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2025年高中数学人教（A）版必修一（第二章 一元二次函数、方程和不等式）同步训练
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题(共15题，共45.0分)
1．(3分)不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（　　）
A. a＜0，Δ＜0 B. a＜0，△≤0
C. a＞0，△≥0 D. a＞0，Δ＞0
2．(3分)已知x＞0，y＞0，且，则x+2y的最小值为（　　）
A. 8 B.
C. 9 D.
3．(3分)已知函数f（x）=x2-2x-3，集合M={x|f（x）≤0}，N={x|f′（x）＞0}（其中f'（x）是f（x）的导数），则M∩N=（　　）
A. [-1，1） B. [-1，1] C. （1，3] D. [1，3]
4．(3分)已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（-，2），则下列结论错误的是（　　）
A. a＞0 B. b＞0 C. c＞0 D. a+b+c＞0
5．(3分)若（a2-4a+6）（b2-6b+12）=6，则（　　）
A. a+1＞b B. a+b＞6 C. logab＞2 D. 3a＞2b
6．(3分)实数x大于，用不等式表示为（　　）
A. B.
C. D.
7．(3分)若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是（　　）
A. ≤ B. +≤1
C. ≥2 D. a2+b2≥8
8．(3分)设、，则“且”是“”的条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分
C. 充要 D. 非充分非必要
9．(3分)若对任意a∈[-1，1]，不等式x2+（a-3）x-3a＞0恒成立，则x的取值范围是（　　）
A. 1＜x＜3 B. -1＜x＜3
C. x＜1或x＞3 D. x＜-1或x＞3
10．(3分)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则所有符合条件的a的值之和是（　　）
A. 36 B. 48 C. 50 D. 87
11．(3分)设函数f（x）=|x2+ax+b|（a,b∈R）．若对任意的a,b∈R，总存在x0∈[0，4]，使得f（x0）≥m,则实数m的取值范围是（　　）
A. （-∞，） B. （-∞，1]
C. （-∞，2] D. （-∞，4]
12．(3分)已知椭圆）的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（　　）
A. B.
C. D.
13．(3分)已知圆C的方程为x2+y2=4，直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，则四边形PMQN面积的大值（　　）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
14．(3分)已知f（x）=x2+px+q和是定义在上的函数，对任意的x∈A，存在常数x0∈A，使f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0）且f（x0）=g（x0），则f（x）在A上的最大值为（　　）
A. B.
C. 5 D.
15．(3分)若关于x的不等式（ax-1）2＜x2恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（　　）
A. B. （-，-]
C. D.
二、多选题(共5题，共15.0分)
16．(3分)下列不等式不一定成立的是（　　）
A. 若a＞b，则a2＞b2 B. 若a＞b＞0，则
C. 若ab=4，则a+b≥4 D. 若ac2＞bc2，则a＞b
17．(3分)如果a,b,c∈R，且abc≠0，那么下列命题中正确的是（　　）
A. 若，则a＞b B. 若ac2＞bc2，则a＞b
C. 若a3＞b3，则 D. 若a＞b,则2a＞2b
18．(3分)下列不等关系成立的是（　　）
A. 若a＞b,则ac2＞bc2
B. 若a＞b,，则ab＞0
C. 若a＞b,，则a＞0＞b
D. 若a＞b,a2＞b2，则a＞0＞b
19．(3分)下列命题中正确命题是（　　）
A. 函数f（x）=有最小值2
B. “x2-4x-5=0”的一个必要不充分条件是“x=5”
C. 命题p： x∈R，tanx=1；命题q： x∈R，x2-x+1＞0．则命题“p∧（￢q）”是假命题
D. 函数f（x）=x3-3x2+1在点（2，f（2））处的切线方程为y=-3
20．(3分)已知a,b,c∈R，若a2+b2+c2=1，且（a-1）（b-1）（c-1）=abc,则下列结论正确的是（　　）
A. a+b+c=1 B. ab+bc+ca＜1
C. c的最大值为1 D. a的最小值为-1
三、填空题(共5题，共15.0分)
21．(3分)若x1、x2是一元二次方程3x2-10x+1=0的两根，x1+x2的值为_____．
22．(3分)已知方程 的两根为 、 ，方程 的两根为 、 ，集合 ，定义：
集合 、 ， ，
集合 、 ， ，
则集合 ______.
