
当，即-2≤a≤2时，
解得a=-1，或a=-3（舍），
∴a=-1，此时ymax=-4a+1=5，x∈{x|x=2kπ，k∈Z}．
30．【解析】（1）利用正弦定理，以及三角形的内角和，直接求出角A的大小；
（2）利用S△ABC=6+2，求出a,然后化简函数f（x）=cos2x+asinx为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最大值．
解：（1）因为B=60°，所以A+C=120°，C=120°-A
因为a=（-1）c,由正弦定理可得：sinA=（ ）sin C
sinA=（ ）sin（）=（）（sincosA-cossinA）=（）（cosA+sinA），
整理可得：tanA=1 所以，A=45°（或）
（2）因为 S△ABC=6+2，所以 即
所以a=4
函数f（x）=cos2x+4sinx=1-2sin2x+4sinx=-2（sinx-1）2+3
∴当 sinx=1时，fmax（x）=3，

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