资源简介

绝密★启用前
2025年高中数学人教（A）版必修一（第四章 指数函数与对数函数）同步训练
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题(共15题，共45.0分)
1．(3分)若函数f（x）=e3x-e2x-ex-a存在零点，则实数a的取值范围为（　　）
A. [-2，+∞） B. [-e,+∞）
C. [-e2，+∞） D. [-1，+∞）
2．(3分)已知集合A={x|lgx＜1}，B={x|x=4k+1，k∈Z}，则A∩B=（　　）
A. {3，6，9} B. {1，5，9}
C. {5，9} D. {1，3，5，7，9}
3．(3分)函数f（x）=ln（x-1）（x＞1）的反函数为（　　）
A. f-1（x）=ex+1（x＞0） B. f-1（x）=ex+1（x∈R）
C. f-1（x）=ex+1（x∈R） D. f-1（x）=ex+1（x＞0）
4．(3分)比较a=2-3.1，b=0.53，c=log3.14，则a，b，c的大小关系是（　　）
A. c＜b＜a B. b＜c＜a C. a＜c＜b D. a＜b＜c
5．(3分)设y=f（x）有反函数y=f-1（x），又y=f（x+2）与y=f-1（x-1）互为反函数，则f-1（2004）-f-1（1）的值为（　　）
A. 4006 B. 4008 C. 2003 D. 2004
6．(3分)已知a=，，，则a,b,c的大小关系为（　　）
A. a＞b＞c B. a＞c＞b C. b＞a＞c D. c＞b＞a
7．(3分)已知函数有且仅有两个零点，则实数a=（　　）
A. B.
C. D.
8．(3分)已知函数f（x）=，若存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
9．(3分)若函数f（x）=|loga（x-2）|-t+1（a＞0，a≠1，t∈R）有两个零点m,n（m＞n），则下列说法中正确的是（　　）
A. t∈[1，+∞） B. n＞3
C. （m-2）（n-2）=2 D. mn-2（m+n）=-3
10．(3分)已知定义域为（0，6）的函数y=f（x）关于x=3对称，当x∈（0，3]时，f（x）=|lnx|，若方程f（x）=t有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，都有k（x3x4-1）+x12+x22-9≥0成立，则实数k的最小值为（　　）
A. B.
C. D.
11．(3分)已知函数，若函数f（x）在[0，+∞）内恰有5个零点，则a的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
12．(3分)已知f（x）=ex-ax有两个零点x1，x2（x1＜x2），，则（　　）
A. a＜e
B. g（x1）+g（x2）＞0
C. g（x1） g（x2）＞0
D. 2g（x1） g（x2）+g（x2）＜0
13．(3分)已知函数，若方程f（x）=ax有三个不同的实数根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x1-x2的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
14．(3分)已知函数，在区间[0，π]上有且仅有2个解，对于下列4个结论：①在区间（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）-f（x2）=2；②f（x）在区间（0，π）有且仅有1个最大值点；③f（x）在区间上单调递增；④ω的取值范围是，其中所有正确结论的编号是（　　）
A. ①③ B. ①③④ C. ②③ D. ①④
15．(3分)已知函数f（x）=和g（x）=a（a∈R且为常数）．有以下结论：
①当a=4时，存在实数m,使得关于x的方程f（x）=g（x）有四个不同的实数根；
②存在m∈[3，4]，使得关于x的方程f（x）=g（x）有三个不同的实数根；
③当x＞0时，若函数h（x）=f2（x）+bf（x）+c恰有3个不同的零点x1，x2，x3，则x1x2x3=1；
④当m=-4时，关于x的方程f（x）=g（x）有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，若f（x）在[x，x4]上的最大值为ln4，则sin（3x1+3x2+5x3+4x4）π=1．
