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2025年高中数学人教（A）版必修一（第五章 三角函数）同步训练
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题(共15题，共45.0分)
1．(3分)下列各角中，与440°角终边相同的角是（　　）
A. 280° B. 160° C. -80° D. -280°
2．(3分)函数y=tan2x-tanx+2，的值域为（　　）
A. B.
C. D. [2，4]
3．(3分)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P（-1，m）（m≠0），则下列各式的值一定为负的是（　　）
A. sinα+cosα B. sinα-cosα
C. sinαcosα D.
4．(3分)tan200°+tan40°+tan20° tan40°=（　　）
A. B.
C. 1 D. -1
5．(3分)已知tan2α=-，且α∈（π，），则sinα=（　　）
A. B.
C. D.
6．(3分)已知函数f（x）=（x-4）3cosωx（ω＞0），存在常数a∈R，使f（x+a）为偶函数，则ω的最小值为（　　）
A. B.
C. D.
7．(3分)设，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
8．(3分)已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），当f（x1）f（x2）=3时，|x1-x2|min=π，f（0）=，则下列结论正确的是（　　）
A. 函数f（x）的最小正周期为2π
B. 函数f（x）的图象的一个对称中心为（，0）
C. 函数f（x）的图象的一条对称轴方程为x=
D. 函数f（x）的图象可以由函数y=cosωx的图象向右平移个单位长度得到
9．(3分)已知函数f（x）=Asin（ωx+）-1（A＞0，ω＞0）的部分图象如图，则对于区间[0，π]内的任意实数x1，x2，f（x1）-f（x2）的最大值为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
10．(3分)已知函数f（x）=3sinαx2-2（sinα-sinβ+1）x-sinβ，记x∈[-1，1]时f（x）的最大值为M（α，β），则对任意的α，β∈R，M（α，β）的最大值为（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 10
11．(3分)求值：=（　　）
A. B.
C. 1 D.
12．(3分)已知，则（ ）
A. B.
C. D.
13．(3分)已知函数，在区间[0，π]上有且仅有2个解，对于下列4个结论：①在区间（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）-f（x2）=2；②f（x）在区间（0，π）有且仅有1个最大值点；③f（x）在区间上单调递增；④ω的取值范围是，其中所有正确结论的编号是（　　）
A. ①③ B. ①③④ C. ②③ D. ①④
14．(3分)函数f（x）=sin（2x+）在区间[t上的最大值与最小值之差的取值范围是（　　）
A. [] B. [1，]
C. [，1] D. [1，]
15．(3分)已知函数，在区间[0，π]上有且仅有2个解，对于下列4个结论：①在区间（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）-f（x2）=2；②f（x）在区间（0，π）有且仅有1个最大值点；③f（x）在区间上单调递增；④ω的取值范围是，其中所有正确结论的编号是（　　）
A. ①③ B. ①③④ C. ②③ D. ①④
二、多选题(共5题，共15.0分)
16．(3分)余切函数是三角函数的一种，表示为cotx,余切函数与正切函数关系密切，它们之间的关系为．已知函数，则（　　）
A. f（x）的定义域为
B. f（x）图象的对称中心为（k∈Z）
C. f（x）的单调递减区间为
D. f（x）与的图象关于直线对称
17．(3分)下列选项正确的是（　　）
A. 已知三角形内角α满足，则
B. 周长为40的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是2
C. 已知，当x∈（0，2π）时，
D. 已知，且，则
18．(3分)下列等式成立的有（　　）
A.
B.
C.
D.
19．(3分)已知对任意角α，β均有公式sin2α+sin2β=2sin（α+β）cos（α-β）．设△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+，面积S满足1≤S≤2．记a,b,c分别为A，B，C所对的边，则下列式子一定成立的是（　　）
A. B.
C. D. bc（b+c）＞8
20．(3分)设x∈R，当时，规定 x =n,如 1.5 =2， -0.2 =0．则下列选项正确的是（　　）
A. a+b ≤ a + b （a,b∈R）
B.
C. 设函数y= 2sinx + 2cosx 的值域为M，则M的子集个数为512
D.
三、填空题(共5题，共15.0分)
21．(3分)已知，则sin2θ=_____．
22．(3分)函数 的值域为______.
