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绝密★启用前
2025年高中数学人教（A）版必修一（第一章 集合与常用逻辑用语）同步训练
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题(共15题，共45.0分)
1．(3分)已知命题p： x∈R，x2-x+1≤0，则（　　）
A. ￢p： x∈R，x2-x+1≥0 B. ￢p： x∈R，x2-x+1≥0
C. ￢p： x∈R，x2-x+1＞0 D. ￢p： x∈R，x2-x+1＞0
2．(3分)已知集合C={2，-1}，D={z|z=x+y,x∈C，y∈C}，则集合D等于（　　）
A. {-1，2，1} B. {-2，1，4} C. {1，2，4} D. {-2，2，4}
3．(3分)命题“ x＞0，＞0”的否定是（　　）
A. x＞0，＞0 B. x＞0，＜0
C. x＞0，≤0 D. x＞0，≤0
4．(3分)设A={x|-1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠ ，则a的取值范围是（　　）
A. a＜2 B. a＞-2 C. a＞-1 D. -1＜a≤2
5．(3分)三星堆博物馆位于全国重点文物保护单位三星堆遗址东北角，是中国一座现代化的专题性遗址博物馆．该馆常设“世纪逐梦”、“巍然王都”、“天地人神”3个展厅，则甲在三星堆博物馆是甲在“世纪逐梦”展厅的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 充要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
6．(3分)下列六个关系式中正确的个数是（　　）
（1） {0}；（2） ={0}；（3）0= ；（4）0∈{0}；（5）0∈ ；（6） ．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7．(3分)满足A1∪A2={x,y,z}的有序集合对（A1，A2）的个数是（　　）
A. 6 B. 8 C. 24 D. 27
8．(3分)已知集合M={（x,y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“理想集合”．给出下列4个集合：
①M={（x,y）|y=}；②M={（x,y）|y=sinx}；③M={（x,y）|y=ex-2}；
④M={（x,y）|y=lgx}．
其中所有“理想集合”的序号是（　　）
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④
9．(3分)已知圆C：x2+y2=r2（r＞0），直线l：x=1，则“”是“C上恰有不同的两点到l的距离为”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
10．(3分)已知有限集A={a1，a2，…，an}（n≥2），如果A中的元素ai（i=1，2，3，…，n）满足a1+a2+…+an=a1a2…an，就称A为“封闭集”，给出下列结论：
①集合是“封闭集”；
②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“封闭集”，则a1a2＞4；
③若a1，a2为正整数，则{a1，a2}不可能是“封闭集”；
④若a1是正整数，则“封闭集”A有且只有一个，且n=3．
其中正确的命题个数是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11．(3分)已知数列{an}满足a1a2≠0，若，则“数列{an}为无穷数列”是“数列{an}单调”的（　　）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 非充分非必要条件
12．(3分)设有限集M所含元素的个数用card（M）表示，并规定card（ ）=0．已知集合A，B满足A∪B={1，2，3，4，5，6}，A∩B= ，若card（A） A，card（B） B，则满足条件的所有不同集合A的个数为（　　）
A. 3 B. 6 C. 10 D. 64
13．(3分)已知f（x）=ax-bx2，b＞1，则条件p：“对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1”是条件q：“b-1≤a≤2“的（　　）
A. 充分必要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
14．(3分)对于集合A中的任意两个元素x,y,若实数d（x,y）同时满足以下三个条件：
①“d（x,y）=0”的充要条件为“x=y”；
②d（x,y）=d（y,x）；
③ z∈A，都有d（x,y）≤d（x,z）+d（y,z）．
则称d（x,y）为集合A上的距离，记为dA，则下列说法错误的是（　　）
（1）d（x,y）=|x-y|为dR；
（2）d（x,y）=|sinx-siny|为dR；
（3）若A=（0，+∞），则d（x,y）=|lnx-lny|为dA；
（4）若d为dR，则ed-1也为dR（为自然对数的底数）．
A. （1）（4） B. （1）（3）
C. （2）（4） D. （2）（3）
15．(3分)已知集合，若B A，则实数m的取值范围为（　　）
A. （4，+∞） B. [4，+∞）
C. （2，+∞） D. [2，+∞）
二、多选题(共5题，共15.0分)