其中正确结论的个数是（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、多选题(共5题，共15.0分)
16．(3分)如图为函数y=m+lognx的图像，其中m,n为常数，则下列结论正确的是（　　）
A. m＜0 B. m＞0 C. n＞1 D. 0＜n＜1
17．(3分)下列说法正确的是
A. 已知方程 的解在 内，则
B. 若函数 的零点为
C. 若连续函数 在 内有零点，则
D. 用二分法求方程 在 内的近似解的过程中得到 ， ， ，则方程的根落在区间 上
18．(3分)已知-1为函数f（x）=x3-3x+a的一个零点，则（　　）
A. f（x）的图象关于（0，-2）对称
B. f（x）＜0的解集为（-∞，2）
C. x∈（0，1）时，f（x2）＜f（x）
D. x∈[m,n]时，f（x）∈[-4，0]，则n-m的最大值为4
19．(3分)已知函数f（x）=2x-cosx的零点为x0，则（　　）
A. x0＜ B. x0＞
C. tanx0＞ D. x0-＜sinx0
20．(3分)已知函数，则（　　）
A. a,b∈R，使得f（x）是偶函数
B. 当a=0，b=1时，函数g（x）=f2（x）-5f（x）+6有5个零点
C. 当a=0时，函数f（x）在上最大值大于，则b＞0
D. 当b=0时，设f（x）在上的最大值为h（a），则h（a）的最小值为
三、填空题(共5题，共15.0分)
21．(3分)已知f（x）=，其反函数为f-1（x），若f-1（x）-a=f（x+a）有实数根，则a的取值范围为_____．
22．(3分)当物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一段时间t后的温度是T，则，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期，现有一杯88℃的热水，放在24℃的房间中，如果水温降到40℃需要20分钟．那么在16℃环境下，水温从40℃降到22℃时，需要 _____分钟．
23．(3分)已知函数f（x）=（e为自然对数的底数，a∈R），若存在x∈[0，1]，使f（f（x））=x成立，则实数a的取值范围是_____．
24．(3分)如图，某城市公园内有一矩形空地ABCD，AB=300m,AD=180m,现规划在边AB，CD，DA上分别取点E，F，G，且满足AE=EF，FG=GA，在△EAG内建造喷泉瀑布，在△EFG内种植花卉，其余区域铺设草坪，并修建栈道EG作为观光路线（不考虑宽度），则当sin∠AEG=_____时，栈道EG最短，此时EG=_____m.
25．(3分)下列几个命题，正确的有_____．（填序号）
①方程x2+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；
②若幂函数的图象与坐标轴没有交点，则m的取值范围为（-3，1）
③若f（x+1）为偶函数，则有f（x+1）=f（-x-1）；
④函数y=f（2x）的定义域为[1，2]，则函数y=f（x）的定义域为[0，1]．
四、解答题(共5题，共75.0分)
26．(15分)已知指数函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象经过点（2，9）．
（1）求实数a的值；
（2）如果f（2-x）≤1，求实数x的取值范围．
27．(15分)已知关于x的方程3mx2+3px+4q=0（其中m,p,q均为实数）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2）．
（1）若p=q=1，求m的取值范围；
（2）若x1，x2满足+=x1x2+1，且m=1，求p的取值范围．
28．(15分)已知对数函数y=logax（a＞0且a≠1）和指数函数y=ax（a＞0且a≠1）互为反函数，记函数g（x）=log2x的反函数为y=f（x）．
（1）若函数g（mx2+2x+1）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）若不等式对任意x∈（log23，+∞）恒成立，求实数b的取值范围．
29．(15分)已知函数（其中a＞0，e是自然对数的底数）．
（1）若y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x-y+1=0，求a,b；
（2）若b=1，函数y=f（x）恰好有两个零点，求实数a的取值范围．