23．(3分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a,b,c.asinBcosC+csinBcosA=且a＞b,则∠B=_____．
24．(3分)已知G点为△ABC的重心，且，则的值为_____．
25．(3分)设A、B、C是△ABC的三个内角，则3cosA+2cos2B+cos3C的取值范围为 _____．
四、解答题(共5题，共75.0分)
26．(15分)已知函数f（x）=sin（x-）-2，将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，再向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）在上的最大值和最小值．
27．(15分)已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；以及取最大值时相应的x值；
（2）讨论f（x）在上的单调性．
28．(15分)如果α是第二象限的角，判断的符号．
29．(15分)在锐角三角形ABC，若（a-b+c）（a+b+c）=3ac
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）求sinA+cosA的取值范围．
30．(15分)已知函数y=2sin（-2x），
（1）求函数的周期；
（2）求函数单调增区间；
（3）求函数在[0，]上的值域．
试卷答案
1．【答案】D
2．【答案】C
【解析】换元，用二次函数的单调性求出原函数的值域．注意辅助元的范围．
解：由，可得tanx∈[-1，1]，设t=tanx[-1，1]，且单调递增，
所以函数可得y=t2-t+2，t∈[-1，1]，
因为函数开口向上，对称轴t=，且|-1-|，所以t=-，距离对称轴比较远，
所以t=时，函数值最小，且为：（）2-=，
t=-1时，函数值最大，且为：（-1）2-（-1）+2=4，
综上所述函数的值域为：[，4]
故选：C．
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】C
【解析】利用二倍角的正切公式化简已知等式可得tanα的值，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解．
解：∵，
∴tanα=2，或，
又∵，
∴tanα=2，
∴，即，解得，
∴．
故选：C．
6．【答案】B
7．【答案】B
【解析】利用正弦函数性质可得，再利用对数函数结合“媒介“数及均值不等式即可比较作答.
因为，则，
，则，
显然，，即，
所以.
故选：B
8．【答案】D
9．【答案】B
10．【答案】D
【解析】先令，换元，则f（x）=3ax2-2（a-b+1）x-b,再对当x∈[-1，1]时f（x）的范围进行讨论即，可求出f（x）的最大值为M（α，β）的最大值．
解：令，则f（x）=3ax2-2（a-b+1）x-b,
因为a=sinα∈[-1，1]，b=sinβ∈[-1，1]，
所以当a=0 时，f（x）=0-2（0-b+1）x-b=2（b-1）x-b∈[b-2，2-3b]，
所以此时|f（x）| 5，
当a＜0 时，由-1≤a＜0，-1≤b≤1，可得对称轴，
①当 时，即 b 1+4a 时，
f（x）∈[a+b-2，5a-3b+2]，
此时-4 f（x） 5，即|f（x）| 5；
②当 时，即 b＞1+4a 时，
，
又f（x） min{a-b+2，5a-3b+2} -6，
所以|f（x）| 6，
当a＞0 时，对称轴，
（i）当时，即 b＜1-2a 时，f（x） 5a-3b+2 10，
所以f（x） a+b-2 -3，所以|f（x）| 10；
（ii）当 时，即 b＞1-2a 时，
f（x） 5a-3b+2 10，，
所以|f（x）| 10，
所以M 最大值为10．
故选：D．
11．【答案】A
【解析】利用积化和差与和差化积公式即可．
解：∵1+4cos20°sin250°=1+4cos20°cos40°cos40°=1+2（cos60°+cos20°）cos40°
=1+cos40°+2cos20°cos40°=2cos220°+2cos20°cos40°=2cos20°（cos20°+cos40°）
=2cos20° 2cos30°cos10°=2，
∴=．
故选：A．
12．【答案】A
【解析】由结合三角函数的性质可得；构造函数，利用导数可得，即可得解.
因为，因为当，所以，即，所以；
设，，
所以在单调递增，则，所以，
所以，所以，故选：A.