16．(3分)命题p： x∈R，使，命题q： x∈（0，+∞），有x2＜x3，则（　　）
A. p是存在量词命题 B. p是假命题
C. q是全称量词命题 D. q是真命题
17．(3分)已知A={x|2x2-ax+b=0}，B={x|6x2+（a+2）x+5+b=0}，且，则A∪B中的元素是（　　）
A. -4 B. 1
C. D.
18．(3分)定义对于集合N*中的任意两个元素m,n,定义d（m,n）=，e（m,n）=min{d（m,n），1}．若e（m,n）=e（n,m），则称e（m,n）具有对称性．下列判断正确的是（　　）
A. e（1，2）=e（1，3）
B. 若d（m,n）≥1，则e（m,n）不具有对称性
C. 对于任意m,n,p∈N*且1＜m＜n＜p,e（m,p）=e（m,n）+e（n,p）恒成立
D. 集合N*中不存在三个互不相等的元素a,b,c,使得e（a,b）+e（b,c）+e（c,a）=3
19．(3分)设集合S={x∈R+|xn=n,n∈N+}，则下列说法中正确的有（　　）
A. 集合S中没有最小的元素
B. 集合S中最小的元素是1
C. 集合S中最大的元素是
D. 集合S中最大的元素是
20．(3分)数学上，两个集合的对称差是只属于其中一个集合，而不属于另一个集合的元素组成的集合．例如，对任意A，B R，记A B={x|x∈A∪B，x A∩B}，并称A B为集合A，B的对称差．若A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A B={1，4}，下列命题中，为真命题的是（　　）
A. 若A，B R且A B=B，则A=
B. 若A，B R且A B A，则A B
C. 存在A，B R，使得A B≠B A
D. 存在A，B R，使得A B= RA RB
三、填空题(共5题，共15.0分)
21．(3分)已知集合A={1，2，a2-2a}，若3∈A，则实数a=_____．
22．(3分)命题“ x0：1≤x0≤2，满足不等式”是假命题，则m的取值范围为 _____．
23．(3分)已知不等式组的解集是不等式2x2-9x+a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围是_____．
24．(3分)已知数集A=[t,t+1]∪[t+4，t+9]，若存在λ∈R，使得对任意a∈A都有∈A，则称A为完美集，给出下列四个结论：
①存在t∈（0，+∞），使得A为完美集；
②存在t∈（-∞，0），使得A为完美集：
③如果t Z，那么A一定不为完美集；
④使得A为完美集的所有t的值之和为-2．
其中，所有正确结论的序号是 _____．
25．(3分)已知A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，则a=_____．
四、解答题(共5题，共75.0分)
26．(15分)用描述法表示下列集合；
（1）奇数的集合；
（2）正偶数的集合；
（3）不等式x2+1≤0的解集；
（4）平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合．
27．(15分)已知集合A={x|ax2-3x+2=0}．
（1）若集合A中只有一个元素，求实数a的值；
（2）若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围；
（3）若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
28．(15分)已知集合A={a-2，2a2+5a,12}且-3∈A，求a.
29．(15分)集合A={x|}，B={x|2ax2+（2-ab）x-b＜0}．
（1）用区间表示集合A；
（2）若a＞0，b为（t＞2）的最小值，求集合B；
（3）若b＜0，A∩B=A，求a、b的取值范围．
30．(15分)设A=[-1，1]，B=[-，]，函数f（x）=2x2+mx-1．
（1）设不等式f（x）≤0的解集为C，当C （A∪B）时，求实数m取值范围；
（2）若对任意x∈R，都有f（1+x）=f（1-x）成立，试求x∈B时，f（x）的值域；
（3）设g（x）=|x-a|-x2-mx（a∈R），求f（x）+g（x）的最小值．
试卷答案
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】C
【解析】由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．
解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，可得