30．(15分)已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；
（2）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．
试卷答案
1．【答案】D
【解析】根据题意，求出函数的导数，分析f（x）单调性，可得f（x）min=f（0）=-a-1，由函数零点的定义可得-a-1≤0，解可得答案．
解：根据题意，函数f（x）=e3x-e2x-ex-a,
其导数f′（x）=3e3x-2e2x-ex=ex（3e2x-2ex-1）=ex（ex-1）（3ex+1），
若f′（x）=0，即ex-1=0，则有x=0，
在区间（-∞，0）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
在区间（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
则f（x）min=f（0）=-a-1，x→+∞时，f（x）→+∞，
若函数f（x）=e3x-e2x-ex-a存在零点，必有-a-1≤0，则a≥-1，
即a的取值范围为[-1，+∞），
故选：D．
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】A
6．【答案】A
7．【答案】C
【解析】令f（x）=0，可得x3-2x2=-，可得函数y=x3-2x2的图象与直线y=-有两个不同的交点．求出函数y=x3-2x2单调区间、极值，画出大致图象，即可得到所求a的值．
解：当a=0时，f（x）=无零点，不合题意，∴a≠0，
令f（x）=0，则a（x2-2x）+=0，∴x3-2x2=-，
即y=x3-2x2的图象与直线y=-有两个不同的交点，
y′=3x2-4x=x（3x-4），
当x＜0或x＞时，y′＞0，函数单调递增，
当0＜x＜时，y′＜0，函数单调递减，
∴当x=0时，函数有极大值为y=0，
当x=时，函数有极小值为y=-=-，
则函数y=x3-2x2的图象大致如下，
∵y=x3-2x2的图象与直线y=-有两个不同的交点，
∴-=-或-=0（舍去），∴a=．
故选：C．
8．【答案】D
9．【答案】D
【解析】利用函数与方程思想，将已知转化为函数y=|loga（x-2）|与y=t-1有两个交点，结合对数函数的性质，列方程逐一检验．
解：令f（x）=|loga（x-2）|-t+1=0，
函数f（x）有两个零点即方程|loga（x-2）|=t-1有两个根，
即函数y=|loga（x-2）|与y=t-1有两个交点，
由t-1＞0，可得t＞1，故A错误；
画出函数y=|loga（x-2）|的图象，
由m＞n,可得n＜3，故B错误；
∵|loga（m-2）|=|loga（n-2）|，
化简得loga（m-2）=-loga（n-2）=loga，
即（m-2）（n-2）=1，解得mn-2（m+n）=-3，
故C错误，D正确；
故选：D．
10．【答案】A
【解析】作出函数f（x）的图象，作直线y=t,由此可得x1，x2，x3，x4的关系及范围，而不等式可转化为，令x1+x2=t,求出t范围，并把变成t的函数，由导数求出它的范围，从而得k的范围．
解：作出函数f（x）的图象，如图，作直线y=t,
它与f（x）图象的四个交点的横坐标依次为x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），
∵函数y=f（x）的图象关于x=3对称，∴x3=6-x2，x4=6-x1，
-lnx1=lnx2，即x1x2=1，且1＜x2＜3，
显然x3x4＞1，不等式变形为，
x3x4=（6-x2）（6-x1）=36-6（x1+x2）+x1x2=37-6（x1+x2），
，
∴，
由勾形函数性质知在x2∈（1，3）时是增函数，
∴，
令t=x1+x2，则，=，，
当时，g'（t）＜0，g（t）单调递减，∴，
∴，即k的最小值是．
故选：A．
11．【答案】D
【解析】分析可知a＞0，对实数a的取值进行分类讨论，确定函数f（x）在[a,+∞）上的零点个数，然后再确定函数f（x）在[0，a）上的零点个数，可得出关于实数a的不等式（组），综合可得出实数a的取值范围．
解：当a≤0时，对任意的x≥0，f（x）=x2-（2a+1）x+a2+2在[0，+∞）上至多2个零点，不合乎题意，所以，a＞0．
函数y=x2-（2a+1）x+a2+2的对称轴为直线．
所以，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，且f（a）=2-a.
