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2025年高中数学人教（A）版必修一（5.7 三角函数的应用）同步训练
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题(共15题，共45.0分)
1．(3分)函数y=tan2x-tanx+2，的值域为（　　）
A. B.
C. D. [2，4]
2．(3分)已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，且对x∈R，，恒成立，若函数y=f（x）在[0，a]上单调递减，则a的最大值是（　　）
A. B.
C. D.
3．(3分)已知角，则的最小值为（　　）
A. 2 B. 1 C. 4 D. 3
4．(3分)已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b，（A＜0，ω＞0，b∈R）的值域为，且图象在同一周期内过两点，则A，ω，b的值分别为（　　）
A. B.
C. D.
5．(3分)函数f（x）=2sinx+cosx的最大值是（　　）
A. B. 3
C. D. 5
6．(3分)已知a＞0，函数y=sinx在区间[a,2a]上的最小值为s,在[2a,3a]上的最小值为t,当a变化时，下列不可能的是（　　）
A. s＞0，t＞0 B. s＞0，t＜0 C. s＜0，t＜0 D. s＜0，t＞0
7．(3分)若，sinα+cosα=a，sinβ+cosβ=b，则以下结论正确的个数是（　　）
①ab≥1；②ab≤2；③2a-b的最大值为；④2a-b的最大值为．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8．(3分)函数，则f（x）的最大值为（　　）
A. 1 B.
C. 2 D. 2+
9．(3分)已知函数y=3sinωx在区间上的最小值为-3，则ω的取值范围是（　　）
A. （-∞，）∪[6，+∞） B. （-∞，）∪[，+∞）
C. （-∞，-2]∪[6，+∞） D. （-∞，-2]∪[，+∞）
10．(3分)已知函数f（x）=cos4x+2sinxcosx-sin4x,有下列命题：
①为函数f（x）图象的一条对称轴
②将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，若g（x）在[0，t]上的最大值为g（0），则t的最大值为
③f（x）在[0，a]上有3个零点，则实数a的取值范围是
④函数f（x）在上单调递增
其中错误的命题个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11．(3分)已知函数y=cos，x∈既有最小值也有最大值，则实数t的取值范围是（　　）
A. B.
C. 或 D.
12．(3分)已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|≤，为f（x）的零点：且f（x）≤|f（）|恒成立，f（x）在区间（-）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（　　）
A. 11 B. 13 C. 15 D. 17
13．(3分)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
14．(3分)已知函数，过点，，则且当，且的最大值为，则m的值为（　　）
A. B.
C. 和 D. 和
15．(3分)函数f（x）=sin（2x+）在区间[t上的最大值与最小值之差的取值范围是（　　）
A. [] B. [1，]
C. [，1] D. [1，]
二、多选题(共5题，共15.0分)
16．(3分)某弹簧振子在简谐运动过程中，振子位移y关于时间t的函数解析式为，t∈[0，+∞），则（　　）
A. 周期为
B. 初相是
C. 该振子离开平衡位置的最大距离是20
D. 当时，振子第一次到达平衡位置
17．(3分)已知f（α）=，则下列说法正确的是（　　）
A. f（α）的最小值为 B. f（α）的最小值为-1
C. f（α）的最大值为 D. f（α）的最大值为
18．(3分) 设函数 ，则
A. 是偶函数
B. 在 单调递减
C. 最大值为
D. 其图象关于直线 对称
19．(3分)已知x2+4y2-2xy=1（x＜0，y＜0）则（　　）
A. x2+2y2的最大值是 B. x2+2y2的最小值是
C. x+2y的最大值是-1 D. x+2y的最小值是-2
20．(3分)已知函数f（x）=，则（　　）
A. f（x）为周期函数
B. f（x）的图象关于点（，0）对称
C. f（x）有最大值
D. f（x）在（-，0）上单调递增
三、填空题(共5题，共15.0分)
21．(3分)函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．若函数y=f（x）在区间[m,n]上的值域为，则n-m的最小值是_____．
22．(3分)当0＜x＜时，函数的最大值为_____．
23．(3分)已知函数，满足不等式在R上恒成立，在上恰好只有一个极值点，则实数ω=_____．
24．(3分)一般地，对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为（x,y），它与原点的距离是r.我们规定：比值，，分别叫做角α的余切、余割、正割，分别记作cotα，cscα，secα，即，，，把y=cotx,y=cscx,y=secx分别叫做余切函数、余割函数、正割函数．
（1）已知f（x）=sinx+cosx,则f（x）的最大值为 _____；
（2）设g（x）=|sinx+cosx+tanx+cotx+secx+cscx|，则g（x）的最小值为 _____．
25．(3分)已知x∈R，则函数f（x）=max的最大值与最小值的和等于_____．
四、解答题(共5题，共75.0分)
26．(15分)已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值，以及取得最大、最小值时x的值．
27．(15分)已知函数f（x）=Asin（3x+φ）（A＞0，x∈（-∞，+∞），0＜φ＜π）在时取得最大值4．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若，求sinα．
28．(15分)函数的图象如图所示.