命题“ x＞0，＞0”的否定是“ x＞0，≤0”．
故选：C．
4．【答案】C
【解析】A={x|-1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠ ，两个集合有公共元素，得到两个集合中所包含的元素有公共的元素，得到a与-1的关系．
解：∵A={x|-1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠ ，
∴两个集合有公共元素，
∴a要在-1的右边，
∴a＞-1，
故选：C．
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】D
【解析】根据题意分A1为空集；A1含有一个元素；A1含有两个元素；A1含有三个元素，四种情况求出所求即可．
解：若A1为空集，则A2为{x,y,z}，共1种；
若A1含有一个元素：例如A1={x}，则A2为{y,z}或{x,y,z}，以此类推，共6种；
若A1含有两个元素：例如A1={x,y}，则A2为{z}或{x,z}或{y,z}或{x,y,z}，共4种，以此类推，共12种；
若A1含有三个元素：此时A2为A1的子集，共8种；
则共有1+6+12+8=27种，即满足A1∪A2={x,y,z}的有序集合对（A1，A2）的个数是27，
故选：D．
8．【答案】B
【解析】对于①，利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．
对于②，画出图象，说明满足理想集合的定义，即可判断正误；
对于③，画出函数图象，说明满足理想集合的定义，即可判断正误；
对于④，画出函数图象，取一个特殊点即能说明不满足理想集合定义．
解：对于①y=是以x,y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，
在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；
对任意（x1，y1）∈M，在另一支上也不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，
所以不满足理想集合的定义，不是理想集合．
对于②M={（x,y）|y=sinx}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，都能在图象上找到满足题意的点，
所以集合M是理想集合；
对于③M={（x,y）|y=ex-2}，如图在曲线上两点构成的直角始存在，例如取M（0，-1），N（ln2，0），满足理想集合的定义，所以正确．
对于④M={（x,y）|y=lgx}，如图取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是理想集合．
故选：B．
9．【答案】A
【解析】圆C：x2+y2=r2（r＞0），直线l：x=1，由C上恰有不同的两点到l的距离为，可得＜r＜，即可判断出结论．
解：圆C：x2+y2=r2（r＞0），直线l：x=1，由C上恰有不同的两点到l的距离为，
则＜r＜．
∴则“”是“C上恰有不同的两点到l的距离为”的充分不必要条件．
故选：A．
10．【答案】C
11．【答案】B
12．【答案】C
13．【答案】A
【解析】根据不等式的性质结合二次函数的图象，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
证明：若对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1 f（x）≥-1．
据此可推出f（1）≥-1，即a-b≥-1，
∴a≥b-1．
对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1 f（x）≤1，
∵b＞1，可得0＜＜1，可推出f（）≤1，即a -1≤1，
∴a≤2，
∴b-1≤a≤2．即充分性成立，
若b-1≤a≤2，
∵b＞1，a≥b-1，对任意x∈[0，1]，
∴ax-bx2≥b（x-x2）-x≥-x≥-1，即ax-bx2≥-1，
∵b＞1，a≤2对任意x∈[0，1]，
∴2-bx2≤-b（x-）2+1≤1，即ax-bx2≤1，
∴-1≤f（x）≤1．即对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1成立，即必要性成立，
即条件p是条件q成立的充要条件，
故选：A．
14．【答案】C
15．【答案】D
【解析】由题意先求出集合A，B，再利用包含关系求出m范围．