①当Δ=4a-7＜0时，即当时，则函数f（x）在[a,+∞）上无零点，
所以，函数在[0，a）上有5个零点，
当0≤x＜a时，，则，
由题意可得-5π＜（1-2a）π≤-4π，解得，此时a不存在；
②当Δ=0时，即当时，函数f（x）在上只有一个零点，
当时，f（x）=-2cos2πx,则，则函数f（x）在上只有3个零点，
此时，函数f（x）在[0，+∞）上的零点个数为4，不合题意；
③当时，即当时，函数f（x）在[a,+∞）上有2个零点，
则函数在[0，a）上有3个零点，
则-3π＜（1-2a）π≤-2π，解得，此时；
④当时，即当a＞2时，函数f（x）在[a,+∞）上有1个零点，
则函数在[0，a）上有4个零点，
则-4π＜（1-2a）π≤-3π，解得，此时，．
综上所述，实数a的取值范围是．
故选：D．
12．【答案】B
【解析】对于选项A，通过令f（x）=0，构建新函数h（x）=，求导解出h（x）=的单调性，再结合有两个不同零点即可得出a与e的大小关系；
对于选项C，通过对g（x）求导得出单调性，再由对称定义得出g（x）关于（1，0）对称，得出g（x1）＜0，且g（x2）＞0，即可判断；
对于选项D，通过对f（x）零点的分析结合选项A中的证明，得出0＜x1＜1＜x2，结合选项C中的证明利用单调性得出g（x1）＞g（0）=-，即可判断；
对于选项B，结合选项C，D中的证明，构造新函数t（x）=h（x）-h（2-x），求导再构造得出t（x）的单调性，即可由0＜x1＜1＜x2与t（x）的单调性得出x2+x1＞2，即可证明x2比x1离x=1远，再结合对称性得出|g（x2）|＞|g（x1）|，即可判断．
解：对于A，令f（x）=ex-ax=0，则ex=ax,即a=，
令h（x）=，
则h′（x）==，
则当x＞1时，h′（x）＞0，当x＜1时，h′（x）＜0，
则h（x）=在（1，+∞）上单调递增，在（-∞，1）上单调递减，
则h（x）min=h（1）=e,
则当f（x）=ex-ax有两个不同零点时，a＞e,故选项A错误；
对于B，，
则g′（x）=2x-1ln2+21-xln2-1=ln2（2x-1+21-x）-1，
由基本不等式可得2x-1+21-x≥2，
则ln2（2x-1+21-x）≥2ln2＞1，
则g′（x）＞0，则g（x）再定义域上单调递增，
又因为g（x+1）+g（-x+1）=--x-1+-+x-1+1=0，
所以g（x）关于（1，0）对称，
令f（x）=ex-ax=0，则ex=ax,因为ex＞0，且由选项A得知a＞e,
所以当f（x）=ex-ax=0时，解得x＞0，即x1，x2＞0，
由选项A中可知h（x）=在（1，+∞）上单调递增，在（-∞，1）上单调递减，
当f（x）=ex-ax=0有两个零点x1，x2（x1＜x2），
则0＜x1＜1＜x2，
则g（x1）＜0，且g（x2）＞0，
令t（x）=h（x）-h（2-x），且0＜x＜1，
则t′（x）=（x-1）（-），
令s（x）=（0＜x＜1），
则s′（x）=＜0，
即s（x）在（0，1）上单调递减，
因为0＜x＜1，所以x＜2-x,
所以-＞0，
则t′（x）＜0，
即t（x）在（0，1）上单调递减，
所以t（x）＞t（1）=0，
即h（x）＞h（2-x），
因为0＜x1＜1，
h（x1）＞h（2-x1），
又因为h（x1）=h（x2），
所以h（x2）＞h（2-x1），
因为x2＞1，2-x1＞1，h（x）=在（1，+∞）上单调递增，
所以x2＞2-x1，即x2+x1＞2，
则x2比x1离x=1远，
则|g（x2）|＞|g（x1）|，
则g（x2）+g（x1）＞0，故选项B正确；
对于C，由选项B中可知g（x1）＜0，且g（x2）＞0，
则g（x1） g（x2）＜0，故选项C错误；
对于D，2g（x1） g（x2）+g（x2）=g（x2） [2g（x1）+1]，
由选项B中可知g（x）再定义域上单调递增，且g（x2）＞0，0＜x1＜1，
则g（x1）＞g（0）=-，
则2g（x1）+1＞0，
则2g（x1） g（x2）+g（x2）＞0，故选项D错误．
故选：B．
13．【答案】B
【解析】利用y=ax与y=lnx相切时的切点坐标做．
解：当y=ax与y=lnx相切时，设切点为（x0，lnx0 ），
，
∴，，由，得，
再由图知方程f（x）=ax的三个不同的实数根 x1，x2，x3 满足，1＜x2＜e＜x3