23．(3分)函数y=x2-2ax+3的严格增区间为[2，+∞），则实数a= _____．
24．(3分)已知函数f（x）=-x2+ax+a+2，g（x）=2x+1，若关于x的不等式f（x）＞g（x）恰有两个整数解，则实数a的取值范围是_____．
25．(3分)已知x＞0，y＞0，a=x+y,b=，c=λ，若a,b,c能作为三角形的三边长，则正实数λ的范围是_____．
四、解答题(共5题，共75.0分)
26．(15分)求下列不等式的解集（每小题5分）
（1）4x2-4x+1＞0；
（2）2x2+5x+6＞0．
27．(15分)若a=2x2+1，b=x2+2x,c=-x-3，比较a,b,c的大小．
28．(15分)如图，点A、B、C都在幂函数的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′，记△AB′C的面积为f（a），△A′BC′的面积为g（a）
（1）求函数f（a）和g（a）的表达式；
（2）比较f（a）与g（a）的大小，并证明你的结论
29．(15分)已知函数f（x）=m-|x-1|，m∈R，且f（x+2）+f（x-2）≥0的解集为[-2，4]．
（1）求m的值；
（2）若a,b,c为正数，且，求证a+2b+3c≥3．
30．(15分)在平面直角坐标系中，设二次函数f（x）=3x2-2x+c（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为A．
（1）求实数c的取值范围；
（2）求圆A的方程；
（3）问圆A是否经过某定点（其坐标与c无关）？请证明你的结论．
试卷答案
1．【答案】A
【解析】由不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，知a＜0，且Δ=b2-4ac＜0．
解：∵不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，
∴a＜0，
且Δ=b2-4ac＜0，
综上，不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为的条件是：a＜0且Δ＜0．
故选：A．
2．【答案】C
【解析】通过（x+2y）×1来构造基本不等式，即可求解．
解：∵x＞0，y＞0，
∴，
当且仅当：时取等号，又：，即：x=y=3，
此时x+2y取最小值为9．
故选：C．
3．【答案】C
【解析】可求出f′（x）=2x-2，然后即可求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．
解：f′（x）=2x-2，M={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3}，N={x|2x-2＞0}={x|x＞1}，
∴M∩N=（1，3]．
故选：C．
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】C
【解析】实数x大于，用不等式表示为，进而得到答案．
解：实数x大于，用不等式表示为，
故选：C．
7．【答案】D
8．【答案】A
【解析】根据充分必要条件的定义判断即可．
因为且，由不等式的性质，可得，故是充分条件，
又当a＝1，b＝7时，满足a+b>4，但不满足且，故不是必要条件，
故选A．
【点睛】本题考查了充分必要条件的定义，考查不等式问题，是一道基础题．
9．【答案】D
【解析】问题转化为（a-3）x+x2-3x＞0在a∈[-1，1]时恒成立，令g（a）=（x-3）a+x2-3x＞0，a∈[-1，1]，结合一次函数的性质即可求解．
解：因为任意a∈[-1，1]，不等式x2+（a-3）x-3a＞0恒成立，
即（a-3）x+x2-3x＞0在a∈[-1，1]时恒成立，
令g（a）=（x-3）a+x2-3x＞0，a∈[-1，1]，
则，解得，x＞3或x＜-1．
故选：D．
10．【答案】D
【解析】设f（x）=x2-8x+a,利用二次函数的对称性可得，从而解出所有符合条件的a的值之和．
解：设f（x）=x2-8x+a,图象开口向上，对称轴为x=8，
因为f（x）≤0解集中有且仅有5个整数，即为6，7，8，9，10，
∴，∴，
解得27.5＜a≤30，又a∈Z，
所以a=28，29，30，
所以符合题意的a的值之和为28+29+30=87，
故选：D．
11．【答案】C
【解析】分情况讨论a不同取值时函数g（x）=x2+ax+b在[0，4]上的范围，从而确定f（x）的最大值，将对任意实数a,b,总存在实数x0∈[0，4]使得不等式f（x0）≥m成立，转化为m≤f（x）max恒成立，即可解决．
解：设f（x）的最大值为M（b），令g（x）=x2+ax+b,x∈[0，4]，
若对任意的a,b∈R，总存在x0∈[0，4]，使得f（x0）≥m,
则m≤M（b）min.g（0）=b,g（4）=16+4a+b,．
（1）当Δ=a2-4b≤0，即a2≤4b时，M（b）=max{g（0），g（4））}，
若，即a≥-4，则，
若，即a＜-4，则．
（2）当Δ=a2-4b＞0，即a2＞4b时，
①当，即a＞0时，令b+16+4a+b=0，得b=-2a-8，若b＜-2a-8，
则M（b）=-b＞2a+8＞8，若b≥-2a-8，则M（b）=16+4a+b≥8+2a＞8．
②当，即a＜-8时，令b+16+4a+b=0，得b=-2a-8，
若b＜-2a-8，则M（b）=-16-4a-b＞-16-4a+2a+8=-2a-8＞8，
若b≥-2a-8，则M（b）=b≥-2a-8＞8．
③当，即-4≤a≤0时，若16+4a+b≤0，