解：由题得A={x|x＞2或x＜-2}，
∵m＞0，
∴B={x|m＜x＜2m}且B≠ ，
∵B A，
∴m≥2或2m≤-2，解得m≥2，即m∈[2，+∞），
故选：D．
16．【答案】ABC
【解析】根据存在量词命题，全称量词命题判断A，C项；B项，注意定义域；D项，可举反例．
解：p中， x∈R，是存在量词命题，q是全称量词命题，A，C都正确．
若，则x=2x+1，解得x=-1，
但x需要满足x≥0，所以p是假命题，B正确．
因为，所以q是假命题，D错误．
故选：ABC．
17．【答案】ACD
【解析】把x=分别代入两个方程，可得关于a,b的方程组，求得a与b的值，化简A与B，再由并集运算得答案．
解：由，得，且，
∴，解得．
∴A={x|2x2+7x-4=0}={-4，}，B={x|6x2-5x+1=0}={，}，
则A∪B={-4，，}，
∴A∪B中的元素是-4，，，
故选：ACD．
18．【答案】ACD
19．【答案】BD
【解析】构造函数y=，从而判断函数的单调性，从而得到y=的单调性，从而解得．
解：∵xn=n,∴x==，
令y=，y′=，
故y=在（0，e）上单调递增，在（e,+∞）上单调递增，
∵ey=，
∴y=在[1，e）上单调递增，在（e,+∞）上单调递增，
且当y|x=1=1，y|x=2=，y|x=3=，x→+∞时，y→1，
故集合S中最小的元素是1，且最大元素是，
故选：BD．
20．【答案】AB
21．【答案】3或-1
【解析】根据3∈A即可得出a2-2a=3，解出a即可．
解：∵3∈A，A={1，2，a2-2a}，
∴a2-2a=3，解得a=-1或3．
故答案为：-1或3．
22．【答案】（-∞，-5）
【解析】由含有量词的命题的否定，转化为不等式恒成立问题，即可求解．
解：命题“ x0∈[1，2]，满足不等式”是假命题，
所以 x0∈[1，2]，不等式恒成立，
设，x0∈[1，2]，
则有，解得m＜-5，
所以m的取值范围为（-∞，-5）．
故答案为：（-∞，-5）．
23．【答案】（-∞，9]
【解析】先解出不等式组的解集，再题设中的包含关系得出参数a的不等式组解出其范围．
解：由得2＜x＜3．
不等式2x2-9x+a＜0相应的函数开口向上，令f（x）=2x2-9x+a,
故欲使不等式组的解集是不等式2x2-9x+a＜0的解集的子集，
只需a≤9．
故应填（-∞，9]
24．【答案】①②
【解析】由题意可得a≠0，即t的范围为t＜-9或-4＜t＜-1，或t＞0，且λ≠0，当λ＞0时，分t＜-9，-4＜t＜-1，t＞0三种情况讨论，根据完美集可求得t的值，当λ＜0时，同理可得t的值，从而可得答案．
解：由题可得a≠0，即t的范围为t＜-9或-4＜t＜-1，或t＞0，且λ≠0，
当λ＞0，t＞0，又a∈[t,t+1]∪[t+4，t+9]，则∈[，]∪[，]，
则，可得，此时（t+1）（t+4）=t（t+9），解得t=1；
当-4＜t＜-1，a∈[t,t+1]∪[t+4，t+9]，则∈[，]∪[，]，
则，可得，此时t（t+1）=（t+4）（t+9），解得t=-3；
当t＜-9时，a∈[t,t+1]∪[t+4，t+9]，则∈[，]∪[，]，
则，可得，此时（t+1）（t+4）=t（t+9），解得t=1（舍去），无解；
同理，当λ＜0时，当-4＜t＜-1时t=-，当t＜-9或t＞0时，无解，
综上：所有正确结论的序号为①②；
故答案为：①②．
25．【答案】2或3
【解析】求出集合A，利用A∪B=A，推出B是A的子集，B是空集，B={1}，B={2}，B={1，2}时分别求出a的值即可．
解：∵A={x|x2-3x+2=0}={1，2}，B={x|x2-ax+a-1=0}={x|[x-（a-1）]（x-1）=0}≠
又A∪B=A，则B A
若B中方程仅有一解则有B={1}，即a-1=1，解之：a=2符合题意
若B中方程有两解，则有B={1，2}，即：，解之：a=3
综上可知：a的值为a=2或a=3．
故答案为：a=2或a=3
26．【解析】根据描述法的表示方法及奇数，偶数的概念以及第二象限的点特点，不等式问题解答问题．
解：（1）奇数的集合表示为：{x|x=2k+1，k∈Z}；
（2）正偶数的集合表示为：{x|x=2n,n∈N*}；
（3）{x|x2+1≤0}= ；
（4）平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合表示为：
{（x,y）|x＜0，y＞0}．
27．【解析】（1）由题意得ax2-3x+2=0只有一个根，对a是否为0进行分类讨论，然后结合一次方程及二次方程根的存在条件可求；