因此，
即x1-x2 的取值范围是（）
故选：B．
14．【答案】B
【解析】①f（x1）-f（x2）=2则为最大值1减最小值-1，我们需要找到在（0，π）上是否存在最大值1和最小值-1；②我们需要先确定ω范围从而确定的范围，根据整体思想确定它的单调性．
解析：∵x∈[0，π]，∴，
令，则
由题意，在上只能有两解和
∴，（*）因为在上必有，
故在（0，π）上存在x1，x2满足 f（x1）-f（x2）=2；①成立；
对应的x（显然在[0，π]上）一定是最大值点，因对应的x值有可能在[0，π]上，故②结论错误；
解（*）得，所以④成立；
当时，，由于，故，
此时y=sinz是增函数，从而f（x）在上单调递增．
综上，①③④成立，
故选：B．
15．【答案】C
【解析】①取m＜-4时，满足条件；
②作出函数f（x）的图象，利用数形结合判断错误；
③设t=f（x）=|lnx|，根据h（x）有三个不同的零点，判断t的取值进行证明；
④当m=-4时，函数f（x）的图象确定，确定x1，x2，x3，x4，的取值关系进行判断即可．
解：①当x≤0时，f（x）=-x2+mx=-（x2-mx）=-（x-）2+，
当对称轴＜0且＞4，即m＜0且m2＞16，
即m＜-4时，f（x）=g（x）=4有四个不同的实数根，故①正确，
②若m＞0，则函数的对称轴＞0，此时当x≤0时，函数f（x）为增函数，且f（x）≤0，
此时当m∈[3，4]，使得关于x的方程f（x）=g（x）不可能有三个不同的实数根，故②错误
③当x＞0时，设t=f（x）=|lnx|，若f2（x）+bf（x）+c=0有三个不同的根，
则t2+bt+c=0有两个不同的实根，其中t1=0，t2＞0，
当t1=0时，对应一个根x1=1，
当t2＞0时，对应两个根x2，x3，且0＜x2＜1＜x3，
则|lnx2|=|lnx3|，即-lnx2=lnx3，
则lnx2+lnx3=0，即ln（x2x3）=0，
则x2x3=1，即x1x2x3=1，故③正确，
④当m=-4时，作出f（x）的图象如图，由对数的性质知x3x4=1，
x＜＜x3，即f（x）在[x，x4]上的最大值为f（x）=|lnx|=2|lnx3|=-2lnx3=ln4=2ln2，
得lnx3=-ln2，得x3=，则x4=2，
由对称性知，即x1+x2=-4，
则sin（3x1+3x2+5x3+4x4）π=sin（-12++8）π=sin（-4π+π）=sinπ=sin=1，故④正确，
故正确的是①③④，共3个，
故选：C．
16．【答案】AD
【解析】由已知图像，结合对数函数的图像与性质可求．
解：由图象可知对数函数在（0，+∞）上为减函数，
∴0＜n＜1，
由图像可得，当x=1时，y=m＜0．
故选：AD．
17．【答案】AD
【解析】本题主要考查命题真假的判断，考查零点存在性定理的应用，考查反函数的性质，属于基础题．
将方程的根转化为函数的零点，由函数的零点存在性定理求出 的值，即可判断选项 ；函数的零点即为方程的根，从而判断选项 ；由反函数图象关于 对称，即可判断选项 ；由零点存在性定理即可判断选项
18．【答案】AD
19．【答案】ABD
【解析】对AB，求导分析可得f（x）为增函数，再根据零点存在性定理可判断；
对C，根据AB得出的结合正切函数的单调性可判断；
对D，构造函数，再根据零点存在性定理，放缩判断g（x）的正负判断即可
解：对AB，由题f′（x）=2+sinx＞0，故f（x）为增函数．
又，故，故AB正确；
对C，因为，所以，但1，故C错误；
对D，构造函数，则g′（x）=1-cosx＞0，
故g（x）为增函数，
故，
因为，故，故，
即g（x）＜0，故，故，D正确；
故选：ABD．
20．【答案】ABD
21．【答案】[，+∞）
【解析】因为y=f-1（x）-a与y=f（x+a）互为反函数若y=f-1（x）-a与y=f（x+a）有实数根 y=f（x+a）与y=x有交点 方程，有根．进而得出答案．
解：因为y=f-1（x）-a与y=f（x+a）互为反函数，
若y=f-1（x）-a与y=f（x+a）有实数根，
则y=f（x+a）与y=x有交点，
所以，
即a=x2-x+1=（x-）2+≥，
故答案为：[，+∞）．
22．【答案】20
【解析】根据指数函数模型，由数据Ta=24，T0=88，T=40，t=20求得h,令Ta=16，T0=40，T=22求得t.