（1）求函数解析式和单调增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求函数在上的最值并求出相应的值．
29．(15分)已知函数f（x）=sin2x-sin2（x-），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[-]的最大值和最小值．
30．(15分)已知函数f（x）=sin2x-
（1）求f（x）的最小正周期，单调递增区间以及函数f（x）图象的对称轴方程；
（2）恒有|f（x）-m|＜3成立，求实数m的取值范围．
试卷答案
1．【答案】C
【解析】换元，用二次函数的单调性求出原函数的值域．注意辅助元的范围．
解：由，可得tanx∈[-1，1]，设t=tanx[-1，1]，且单调递增，
所以函数可得y=t2-t+2，t∈[-1，1]，
因为函数开口向上，对称轴t=，且|-1-|，所以t=-，距离对称轴比较远，
所以t=时，函数值最小，且为：（）2-=，
t=-1时，函数值最大，且为：（-1）2-（-1）+2=4，
综上所述函数的值域为：[，4]
故选：C．
2．【答案】B
【解析】利用函数的周期求出ω，对x∈R，，恒成立，推出函数的最小值，求出φ，然后求解函数的单调区间即可．
解：函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，，
又对任意的x,都使得，
所以函数f（x）在上取得最小值，
则，k∈Z，
即，k∈Z．
所以，
令，k∈Z，
解得，k∈Z，
则函数y=f（x）在上单调递减，
故a的最大值是．
故选：B．
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】D
10．【答案】B
【解析】根据三角恒等变化化简，根据对称轴处取得最值判断①，根据平移判断②，根据零点求值判断③，根据正弦函数的单调区间判断④．
解：由f（x）=cos4x+2sinxcosx-sin4x,可得，
对于①，当时，，故①正确；
对于②，，当x∈[0，t]，则，
由于g（x）在[0，t]上的最大值为g（0），所以，故，故t的最大值为，故②正确；
对于③，令，则，可得，
故f（x）的正零点有，要使f（x）在[0，a]上有3个零点，
则，故③错误，
对于④，当，则，故f（x）在上单调递减，故④错误．
故选：B．
11．【答案】C
【解析】由已知可求范围≤+πx＜tπ+，当3π＜tπ+≤，即＜t≤时，有最大值cos（）=，最小值cos（3π）=-1，当tπ+＞4π，即t＞时，有最大值cos（4π）=1，最小值cos（3π）=-1，即可得出答案．
解：因为x∈，
所以≤πx＜tπ，可得：+≤+πx＜+tπ，可得≤+πx＜tπ+，
若函数y=cos（+πx），x∈既有最小值也有最大值，
当3π＜tπ+≤，即＜t≤时，有最大值cos（）=，最小值cos（3π）=-1，
当tπ+＞4π，即t＞时，有最大值cos（4π）=1，最小值cos（3π）=-1，
综上所述，＜t≤，或t＞．
故选：C．
12．【答案】C
【解析】先根据x=为y=f（x）图象的对称轴，x=-为f（x）的零点，判断ω为正奇数，再结合f（x）的周期T≥，求得ω的范围，对选项检验即可．
解：由题意知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），
x= 为y=f（x）图象的对称轴，x=-为f（x）的零点，
∴ =，n∈N*，∴ω=2n+1，n∈N*，
f（x）在区间（-，）上有最小值无最大值，
∴周期T≥（+）=，即≥，∴ω≤16．
∴要求ω的最大值，结合选项，先检验ω=15，
当ω=15时，由题意可得-×15+φ=kπ，φ=-，函数为y=f（x）=sin（15x-），
在区间（-，）上，15x-∈（-，），
此时f（x）在15x-=-时取得最小值，∴ω=15满足题意．
则ω的最大值为15，
故选：C．
13．【答案】C
【解析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．
故选：C．
14．【答案】B
【解析】求出f（x）的解析式，求出g（x）的解析式，结合x的范围以及二次函数的性质求出函数的最大值，得到关于m的方程，解出即可．
解：∵，过点，，
∴函数f（x）的最小正周期为T=4（-）=π，
∵T=（ω＞0），∴=π，解得：ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），
∵函数f（x）过点，
∴2sin（+φ）=2，即sin（+φ）=1，