（2）由题意得ax2-3x+2=0至少有一个根，对a是否为0进行分类讨论，然后结合一次方程及二次方程根的存在条件可求；
（3）由题意得ax2-3x+2=0至多一个根，对a是否为0进行分类讨论，然后结合一次方程及二次方程根的存在条件可求；
解：（1）当a=0时，原方程可化为-3x+2=0，得x=，符合题意．
当a≠0时，方程ax2-3x+2=0为一元二次方程，由题意得，Δ=9-8a=0，得a=．
所以当a=0或a=时，集合A中只有一个元素．
（2）由题意得，当，
即a＜且a≠0时方程有两个实根，
又由（1）知，当a=0或a=时方程有一个实根．所以a的取值范围是a≤．
（3）由（1）知，当a=0或a=时，集合A中只有一个元素．
当集合A中没有元素，即A= 时，
由题意得，解得a＞．
综上得，当a≥或a=0时，集合A中至多有一个元素．
28．【解析】由于-3∈A则a-2=-3或2a2+5a=-3，求出a的值然后再代入再根据集合中元素的互异性对a进行取舍．
解：∵-3∈A
∴-3=a-2或-3=2a2+5a
∴a=-1或a=-
∴当a=-1时，a-2=-3，2a2+5a=-3，不符合集合中元素的互异性，故a=-1应舍去
当a=-时，a-2=-，2a2+5a=-3，满足
∴a=-
29．【解析】（1）由≥-1，即≥0，解得x≤-2或x＞3，可得A．
（2）t＞2，==t-2++4，利用基本不等式的性质可得最小值，b=10．代入因式分解即可得出解出．
（3）b＜0，A∩B=A，可得A B．2ax2+（2-ab） x-b＜0}，可得：（ax+1）（2x-b）＜0，对a分类讨论即可得出．
解：（1）由≥-1，即≥0，解得x≤-2或x＞3，
∴A=（-∞，-2]∪（3，+∞）；
（2）t＞2，==t-2++4≥+4=10，当且仅当t=5时取等号，∴b=10．
2ax2+（2-ab） x-b＜0即为：ax2+（1-5a） x-5＜0，a＞0．
∴（ax+1）（x-5）＜0，解得＜x＜5．
B={ x|-5 }．
（3）b＜0，A∩B=A，∴A B．
2ax2+（2-ab） x-b＜0}，可得：（ax+1）（2x-b）＜0，
分类讨论：a=0时，化为：2x-b＜0，解得x．不满足A B，舍去．
a＞0时，解得：，不满足A B，舍去．
a＜0时，（ax+1）（2x-b）＜0化为：＞0．
解得x或x＞．
∵A B．
∴，解得a≤，-4＜b＜0．
∴a、b 的取值范围是a∈（-∞，-]，b∈（-4，0）．
30．【解析】（1）依题意，C A∪B=A=[-1，1]，二次函数f（x）=2x2+mx-1图象开口向上，且Δ=m2+8＞0恒成立，图象始终与x轴有两个交点 ，从而可求得实数m取值范围；
（2）由于f（x）象关于直线x=1对称，可得m=-4，由f（x）=2（x-1）2-3为[-，]上减函数可求得x∈B时，f（x）的值域；
（3）令φ（x）=f（x）+g（x），则φ（x）=x2+|x-a|-1，分x≤a与x≥a先去掉绝对值符号，再根据其对称轴对a分类讨论，利用函数的单调性即可求得答案．
解：（1）∵A=[-1，1]，B=[-，]，C A∪B=A，二次函数f（x）=2x2+mx-1图象开口向上，且Δ=m2+8＞0恒成立，
故图象始终与x轴有两个交点，由题意，要使这两个交点横坐标x1，x2∈[-1，1]，当且仅当：，…（4分），解得：-1≤m≤1 …（5分）
（2）对任意x∈R都有f（1+x）=f（1-x），所以f（x）象关于直线x=1对称，所以-=1，得m=-4．（7分）
所以f（x）=2（x-1）2-3为[-，]上减函数．f（x）min=-2；f（x）max=2．故x∈B时，f（x）值域为[-2，2]．…（9分）
（3）令φ（x）=f（x）+g（x），则φ（x）=x2+|x-a|-1，
（i）当x≤a时，φ（x）=x2-x+a-1=+a-，
当a≤，则函数φ（x）在（-∞，a]上单调递减，从而函数φ（x）在（-∞，a]上的最小值为φ（a）=a2-1．
若a＞，则函数φ（x）在（-∞，a]上的最小值为φ（）=-+a,且φ（-）≤φ（a）．（12分）
（ii）当x≥a时，函数φ（x）=x2+x-a-1=-a-，
若a≤-，则函数φ（x）在（-∞，a]上的最小值为φ（-）=--a,且φ（-）≤φ（a），
若a＞-，则函数φ（x）在[a,+∞）上单调递增，
从而函数φ（x）在[a,+∞）上的最小值为φ（a）=a2-1．…（15分）
综上，当a≤-时，函数φ（x）的最小值为--a,当-＜a≤时，函数φ（x）的最小值为a2-1；当a＞时，函数φ（x）的最小值为-+a. …（16分）

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