则，
若16+4a+b＞0，，
（Ⅰ）若，即-，
则，
（Ⅱ）若，即，
则．
④当，即-8≤a＜-4时，
若b≤0，则，
若b＞0时，，
（Ⅰ）若a2≥8b,则，
（Ⅱ）若a2＜8b,则．
综上所述，M（b）min=2，
所以实数m的取值范围为（-∞，2]．
故选：C．
12．【答案】B
【解析】由题设，故，
又，则，
由余弦定理知：，
所以，而，
因为的内切圆的半径，故，
所以，则，
由，即，
所以，整理得且，
所以，
，当且仅当时等号成立，
所以目标式最小值为。
故答案为：B
13．【答案】D
【解析】设圆心O到直线l,l1的距离分别为d,d1，四边形PMQN的面积S，直线l,l1都经过点（0，1），且l⊥l1，根据题勾股定理，知d12+d2=1，又根据垂径定理和勾股定理，得到，|MN|=2，由此能求出四边形PMQN面积的大值．
解：设圆心O到直线l,l1的距离分别为d,d1，
四边形PMQN的面积S，
∵直线l,l1都经过点（0，1），且l⊥l1，
根据题勾股定理，知d12+d2=1，
又根据垂径定理和勾股定理，得到
，|MN|=2，
而，
即×2×
=
=
≤
=2
=7．
当且仅当d1=d时，等号成立，
所以S的最大值为7．
故选：D．
14．【答案】C
【解析】由已知很容易得到函数g（x）=x+在区间[1，]上的最小值为g（2）=4，于是函数f（x）=x2+px+q也在x=2处取到最小值f（2），下面只需代入数值即可求解．
解：由已知函数f（x）=x2+px+q和g（x）=x+在区间[1，]上都有最小值f（x0），g（x0），
又因为g（x）=x+在区间[1，]上的最小值为g（2）=4，
f（x）min=f（2）=g（2）=4，
所以得：，
即：，
所以得：f（x）=x2-4x+8≤f（1）=5．
故选：C．
15．【答案】B
16．【答案】ABC
17．【答案】BD
【解析】根据不等式的性质可判断A，B，C选项，根据指数函数的单调性可判断D选项．
解：对于A，若a=-1，b=1，满足，但a＞b不成立，故A错误；
对于B，∵c≠0，∴c2＞0，∴ac2＞bc2 a＞b,故B正确；
对于C，若a=2，b=-1，满足a3＞b3，但不成立，故C错误；
对于D，由指数函数y=2x在x∈R上的单调递增，所以a＞b可得2a＞2b，故D正确．
故选：BD．
18．【答案】BC
19．【答案】CD
20．【答案】ABC
【解析】根据题意可得：（b+c）2-2bc=1-a2bc=（1-a）（b+c-1），代入可得：a+b+c=1，即可得到b+c=1-a,即可求出可得1-a2≥，可得a的范围，分别判断即可．
解：由a2+b2+c2=1，可得：b2+c2=1-a2，
即（b+c）2-2bc=1-a2．
由（a-1）（b-1）（c-1）=abc,
得（a-1）（bc-b-c+1）=abc,
化为：a+b+c=ab+ac+bc+1，
∴bc=（1-a）（b+c-1），
代入（b+c）2-2（1-a）（b+c-1）=1-a2，
即（b+c）2-2（1-a）（b+c）+2（1-a）-1+a2=0
即（b+c）2+2（a-1）（b+c）+（a-1）2=0
∴（b+c+a-1）2=0，
∴a+b+c=1，
∴b+c=1-a,
∴b2+c2≥，
∴1-a2≥
化为：3a2-2a-1≤0，
解得-≤a≤1．
∴a的最小值为-，
同理可得c的最大值为1，
∵a+b+c=1，a+b+c=ab+ac+bc+1，
∴ab+ac+bc=0，
故选项ABC正确，D错误，
故选：ABC．
21．【答案】
【解析】根据题意利用韦达定理即可得结果．
解：若x1、x2是一元二次方程3x2-10x+1=0的两根，
则．
故答案为：．
22．【答案】详情见解析
【解析】解：根据韦达定理可得： ， ， ， ；由题意可得： ， ， ， ，所以 是 和 集合的交集，得出 ；
根据 ， 集合值可知 ， ， ， 均是正整数，所以 ，不妨设 ， ，因为 ， ，所以
集合 、 ， ，即有 ， ， ， ， ， ， 分别是集合中的六个值，已经有 ，
当 时， ， ，则 ， ， 分别为剩下的 ， ， 因为 ， ， ，则
当 时， ，则 ，矛盾；
当 时，得 ，则 ，则 ， ， 分别为剩下的 ， ， 因为 ， ， ，则
当 时，得 ，则 ，矛盾；
当 时，得 ，则 ，矛盾；
综上所述满足条件的 集合为
故答案：
先根据韦达定理找出 既满足 集合，又满足 集合得出 、利用 ， 集合均为整数的关系推出 集合元素都为正整数进行分类讨论即可．
本题考查了二次函数韦达定理和集合的运算，中档题目．
23．【答案】2
【解析】由已知结合二次函数的单调性即可求解．
解：因为y=x2-2ax+3的严格增区间为[2，+∞），
所以a=2．
故答案为：2．
24．【答案】
【解析】由题意可得f（x），g（x）的图象均过（-1，1），分别讨论a＞0，a＜0时，f（x）＞g（x）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围．
解：由函数f（x）=-x2+ax+a+2，g（x）=2x+1可得f（x），
g（x）的图象均过（-1，1），且f（x）的对称轴为x=，
当a＞0时，对称轴大于0，由题意可得 f（x）＞g（x）恰有0，1两个整数解，
可得，即有，解得＜a，
当a＜0时，对称轴小于0，由题意可得f（x）＞g（x）恰有-3，-2两个整数解，
可得，即有，解得，
综上可得a的取值范围是≤a或，
故答案为：．
25．【答案】1＜λ＜3
【解析】利用三角形任意两边之和大于第三边即可得出．
解：∵x＞0，y＞0，a=x+y,b=，
∴a2-b2=3xy＞0，
∴a＞b.