∴+φ=2kπ+，k∈Z．
∴φ=2kπ-，k∈Z，
∵|φ|＜，∴φ=-，
∴f（x）=2sin（2x-），
∴g（x）=2mf（x）+sin（4x+）
=4msin（2x-）+cos2（2x-）
=-2sin2（2x-）+4msin（2x-）+1，
∵x∈[，]，∴2x∈[，]，
∴2x-∈[0，]，
∴0≤sin（2x-）≤1，
令t=sin（2x-），
则y=-2t2+4mt+1=-2（t-m）2+2m2+1，0≤t≤1，
当m≥1时，函数的最大值是4m-1，
由已知得4m-1=，解得：m=（舍），
当m≤0时，函数的最大值是1，不满足已知条件，
当0＜m＜1时，函数的最大值是2m2+1，
由已知得2m2+1=，解得：m=或m=-（舍），
综上，m=，
故选：B．
15．【答案】D
【解析】当函数f（x）在区间[t上单调时，最大值与最小值之差有最大值，当对称轴x=t0在区间内部时，讨论可得最大值与最小值之差的最小值．
解：当对称轴不在[t上时，函数f（x）在[t上单调，不妨设函数f（x）在[t上单调递增，
设函数f（x）=sin（2x+）在区间[t上的最大值与最小值之差为g（t），
则g（t）=f（t）-f（t-）=sin（2t+）-sin[2（t-）+）=sin（2t+）+cos（2t+）=，
当对称轴在区间[t上时，不妨设对称轴上取得最大值1，则函数f（x）的最小值为f（t-）或f（t），
显然当对称轴经过区间[t中点时，g（t）有最小值，
不妨设2×+=+2kπ，k∈Z，
则t=，k∈Z，
f（t）=sin[2（）+]=sin（+2kπ）=，
∴g（t）的最小值为1-，
综上，函数f（x）=sin（2x+）在区间[t上的最大值与最小值之差的取值范围是[1-，]，
故选：D．
16．【答案】ACD
17．【答案】BD
【解析】使用换元法，令t=sinα+cosα，则2sinαcosα=，换成关于t的函数，即可求解．
解：令t=sinα+cosα，∵0，
∴1，则2sinαcosα=，
∴f（α）=y==t+1--2，易知t单调递增，
∴t=1时，f（α）取最小值为-1，t=时，f（α）取最大值为1-，
故选：BD．
18．【答案】ABD
【解析】
本题主要考查了函数的奇偶性、单调性、三角函数的最值、函数的对称性以及两角和与差的三角函数公式等内容，属于基础题 由题意首先利用两角和与差的三角函数公式进行化简得到 ，利用余弦函数的图象与性质逐项进行判断即可得到答案.
19．【答案】AD
20．【答案】ABD
【解析】A．利用周期函数的定义进行判断，
B．利用对称性进行判断，
C．利用辅助角公式进行转化判断，
D．求函数的导数，利用导数判断函数的单调性．
解：f（x）===，
A．f（x+π）===f（x），即π是函数的一个周期，即f（x）是周期函数，故A正确，
B．f（-x）====-f（x），即函数图象关于点（，0）对称，故B正确，
C．由y=得y-ysin2x=cos2x,即ysin2x+cos2x=y,
即sin（2x+φ）=y,φ是参数，则sin（2x+φ）=，则||≤1，即y2≤+2，得y2≤2，得y2≤，得-≤y≤，即f（x）的最大值为，故C错误，
D．函数的导数f′（x）=×=×=×，
当x∈（-，0）时，2x∈（-π，0），此时sin2x＜0，-2sin2x＞0，则f′（x）＞0，即此时函数f（x）单调递增，故D正确，
故选：ABD．
21．【答案】3
【解析】首先利用函数的图象求出函数的解析式，进一步求出函数的最大值点和最小值点．
解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．T=，解得ω=，当x=2时，A=2，
所以，解得φ=2kπ（k∈Z），当k=0时φ=0．由于函数y=f（x）=2sin（）在区间[m,n]上的值域为，所以当n=2时取得最大值，当x=-1时，函数取得最小值，
则n-m的最小值为2-（-1）=3．
故答案为：3．
22．【答案】-4
【解析】直接利用同角三角函数关系式的变换和二次函数的性质的应用求出结果．
解：由于当0＜x＜，
所以0＜tanx＜1．
所以=，
当tanx=时，函数f（x）的最大值为-4．
故答案为：-4．
23．【答案】
【解析】因为不等式在R上恒成立，所以，可解得①，又函数f（x）在上恰好只有一个极值点，所以，解得1＜ω≤2②，结合①②可得，当k1=2，k2=3时，．
解：∵不等式在R上恒成立，∴，
∴，即①，
∵函数f（x）在上恰好只有一个极值点，
∴，即，
∴1＜ω≤2②，
结合①②可得，当k1=2，k2=3时，．
故答案为：．