13．【答案】B
【解析】①f（x1）-f（x2）=2则为最大值1减最小值-1，我们需要找到在（0，π）上是否存在最大值1和最小值-1；②我们需要先确定ω范围从而确定的范围，根据整体思想确定它的单调性．
【解答】解析：∵x∈[0，π]，∴，
令，则
由题意，在上只能有两解和
∴，（*）因为在上必有，
故在（0，π）上存在x1，x2满足 f（x1）-f（x2）=2；①成立；
对应的x（显然在[0，π]上）一定是最大值点，因对应的x值有可能在[0，π]上，故②结论错误；
解（*）得，所以④成立；
当时，，由于，故，
此时y=sinz是增函数，从而f（x）在上单调递增．
综上，①③④成立，
故选：B．
14．【答案】D
【解析】当函数f（x）在区间[t上单调时，最大值与最小值之差有最大值，当对称轴x=t0在区间内部时，讨论可得最大值与最小值之差的最小值．
解：当对称轴不在[t上时，函数f（x）在[t上单调，不妨设函数f（x）在[t上单调递增，
设函数f（x）=sin（2x+）在区间[t上的最大值与最小值之差为g（t），
则g（t）=f（t）-f（t-）=sin（2t+）-sin[2（t-）+）=sin（2t+）+cos（2t+）=，
当对称轴在区间[t上时，不妨设对称轴上取得最大值1，则函数f（x）的最小值为f（t-）或f（t），
显然当对称轴经过区间[t中点时，g（t）有最小值，
不妨设2×+=+2kπ，k∈Z，
则t=，k∈Z，
f（t）=sin[2（）+]=sin（+2kπ）=，
∴g（t）的最小值为1-，
综上，函数f（x）=sin（2x+）在区间[t上的最大值与最小值之差的取值范围是[1-，]，
故选：D．
15．【答案】B
【解析】①f（x1）-f（x2）=2则为最大值1减最小值-1，我们需要找到在（0，π）上是否存在最大值1和最小值-1；②我们需要先确定ω范围从而确定的范围，根据整体思想确定它的单调性．
解析：∵x∈[0，π]，∴，
令，则
由题意，在上只能有两解和
∴，（*）因为在上必有，
故在（0，π）上存在x1，x2满足 f（x1）-f（x2）=2；①成立；
对应的x（显然在[0，π]上）一定是最大值点，因对应的x值有可能在[0，π]上，故②结论错误；
解（*）得，所以④成立；
当时，，由于，故，
此时y=sinz是增函数，从而f（x）在上单调递增．
综上，①③④成立，
故选：B．
16．【答案】BCD
17．【答案】ABD
18．【答案】AD
19．【答案】ACD
【解析】根据三角函数诱导公式、和差化积公式、两角和与差的余弦公式、正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质 进行证明逐一即可得到结论．
解：因为△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+，
所以，
所以sin2A+sin2B+sin2C=，
所以sin[（A+B）+（A-B）]+sin[（A+B）-（A-B）]+sin2C=，
所以，
从而得：，
所以有，故A正确；
设外接圆的半径为R，
由正弦定理可得===2R，
所以，
所以，
所以=2R∈[4，4]，故B错误；
，故C正确；
bc（b+c）＞abc≥8，故D正确．
故选：ACD．
20．【答案】BD
【解析】结合特例，可判定A错误；结合，可判定B正确；结合正弦、余弦函数的值域，得到y= 2sinx + 2cosx 的值域为M={-3，-2，-1，0，1，2，3}，可判定C正确；设，得到f（x）的周期为，证得f（x）恒为0，可判定D正确，综合可得答案．
解：对于A，令x=-0.6，则 -0.6 =-1，
所以 -0.6-0.6 = -1.2 =-1， -0.6 + -0.6 =-2，
所以 -0.6-0.6 ＞ -0.6 + -0.6 ，故A错误；
对于B，因为n2+n+1＜n2+2n+1=（n+1）2，n2+n+1=（n+）2+＞（n+）2，
所以n+＜＜n+1，所以＜＞=n+1，故B正确；
对于C，因为，所以，
当时，y= 2sinx + 2cosx =-3，
当x=π时，y= 2sinx + 2cosx =-2，
当时，y= 2sinx + 2cosx =-1，
当时，y= 2sinx + 2cosx =0，
当时，y= 2sinx + 2cosx =2，
当时，y= 2sinx + 2cosx =3，
若y= 2sinx + 2cosx =4，则，
所以2sinx≥1.5且2cosx≥1.5，即且，
所以，不符合题意，即y= 2sinx + 2cosx ≠4，
同理y= 2sinx + 2cosx ≠-4，
若 2sinx + 2cosx =1，则 2sinx 与 2cosx 其中一个为1，另一个为0，或其中一个为2，另一个为-1，
不妨令 2cosx =1，则 2sinx =0，此时0.5≤2cosx＜1.5，-0.5≤2sinx＜0.5，
则，所以≤cos2x＜，0≤sin2x＜，
又sin2x+cos2x=1，不符合题意；
