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2025-2026学年广西南宁三十三中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 1 ≤ ≤ 3}， = { | ≤ 0, ∈ }，则 ∩ =( )
A. [ 1,0] B. {0,1,2,3} C. [0,3] D. { 1,0}
2 3 .已知复数 满足 = 1 ，则复数 的虚部为( )
A. 2 B. C. 2 D. 1
3.已知△ 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 2 = 2 + ，若 = 3，则△ 的外接圆
面积为( )
A. 48 B. 12 C. 12 D. 3
4.已知 = (1, 3)，| | = 2，若 ⊥ ( 2 )，则 ， 的夹角为( )
A. B. 2 6 4 C. 3 D. 3
2 + , > 05.已知函数 ( ) = 2 ，若 ( ) = 3，则 ( 2) =( )4 1, ≤ 0.
A. 1516 B. 3 C.
63 15
64或 3 D. 16或 3
6.如图，在△ 中，点 是 的中点．过点 的直线分别交直线 ， 于不同的两点 ， ，若 = ，
= ，则 + 的值为( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 94
7.在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， 为线段 1上一动点，求| | + | |的最小值( )
A. 2 1 + 3 B. 2 2 + 2 C. 2 3 1 D. 2 2 2
8.已知正三棱锥 的底面△ 的边长为 6，直线 与底面 3所成角的余弦值为 3 ，则正三棱锥
外接球的体积为( )
A. 81 6 B. 27 6 C. 18 6 D. 9 6
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设正实数 ， 满足 + = 2，则下列说法正确的是( )
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A. 2 + 的最小值为 3 B. 的最大值为 1
C. + 的最小值为 2 D. 2 + 2的最小值为 2
10 1 2.射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为2，3 .记事件 为“两人都击中”，事件
为“至少 1 人击中”，事件 为“无人击中”，事件 为“至多 1 人击中”则下列说法正确的是( )
A.事件 与 是互斥事件 B.事件 与 是对立事件
C.事件 与 相互独立 D. ( ∪ ) = 56
11.如图，已知在直三棱柱 1 1 1中， 为 1 1的中点， 为棱 1上的动
点， 1 = 2， = 2， = 3 2， = 4，则下列结论正确的是( )
A.三棱锥 1 的体积为定值
B.该直三棱柱 146 1 1 1的外接球的表面积为 7
C. 2当三棱锥 1 的外接球的半径最小时，直线 与 1所成角的余弦值为 4
D.若 是棱 1的中点，过 ， ， 三点的平面作该直三棱柱 1 1 1的截面，则所得截面的面积为 15
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知一组数据 1， 2， ， 的平均数是 2，方差为 6，则数据 1 1， 2 1， ， 1 的平均数是
______，方差是______．
13.在三棱柱 1 1 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 是侧面 1 1 的中心，则 与平面
1 1 所成角的大小是______．
14 1 1 1.甲、乙两名射击运动员在进行射击训练，已知甲命中 10 环，9 环，8 环的概率分别是3 , 3 , 3，乙命中 10
环，9 1 1 5环，8 环的概率分别是8 , 4 , 8，任意两次射击相互独立.现在甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两
人各射击一次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最
终的胜者，比赛结束，则恰好进行 3 轮射击后，比赛结束的概率是______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (cos2 , 2 )， = (2 3, )，函数 ( ) = ．
(1)求 ( )的单调递减区间；
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(2) 1 将函数 ( )图象上所有点的横坐标缩短为原来的2，再向右平移12个单位得到 ( )的图象，求 ( )在[
, 12 6 ]上的值域．
16.(本小题 15 分)
这么近，那么美，周末到河北.“五一”小长假过后，为更好地提升旅游品质，邯郸东太行旅游度假区的工
作人员随机选择 100 名游客对景区进行满意度评分(满分 100 分)，将评分绘制成频率分布直方图，请根据
下面尚未完成的频率分布直方图解决下列问题．
(1)根据频率分布直方图，求 的值；
(2)估计这 100 名游客对景区满意度评分的中位数；
(3)若工作人员从这 100 名游客中随机抽取了 5 名，其中评分在[50,60)内的有 2 人，评分在[70,80)内的有
3 人.现从这 5 人中随机抽取 2 人进行个别交流，求选取的 2 人评分均在[70,80)内的概率．
17.(本小题 15 分)
在四棱锥 中，底面 为直角梯形， // ， ⊥ ， = 2 ， 为 的中点，如图所示．
(1)证明： //平面 ；
(2)若△ 为等边三角形，平面 ⊥平面 ， = = 2，求二面角 的余弦值．
18.(本小题 17 分)
已知在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 3 = 3 ．
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(1)求角 ；
(2)已知直线 2 2为∠ 的平分线，且与 交于点 ，若 = 4， = 3 ，求△ 的周长．
19.(本小题 17 分)
已知 为坐标原点，对于函数 ( ) = + 称向量 = ( , )为函数 ( )的相伴特征向量，同时称
函数 ( )为向量 的相伴函数．
(1)设函数 ( ) = sin( + 5 6 ) sin(
3
2 )，试求 ( )的相伴特征向量
；
(2)已知 = ( 3, 1) 为 ( ) = ( 6 )的相伴特征向量， ( ) = ( 2 3 )，求函数 = ( )的对称
轴．
(3)记向量 = (1, 3) 8 的相伴函数为 ( )，求当 ( ) = 5且 ∈ ( 3 , 6 )， 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1 6
13.60°
14. 427
15.(1)因为向量 = (cos2 , 2 )， = (2 3, )，
函数 ( ) = = 2 3cos2 + 2 = 3 2 + 2 + 3
= 2 (2 + 3 ) + 3，
3
令2 + 2 2 + 3 2 + 2 , ( ∈ )
7
，解得12+ 12 + , ( ∈ )，
( ) [ 即 的单调递减区间为 12 + ,
7
12 + ]， ∈ ；
(2)由题可知 ( ) = 2 4 + 3，
2
因为 ∈ [ 12 , 6 ]，所以 4 ∈ [ 3 , 3 ]，
则 ( ) = 2 4 + 3 ∈ [0,2 + 3]，
即 ( ) = 2 4 + 3在[ 12 , 6 ]上的值域为[0,2 + 3]．
16.(1)根据题意可知，0.02 + 10 + 0.18 + 0.25 + 0.4 = 1，可得 = 0.015，
(2)由 0.02 + 0.15 + 0.18 = 0.35 < 0.5，0.02 + 0.15 + 0.18 + 0.25 = 0.6 > 0.5，
所以中位数在[80,90)之间，设中位数为 ，那么( 80) × 0.025 = 0.5 0.35，
解得 = 86，所以中位数为 86；
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(3)设在[50,60)中抽取的 2 人分别为 ， ；在[70,80)中抽取的 3 人分别为 ， ， ；
从这 5 人中随机抽取 2 人，则样本空间为：
{( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )}，共有 10 个基本事件，
设选取的 2 人评分均在[70,80)内为事件 ，
则 中包含( , )，( , )，( , )3 3个基本事件，所以 ( ) = 10．
17.(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ，
因为 是 的中点，所以 // ， = 2 ，
又 // ， = 2 ，
所以 // ， = ，
所以四边形 是平行四边形，所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)解：取 的中点 ，连接 ，
因为△ 为等边三角形，所以 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
以 为原点， ， 所在直线分别为 ， 轴，作 // ，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (2,1,0)， (0,2,0)， (1,0, 3)， ( 12 , 1,
3
2 )，
所以 = (1,0, 3) 1 3， = (2,1,0)， = ( 2 , 1, 2 )，