24．【答案】(1);(2);
【解析】（1）利用辅助角公式将其化成正弦型函数，借助于正弦函数的图象即得；
（2）利用三角函数新定义化简所求函数式，再设u=sinx+cosx进行换元，分类讨论并运用基本不等式求解即得．
解：（1），因x∈R，故其最大值为；
（2）g（x）=|sinx+cosx+tanx+cotx+secx+cscx|=，
设u=sinx+cosx,则，其中，且u≠±1，
则，
当时，有，但是等号不成立，g（x）无最小值；
当时，，但是等号不成立，g（x）无最小值；
当-1＜u＜1时，有，当且仅当时等号成立．
即时，，即g（x）的最小值为．
故答案为：；．
25．【答案】1-
【解析】根据函数定义，作出函数的图象，利用数形结合即可得到结论．
解：，
作出三个函数在一个周期内的图象如图：
则f（x）对应的图象为三个图象中最上面的部分．
则由图象可知当x=0时，函数f（x）取得最大值1，
当x=时，函数f（x）取得最小值，
故最大值和最小值之和为，
故答案为：．
26．【解析】（1）结合三角函数的恒等变换，对f（x）化简，再结合周期公式，即可求解；
（2）结合三角函数的有界性，即可求解．
解：（1）函数=，
故f（x）的最小正周期T=；
（2）x∈[0，2π]，
则，
当=，即x=时，f（x）取到最大值2，
当=，即x=2π时，f（x）取到最小值-1．
27．【解析】（1）根据T=可直接得到答案．
（2）先根据最大值求出振幅A的值，再由时取得最大值可求出ρ的值，进而可得到函数f（x）的解析式．
（3）根据，求出cos2α的值，最后根据二倍角公式得到sinα的值．
解：（1）由周期计算公式，可得T=
（2）由f（x）的最大值是4知，A=4
，即sin（）=1
∵0＜ρ＜π，∴∴，∴
∴f（x）=4sin（3x+）
（3）f（）=4sin[3（）+]=，即sin[3（）+]=
，，，，．
28．【答案】（1），增区间，（2）时，取最小值为-2；当时，取最大值为1.
【解析】
（1）根据图像计算，得到，代入点计算得到解析式，再计算单调区间得到答案.
（2）通过平移得到，再计算得到最值.
（1）由图知：，∴，∴，∵，∴，∴，
∵由图知过，∴，
∴，∴，，∴，，
∵，∴，∴.
∵，，∴，，
∴增区间，.
（2），
∵，∴，
∴当，即时，取最小值为-2，
当，即时，取最大值为1.
【点睛】本题考查了三角函数的图像识别，三角函数的单调性，最值，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用.
29．【解析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x-），由周期公式可得；
（2）由x∈[-，]，结合合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．
解：（1）化简可得f（x）=sin2x-sin2（x-）
=（1-cos2x）-[1-cos（2x-）]
=（1-cos2x-1+cos2x+sin2x）
=（-cos2x+sin2x）
=sin（2x-），
∴f（x）的最小正周期T==π；
（2）∵x∈[-，]，∴2x-∈[-，]，
∴sin（2x-）∈[-1，]，∴sin（2x-）∈[-，]，
∴f（x）在区间[-，]内的最大值和最小值分别为，-．
30．【解析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，
求出它的最小正周期和单调递增区间与对称轴方程；
（2）根据x∈[，]求出f（x）的值域，
再解不等式|f（x）-m|＜3，而求得m的取值范围．
解：（1）函数f（x）=sin2x-cos2x=2sin（2x-），
∴f（x）的最小正周期为T==π，
当2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z；
即2kπ-≤2x≤2kπ+，k∈Z；
即kπ-≤x≤kπ，k∈Z时，f（x）单调递增，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z；
令2x-=kπ+，k∈Z，
得f（x）的对称轴方程为x=+，k∈Z；
（2）∵x∈[，]，∴2x-∈[，]，
∴sin（2x-）∈[，1]，
∴f（x）∈[1，2]；
由|f（x）-m|＜3，得m-3＜f（x）＜m+3，
∴，
解得-1＜m＜4，
即m∈（-1，4）．

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