令 2sinx =2，则 2cosx =-1，此时1.5≤2sinx≤2，-1.5≤2cosx＜-0.5，
则≤sinx≤1，-≤cosx＜-，所以≤sin2x≤1，＜cos2x≤，
又sin2x+cos2x=1，令sin2x=，，
此时满足y= 2sinx + 2cosx =1，
即函数y= 2sinx + 2cosx 的值域为M={-3，-2，-1，0，1，2，3}，
所以集合M的子集个数为27=128，故C错误；
对于D，设f（x）=＜x-＞+＜x-+＞+＜x-＞+...+＜x-+＞-＜nx-＞，
若n∈N*，可得 a+n = a +n,所以＜x+＞=＜x-＞+1，＜nx+＞=＜nx-＞+1，
则f（x+）-f（x）=＜x+＞-＜x-＞-＜nx+＞+＜nx-＞=1-1=0，
所以f（x）的周期为，
又当时，可得-≤x-＜-＜，所以＜x-＞=0；
，此时；

≤-+≤x-+＜，此时＜x-+＞=0；
，此时，
所以f（x）=0，，结合周期为，即f（x）恒为0，
即，
所以，故D正确．
故选：BD．
21．【答案】
【解析】利用换元法，利用三角函数的倍角公式进行转化求解即可．
解：设α=，则θ=-α，则sinα=，
所以sin2θ=sin2（-α）=sin（-2α）=cos2α
=1-2sin2α=1-2×（）2=1-2×=，
故答案为：．
22．【答案】详情见解析
【解析】解：令 ，则
当且仅当 时取到等号
函数 的值域为
故答案为：
利用换元法，将原函数转化成二次函数在给定区间上的值域，解题时注意换元后变量的范围．
本题主要考查函数的值域的求法，解题时注意合理地进行等价转化，同时考查了运算求解能力，属于基础题．
23．【答案】30°
【解析】利用正弦定理化简已知等式，整理后求出sinB的值，由a大于b得到A大于B，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数．
解：利用正弦定理化简得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，
∵sinB≠0，
∴sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB=，
∵a＞b,∴∠A＞∠B，
∴∠B=30°．
故答案为：30°
24．【答案】
【解析】首先根据三角形的重心性质及直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到CD=AB，再应用余弦定理推出AC2+BC2=5AB2，将应用三角恒等变换公式化简得，然后运用正弦定理和余弦定理，结合前面的结论，即可求出．
解：如图，连接CG，延长交AB于D，
由于G为重心，故D为中点，
∵AG⊥BG，∴DG=AB，
由重心的性质得，CD=3DG，即CD=AB，
由余弦定理得，AC2=AD2+CD2-2AD CD cos∠ADC，
BC2=BD2+CD2-2BD CD cos∠BDC，
∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，
∴AC2+BC2=2AD2+2CD2，
∴AC2+BC2=AB2+AB2=5AB2，
又∵======．
故答案为：．
25．【答案】（-，6）
【解析】先利用极限的思想，当A→0，B→π，C→0 时，求出3cosA+2cos2B+cos3C→6，根据三角形内角和为π，消元，把3cosA+2cos2B+cos3C化为-3cos（B+C）+2cos2B+cos3C，构造函数f（C）=3cos（B+C）+2cos2B+cos3C（0＜C＜π-B），求导，分类讨论，研究函数的单调性，即可求出范围．
解：因为A、B、C是△ABC的三个内角，
由题意得当A→0，B→π，C→0 时，3cosA+2cos2B+cos3C→6，
令f（C）=3cosA+2cos2B+cos3C=-3cos（B+C）+2cos2B+cos3C（0＜C＜π-B），
则f′（C）=3sin（B+C）-3sin3C=6cossin，
令f′（C）=0可得C= 或C=或C=，
①当0＜B＜时，有-B，所以，
则f（C）在（0，）单调递增．（，） 单调递减，（，）单调递增，
（，π-B）递减，
∴f（0）=-3cosB+2cos2B+1=4（cosB-）2-＞4（-）2-=-，
f（）=-3cos（ ）+2 cos2B+cos（）=-4cos（ ）+2 cos2B，
令g（B）=-4cos（ ）+2 cos2B，，
则g′（B）=3sin（ ）-4 sin2B，如图所示
则易得g（B）在（0，B1）单调递增，（B1，）单调递减，
又g（0）=2-2，g（）=-1，则f（）＞-1，
又易得f（π-B）=3+2cos2B-cos3B＞0，
∴当 时，有3cosA+2cos2B+cos3C＞；
②当时，由题意得f（C）在（0，） 上单调递增，
∴3cosA+2cos2B+cos3C＞f（0）=，∴此时有3cosA+2cos2B+cos3C＞-3；
