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2025-2026学年吉林省四平实验中学高二（上）期初数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(1 + 5 ) 的虚部为( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 6
2.在某次高三模拟考试后，数学老师随机抽取了 6 名同学第一个解答题的得分情况如下：7，9，5，8，6，
1，则这组数据的极差和方差分别为( )
A. 8, 20 B. 6, 203 3 C. 8，7 D. 8，6
3.已知向量 = (0,1)， = (2, )，若 ⊥ ( 4 )，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
4.在△ 中，内角 、 、 的对边分别为 ， ， ，若 2 = + ，则 =( )
A. 2 B. 5 3 6 C. 6 D. 3
5.正方形 中， = 2 ， = 2 ，设 = ， = ，则 =( )
A. 14 +
B. 1 4 C.
1
3 +
D. 1 3
6.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 3，则圆锥的体积为( )
A. 2 3 B. 3 3 C. 6 3 D. 9 3
7.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另
一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正
六边形开口 ，下列说法正确的是( )
A. = B. + = 1 2
C. = D. = 2( + )
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8.设 、 为两个平面， 、 为两条直线，且 ∩ = .下述四个命题：
①若 // ，则 // 或 //
②若 ⊥ ，则 ⊥ 或 ⊥
③若 // 且 // ，则 //
④若 与 ， 所成的角相等，则 ⊥
其中所有真命题的编号是( )
A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.定义复数运算： 1 2 = 1 2+ 1 2，已知 = 1 + 2 ，若复数 满足 = 10，则( )
A. 可以是 3 +
B. | |的最小值为 5
C. 在复平面内对应的点不可能位于第二象限
D. 的实部是 5
10.有一组样本数据 1， 2， ， 6，其中 1是最小值， 6是最大值，则( )
A. 2， 3， 4， 5的平均数等于 1， 2， ， 6的平均数
B. 2， 3， 4， 5的中位数等于 1， 2， ， 6的中位数
C. 2， 3， 4， 5的标准差不小于 1， 2， ， 6的标准差
D. 2， 3， 4， 5的极差不大于 1， 2， ， 6的极差
11.如图，在单位正方体 1 1 1 1中，点 在线段 1上运动，下列命题
中正确的是( )
A.在点 运动过程中，直线 1 与 1始终为异面直线
B.三棱锥 1的体积为定值
C.异面直线 1 与直线 1所成的角为定值
D.在点 运动过程中，不存在某个位置，使得面 1 //平面 1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知△ = 3, ∠ = 中， 6， = 4，则 = ______．
13.某班男女生的比例为 3：2，全班的平均身高为 168 ，若女生的平均身高为 159 ，则男生的平均身
高为______ ．
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14.已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为 1和 2，母线长分别为 2( 2 1)和 3( 2 1)，则两个圆台

甲
的体积之比 = ．
乙
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 , , , = 3且 2 = 2 + ．
(1)求 ；
(2)求三角形 面积的最大值．
16.(本小题 15 分)
已知| | = 4, | | = 2，且 与 夹角为 120°，求：
(1)| + |；

(2) 与 + 的夹角；
(3)若向量 2 与 3 平行，求实数 的值．
17.(本小题 15 分)
如图所示，在四棱锥 中，底面四边形 是平行四边形，且∠ = 60°， = = 2， = = 4．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)当二面角 的平面角的正切值为 6时，求直线 与平面 所成的角．
18.(本小题 17 分)
某市为了创建文明城市，共建美好家园，随机选取了 100 名市民，就该城市创建的推行情况进行问卷调查，
并将这 100 人的问卷根据其满意度评分值(百分制)按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成 5 组，制成如
图所示频率分布直方图．
(1)求图中 的值；
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(2)求这组数据的中位数、平均数；
(3)已知满意度评分值在[80,90)内的男生数与女生数的比为 3：2，若在满意度评分值为[80,90)的人中按照
性别采用分层抽样的方法抽取 5 人，并分别依次进行座谈，求前 2 人均为男生的概率．
19.(本小题 17 分)
△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 4 = + ．
(1) 求 的值；
(2)若 是∠ 的角平分线．
( )证明： 2 = ；
(ⅱ)若 = 1，求 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 7
13.174
14. 64
15(1)三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 , , , = 3且 2 = 2 + ，
由正弦定理得 2 ( + ) = 2 = 2 + ，
则 2 + 2 = 2 + ，
所以 = 12，
根据 0 < < 得： = 3；
(2)余弦定理：3 = 2 = 2 + 2 ≥ 2 = ，
1 3 3
所以三角形 面积为2 3 ≤ 4 ，
当且仅当 = = 3 3 3时，即 为等边三角形时，三角形 面积取最大值 4 ．
16.解：(1)根据题意， = 4 × 2 × ( 12 ) = 4，
2
所以| + | = ( + )2 = 2 + 2 + = 16 + 2 × ( 4) + 4 = 2 3；
(2)由(1)知| + | = 2 3，又 ( + ) = 2 + = 16 4 = 12，