解：由已知可得Ta=24，T0=88，T=40，t=20，
由题意知，即，
所以2=，解得h=10，
当Ta=16，T0=40，T=22时，
由，得．
所以=2，解得t=20．
故答案为：20．
23．【答案】[1，e-1]
【解析】利用反函数将问题进行转化，再将解方程问题转化为函数的图象交点问题．
解：∵存在x∈[0，1]，使f（f（x））=x成立，
∴存在x∈[0，1]，使f（x）=f-1（x），
即函数f（x）与其反函数f-1（x）在[0，1]上有交点．
∵f（x）=（在[0，1]上为增函数，
∴函数f（x）与其反函数f-1（x）在[0，1]的交点在直线y=x上，
即函数f（x）与其反函数f-1（x）的交点就是f（x）与y=x的交点．
令=x,则方程在[0，1]上一定有解．
∴a=ex-x2，
设g（x）=ex-x2，
则g′（x）=ex-2x,令h（x）=ex-2x,h′（x）=ex-2，
当x＞ln2时，h′（x）＞0，当x＜ln2时，h′（x）＜0，
即有x=ln2处取得最小值2-2ln2＞0，
即g′（x）＞0在[0，1]上恒成立，
∴g（x）=ex-x2在[0，1]上递增，
∴a=g（x）≥g（0）=1，
g（x）≤g（1）=e-1；
综上可知，1≤a≤e-1．
故答案为：[1，e-1]．
24．【答案】(1);(2)135;
【解析】由题设有Rt△EAG Rt△EFG，设，根据图形中边角关系，结合三角函数可得，注意sinθ的范围，进而应用换元法并构造函数，利用导数求最值．
解：由题意，Rt△EAG Rt△EFG，
设，则，
在Rt△GDF中，得，
则，
由于，解得，
令，则，
令f（t）=t-t3，则f′（t）=1-3t2，
当f′（t）＞0时 递增，
当f′（t）＜0时 递减，
所以有最大值，则．
故答案为：．
25．【答案】①
【解析】根据韦达定理及一元二次方程根的个数与△的关系，可以判断①的真假；根据幂函数的图象和性质，可以判断②的真假；根据函数的对称性及轴对称函数解析式与对称轴的关系，可以判断③的真假；根据复数函数定义域的求法，根据已知求出函数y=f（x）的定义域，即可得到答案．
解：若方程x2+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则Δ＞0，且x1 x2=a＜0，解得a＜0，故①正确；
若幂函数的图象与坐标轴没有交点，则m2+2m-3≤0，解得m的取值范围为[-3，1]；
若f（x+1）为偶函数，则表示函数若f（x）的图象关于直线x=1对称，而f（x+1）=f（-x-1）表示f（x）的图象关于直线x=0（y轴）对称，故③错误；
若函数y=f（2x）的定义域为[1，2]，则函数y=f（x）的定义域为[2，4]，故④错误；
故答案为：①
26．【解析】（1）∵f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象经过点（2，9），代入可求a；
（2）由（1）可得，f（x）=3x，代入结合指数函数的单调性可求．
解：（1）∵f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象经过点（2，9），
∴9=a2
∵a＞0
∴a=3；
（2）由（1）可得，f（x）=3x
∵f（2-x）≤1
32-x≤30
∴2-x≤0
∴{x|x≥2}．
27．【解析】（1）由题意，利用判别式大于零，求得m的取值范围．
（2）先利用判别式大于零，整理得，再利用由根与系数的关系，求得p的取值范围．
解：（1）当p=q=1，原方程为3mx2+3x+4=0，
由于该方程有两个不等实根，故有Δ=32-4×3m×4＞0，解得，
故实数m的取值范围为{m|m＜}．
（2）因为m=1，所以3x2+3px+4q=0．
又方程3x2+3px+4q=0有两个不等实根x1，x2，
所以Δ=（3p）2-4×3×4q＞0，整理得．
由根与系数的关系得．
由足，
整理可得，整理得p2=4q+1，
所以4q+1q,解得q．
则p2＜4×+1=4，
解得-2＜p＜2，
即p的取值范围为{p|-2＜p＜2}．
28．【解析】（1）对数函数定义域为x＞0，由函数g（mx2+2x+1）的定义域为R得，mx2+2x+1＞0在R上恒成立，从而m＞0且Δ＜0，解不等式组求实数m的取值范围．
（2）对不等式等解变形，分情况讨论实数b的取值范围．
解：（1）∵g（mx2+2x+1）的定义域为R，∴mx2+2x+1＞0 在R上恒成立，所以 m＞0 且22-4×m×1＜0，解得 m＞1，故实数m的取值范围为（1，+∞）．
（2）由题意得：f（x）=2x，化简不等式
（2x）2-b×2x+（b+1）＞0，
x∈（log23，+∞） 2x∈（3，+∞），
令u=2x，对任意x∈（log23，+∞）恒成立，
即h（u）=u2-bu+（b+1）＞0对于任意u∈（3，+∞）恒成立，
分情况讨论：①当Δ=（-b）2-4（ b+1）＜0 时，即 2-2＜b＜2+2，h（u）=u2-bu+（b+1）＞0，
②当Δ=（-b）2-4（ b+1）≥0时，即 b≥2+2或b≤2-2 时，
，解得b≤5，于是b∈（-∞，2-2]∪[2+2，5]，