③当，所以-＜cosB＜，
f（C）在（0，）单调递增，（，）单调递减，（）单调递增，
∴f（0）=4（cosB-）2-≥-，当cosB=时等号成立，
f（）=2cos2B-2cos=2（8cos4-4cos3--8cos2+3cos+1），
令x=cos∈（，），h（x）=8x4-4x3-8x2+3x+1，
则h'（x）=32x3-12x2-16x+3．h'′（x）=8（12x2-3x-2），
令h′′（x）=0得，∴h′（x）在（，）单调递减， 单调递增，
又，-6＞0，
∴存在唯一x2∈（，），使h′（x2）=0，∴h（x）在（，x2）单调递减，单调递增，
又h′（x2）=32-12-16x2+3=0，
∴=，，
所以h（x）min=h（x2）=2 --8+3x2+1
=，
所以，
所以当 时，有3cosA+2cos2B+cos3C＞-25；
④当 时，f（C）在（0，）上单调递增，（，）上单调递减，
f（0）=，f（）=1，所以此时有3cosA+2cos2B+cos3C＞1；
⑤当＜B＜π时，有，所以-1＜cosB＜-，
则f（C）在（0，）单调递增，（，π-B）单调递减，
而f（π-B）=3+2cos2B-cos3B＞0，f（0）=4（cosB-）2-＞4（--）2-=，
所以此时有3cosA+2cos2B+cos3C＞0．
综上所述，3cosA+2cos2B+cos3C的取值范围为．
故答案为：（-，6）．
26．【解析】（1）根据三角函数的图象变换关系，求出函数的解析式即可．
（2）求出角的范围，结合三角函数的最值性质进行求解即可．
解：（1）将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，得到y=sin（2x-）-2，
再向左平移个单位，得y=sin[2（x+）-]-2=sin（2x+）-2，
再向上平移2个单位，由题意得．
（2）∵，可得，∴．
当时，函数g（x）有最大值1；
当时，函数g（x）有最小值．
27．【解析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，进而可得周期与最值；
（2）利用整体代入法可得函数的单调区间．
解：（1）f（x）=sin（）sinx-
=
=
=
=，
所以f（x）的最小正周期T=π，
当时，，k∈Z，即，k∈Z，f（x）取最大值为；
（2）当时，有，
令，则时，f（x）单调递增，
时，即时，f（x）单调递减，
综上所述，f（x）单调增区间为，单调减区间为．
28．【解析】先由果α是第二象限的角得出sinα与cosα的范围，再结合正弦函数、余弦函数的值域求出sin（cosα）与cos（sinα）的符号，从而确定的符号．
解：α是第二象限的角，-1＜cosα＜0，0＜sinα＜1，
sin（cosα）＜0，cos（sinα）＞0，
∴，
故其符号为负．
29．【解析】（Ⅰ）先化简式子把结果代入，求出cosB的值，结合三角形ABC为锐角三角形求出角B；
（Ⅱ）根据内角和定理得C=120°-A，由角A、B是锐角列出不等式，求出角A的范围，由两角和的正弦公式化简式子，由角A的范围和正弦函数的性质，求出式子的范围．
解：（Ⅰ）由题意得，（a-b+c）（a+b+c）=3ac,
化简得，a2+c2-b2=ac,
由余弦定理得，==，
又三角形ABC为锐角三角形，所以角B=60°；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，A+C=120°，C=120°-A，
又三角形ABC为锐角三角形，所以，
解得30°＜A＜90°，
所以sinA+cosA=2（）=2sin（A+30°），
由60°＜A+30°＜120°，所以＜sin（A+30°）≤1，
即2sin（A+30°）≤2，
所以所求的范围是：（，2]．
30．【解析】（1）化函数为y=-2sin（2x-），求出函数f（x）的周期T=；
（2）由正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调增区间；
（3）由x∈[0，]求得函数f（x）的值域即可．
解：（1）函数y=2sin（-2x）=-2sin（2x-），
∴函数f（x）的周期为T===π；
（2）由+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z；
+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；
∴函数f（x）单调增区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z；
（3）由x∈[0，]，得2x∈[0，π]，
∴2x-∈[-，]，
∴sin（2x-）∈[-，1]，
∴-2sin（2x-）∈[-2，]，
∴函数f（x）在[0，]上的值域是[-2，]．

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