所以 cos , + = ( + ) = 12 = 3，又 , + ∈ [0, ]，
| || + | 4×2 3 2
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所以 与 + 的夹角为6；
(3)因为向量 2 与 3 平行，
所以存在实数 使 2 = ( 3 ) = 3 ，
2 =
所以 = 3 ，解得 =± 6．
17.(1)证明：在△ 中，由余弦定理， 2 = 2 + 2 2 = 4 + 16 2 × 2 × 4 ×= 12，
因 2 + 2 = 2，则∠ = 2，即 ⊥ ，
由 = ， = ， = ，得△ ≌△ ，

则∠ = 2，即 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，于是 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以平面 ⊥平面 ；
(2)取 中点 ，连接 ， ，如图，
由 = ， = ，则 ⊥ ， ⊥ ，
即∠ 为二面角 的平面角，
由(1)知， ⊥平面 ， 平面 ，则 ⊥ ，
= 2 3 tan∠ = 又 ，则 = 6，解得 = 2，
而 = = 2，则 = 2， = 2 2，
因 2 + 2 = 2，可得 ⊥ ，又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
因此 ⊥平面 ，又 // ，则 ⊥平面 ，过 作 ⊥ 于点 ， 平面 ，
则 ⊥ ，而 ∩ = ， ， 平面 ，则 ⊥平面 ，
因此直线 与平面 夹角即为∠ ，
在 △ 2 1中，∠ = 2 ,故 sin∠ = = 4 = 2，而∠ 为锐角，

故∠ = 6，即直线 与平面 所成的角为6．
18.(1)根据题意可得(0.005 + + 0.035 + 0.03 + 0.01) × 10 = 1，解得 = 0.02；
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(2)因为前几组的频率依次为 0.05，0.2，0.35，
所以中位数在(70,80) 70 + 0.5 0.05 0.2 540内，且为 0.035 = 7 ；
平均数估计为 55 × 0.05 + 65 × 0.2 + 75 × 0.35 + 85 × 0.3 + 95 × 0.1 = 77；
(3)因为在[80,90)内的男生数与女生数的比为 3：2，
所以男生抽 3 人，女生抽 2 人，
2 3
再分别依次进行座谈，则前 2 人均为男生的概率为 3 = ．
25 10
19.解：(1) ∵ 4 = + ，
∴由正弦定理得 4 2 = +
= ( + ) = ( + ) = sin2 ，
且 ， ∈ (0, )，则 ， > 0，
∴ 1 = 2；
(2)( )证明：在△ 中，由正弦定理得sin∠ = sin∠ ①，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos∠ ②，

同理在△ 中，得sin∠ = sin∠ ③，
2 = 2 + 2 2 cos∠ ④，
∵ 是∠ 的角平分线，则∠ = ∠ ，
∴ sin∠ = sin∠ ，
又∠ + ∠ = ，则 sin∠ = sin∠ ，cos∠ + cos∠ = 0，
÷ ① ③得 = ⑤，
∴ = + , = + ，
×② + ×④得
2 + 2 = ( + ) + ( + 2 = + 2,
2
2 +
2
∴ =
2 + 2
= +
= ，得证；
(ⅱ) (1) 1由 得 = 2，则 = 2 = 2，
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( 由⑤式知 或由角平分线定理知) = = 2，
∴ = 2 , = 13 3 ，
由(ⅰ)知 2 = 2 29
2，
∴ 2 + 2 29 = 2，
∵ 2 + 29
2 ≥ 2 23 ，当且仅当 = 1, =
3 2
2 时等号成立，
∴ ≤ 3 22 ，
故 BD 3 2的最大值 2 ．
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