∵a,b,c能作为三角形的三边长，
∴b+c＞a且a+b＞c,
即＞x+y,．
由，
可得左边=3，
∴λ＜3．
由＞x+y,
∴λ＞=，
∵，
∴λ＞1．
综上可得：1＜λ＜3．
故答案为：1＜λ＜3．
26．【解析】（1）把不等式4x2-4x+1＞0化为（2x-1）2＞0，求出不等式的解集；
（2）不等式中Δ＜0，判断不等式的解集为R．
解：（1）不等式4x2-4x+1＞0可化为
（2x-1）2＞0，
解得x≠，
所以不等式的解集为{x|x≠}；
（2）不等式2x2+5x+6＞0中，
Δ=25-4×2×6=-23＜0，
所以不等式的解集为R．
27．【解析】作差判断差的符号，可得a≥b,且b＞c,综合可得答案
解：∵a=2x2+1，b=x2+2x,c=-x-3，
∴a-b=（2x2+1）-（x2+2x）=x2-2x+1=（x-1）2≥0，即a≥b,b-c=（x2+2x）-（-x-3）=，即b＞c,
综上可得：a≥b＞c.
28．【解析】（1）间接法求f（a），利用f（a）=S△AB'C=S梯形AA'C'C-S△AA'B'-S△CC'B'求出f（a）的值，直接法求g（a）=AC BB′．
（2）比较f（a）与g（a）的大小，用作差法，化简f（a）-g（a）到因式乘积的形式，判断符号，从而比较大小．
解：（1）连接AA′、BB′、CC′，
则f（a）=S△AB'C=S梯形AA'C'C-S△AA'B'-S△CC'B'
===（），
（2）由题意，g（a）=S△A′BC′= AC BB′=BB′=，
==，
∴f（a）＜g（a）．
29．【解析】（1）根据题意，分析可得x=-2和x=4是方程|x+1|+|x-3|=2m的根，即可得2m=6，化简可得m的值；
（2）由（1）的结论m=3，则，将a+2b+3c变形可得a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）=[1+1+1+（+）+（+）+（+）]，结合基本不等式的性质分析可得结论．
解：（1）根据题意，函数f（x）=m-|x-1|，
则f（x+2）=m-|x+1|，f（x-2）=m-|x-3|，
若f（x+2）+f（x-2）≥0的解集为[-2，4]，即|x+1|+|x-3|≤2m的解集为[-2，4]，
则x=-2和x=4是方程|x+1|+|x-3|=2m的根
则有2m=6，即m=3；
（2）证明：由（1）的结论m=3，则，
a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）
=[1+1+1+（+）+（+）+（+）]≥（3+6）=3，
故a+2b+3c≥3．
30．【解析】（1）分别令x=0及y=0，Δ＞0即可得出；
（2）设出圆的一般方程与（1）比较即可得出；
（3）利用曲线系即可得出．
解：（1）令x=0，得f（0）=c,∴抛物线与y轴的交点为（0，c）．
令f（x）=3x2-2x+c=0，由题意可得：c≠0且Δ=4-12c＞0，
解得c＜且c≠0．
（2）设圆A：x2+y2+Dx+Ey+F=0．
令y=0得：x2+Dx+F=0，与3x2-2x+c=0是同一个方程．
∴，．
令x=0得y2+Ey+F=0，此方程有一个解c.∴，得E=-c-．
∴圆A的方程为：．
（3）由化为．
令，解得，x=0或．
∴圆必过定点或．

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