设平面 的法向量为 = ( , , ) = + 3 = 0，则 ，
= 2 + = 0
取 = 1，则 = 3， = 2 3，所以 = ( 3, 2 3, 1)，
= 2 + = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则 ，
= 12 + +
3
2 = 0
取 = 1，则 = 2， = 3，所以 = (1, 2, 3)，
3 4 3+ 3 6
所以 cos < ， >= | | | | = 2 2×4 = 4 ，
由图知，二面角 为锐角，
6
故二面角 的余弦值为 4 ．
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18.解：(1)由 3 = 3 及正弦定理，
可得 3 = 3 ，
即 3 = 3sin( + ) ，
即 3 = ，又因为 ≠ 0，
所以 = 3 ，即 = 3，
又因为 ∈ (0, ) ，则 = 3；
(2)在△ 中，由 △ = △ + △ ，
1
可得2 ∠ =
1 1
2 sin∠ + 2 sin∠ ，
又因为直线 为∠ 1 的平分线，则∠ = ∠ = 2∠ = 6，
1 3 1 2 2
所以2 × 2 = 2 × 3 ×
1+ 1 × 2 22 2 3 ×
1
2，
2 6
整理得 3 = 3 ( + )，
2+ 2 2
又由余弦定理，可得 cos∠ = 2 ，
即 2 + 2 = 16，
则有 16 = ( + )2 3 = ( + )2 2 63 ( + )，
4 6
解得 + = 2 6或 + = 3 (舍)，
所以△ 的周长为 2 6 + 4．
19.(1)由题意得 ( ) = 3 12 + 2 + =
3
2 +
3
2 ，
所以 ( ) 3的相伴特征向量 = ( 2 ,
3
2 )；
(2) ( ) = ( 6 ) =
3
2
1
2 ，
由 = ( 3, 1)为 ( ) = ( 6 )
3 1
的相伴特征向量，可知 2 = 3且 2 = 1，解得 = 2，

所以 ( ) = ( 2 3 ) = 2 [(

2
) 3 6 ] = 2

2，

令2 = , ∈ = 2 , ∈ ，可得 = ( )图象的对称轴为 = 2 ， ∈ ；
(3)因为向量 = (1, 3)的相伴函数为 ( )，
所以 ( ) = + 3 = 2 ( + 3 )，
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( ) = 8 8若 5，则 2 ( + 3 ) = 5，即 sin( +

3 ) =
4
5，
根据 ∈ ( 3 , 6 )，可得 + 3 ∈ (0, 2 )，所以 cos( +

3 ) = 1 sin
2( + 3 ) =
3
5，
可得 = sin[( + 13 ) 3 ] = 2 sin( +

3 )
3
2 cos( +

3 ) =
4 3 3
10 ．
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