由①②得：实数b的取值范围为（-∞，5]．
29．【解析】（1）求出导函数，利用已知条件列出方程组，求解a,b即可．
（2）问题等价于的图象和直线y=a恰好有2个交点，求a的取值范围．构造函数，求出导函数．令h（x）=1-2x-ex，然后利用函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的最大值，推出函数的极值，判断零点个数即可．
解：（1）函数（其中a＞0，e是自然对数的底数）．
，（2分）
y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x-y+1=0，
所以，解得a=2，b=1．（4分）
（2），（6分）
问题等价于的图象和直线y=a恰好有2个交点，求a的取值范围．
令，则．令h（x）=1-2x-ex，
则h'（x）=-2-ex＜0，∴h（x）在（-∞，+∞）上单调递减．又h（0）=0，
∴当x∈（-∞，0）时，h（x）＞0，g'（x）＞0，∴g（x）在（-∞，0）上单调递增．
当x∈（0，+∞）时，h（x）＜0，g'（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）的极大值即最大值为g（0）=1（18分）
当x∈（-∞，0]时，g（x）∈（-∞，1]：当x∈（0，+∞）时，g（x）∈（0，1）（10分）
当a∈（0，1）时，的图象和直线y=a恰好有2个交点，
函数f（x）恰好有两个零点． （12分）
30．【解析】（1）关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，可转化为|x-1|（|x+1|-a）=0只有一个解，进而转化为|x+1|=a,有且仅有一个等于1的解或无解，进行判断得出参数范围即可．
（2）根据自变量的取值范围进行分类讨论求参数的范围即可，此分类讨论是根据自变量进行分类的，故求得的参数范围必须求交集参数能满足恒成立．
（3）将所给的函数写成分段函数的形式，在每一段上对函数的最值进行讨论，求出最大值，再比较两段上的最值得到函数的最大值，由于参数的影响，函数的单调性不确定，故可以根据需要分成三段进行讨论
解：（1）方程|f（x）|=g（x），即|x2-1|=a|x-1|，变形得|x-1|（|x+1|-a）=0，
显然，x=1已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a,
有且仅有一个等于1的解或无解，
由此得a＜0．
（2）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，即（x2-1）≥a|x-1|（*）对x∈R恒成立，
①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；
②当x≠1时，（*）可变形为，令
因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞-2，
所以φ（x）＞-2，故此时a≤-2．
综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤-2．
（3）因为h（x）=|f（x）|+g（x）=|x2-1|+a|x-1|=
当时，结合图形可知h（x）在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，经比较，此时h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3．
当时，结合图形可知h（x）在[-2，-1]，上递减，
在，[1，2]上递增，且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，，
经比较，知此时h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3．
当时，结合图形可知h（x）在[-2，-1]，上递减，
在，[1，2]上递增，且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，，
经比较，知此时h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3．
当时，结合图形可知h（x）在，上递减，
在，上递增，且h（-2）=3a+3＜0，h（2）=a+3≥0，
经比较，知此时h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3．
当时，结合图形可知h（x）在[，-1]上递增，在[1，-]上递减，
故此时h（x）在[-2，2]上的最大值为h（1）=0．
综上所述，当a≥0时，h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3；
当-3≤a＜0时，h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3；
当a＜-3时，h（x）在[-2，2]上的最大值为0．

展开更多......

收起↑