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2025-2026学年安徽省蚌埠二中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2+ .已知复数 = 1 2 ( 为虚数单位)，则| | =( )
A. 1 B. 2 C. 5 D. 2 5
2.在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，点 ( 2,4)在角 的终边上，则 2 =( )
A. 45 B.
4
5 C.
2
5 D.
2
5
3 1 .若圆锥的底面圆半径为2，其侧面展开图的面积为2，则这个圆锥的体积为( )
A. 33 B.
3
12 C.
3
6 D.
3
24
4.已知平面向量 = (1, 2), = (4, 3)，且( + ) ⊥ ，则 的值为( )
A. 2 B. 23 C. 2 D. 6
5.已知 ， ， 是三条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是( )
A.若 // ， // ，则 //
B.若 // ， ⊥ ，则 ⊥
C.若 ∩ = ， ∩ = ， ∩ = ，且满足 // ，则 //
D.若 ， ， ，且 // ， // ，则 //
6 ∈ (0, ) sin( ) = 1.若 2 ， 6 5，则 cos(

6 + )的值为( )
A. 2 3 6 2 3+ 6 2 6 3 2 6+ 310 B. 10 C. 10 D. 10
7 .已知函数 ( ) = sin( 3 )( > 0)在区间[0,

3 ]上的最大值为3，则实数 的取值个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.已知△ 中， 、 、 为角 、 、 的对边， + = ，若∠ 与∠ 的内角平分线交
于点 ，△ 的外接圆半径为 2，则△ 面积的最大值为( )
A. 2 2 2 B. 4 2 4 C. 2 1 D. 2 2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数 满足(2 + ) = 4 3 (其中 为虚数单位)，则下列说法正确的是( )
A. 在复平面内对应的点位于第四象限

B. = 5( 是 的共轭复数)
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C. 2 = 5 4
D.若| 1| = 2，则| 1 |的最大值为 5 + 2
10.函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示，则( )
A. ( ) 4 的图象关于直线 = 3对称
B. ( ) 的图象向左平移3个单位长度后得到函数 ( ) = 3 2
C. ( 5 12 )的单调递增区间为[ 12 + ,
11
12 + ]( ∈ )
D. ( ) = 3 (0, ) 6 ∈ (3 , 10 若方程 2在 上有且只有 个根，则 3 ]
11.在长方形 中， = 6， = 1，点 在线段 上(不包含端点)，沿 将△ 折起，使二面角
的大小为 ， ∈ (0, )，则( )
A.存在某个位置，使得 ⊥
B.存在某个位置，使得直线 //平面
C. 2 5四棱锥 体积的最大值为 3
D. 当 = 3时，线段 长度的最小值为 2 7
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知向量 与 的夹角为 4 , |
| = 1, |2 | = 10，则| | =______．
13.需要测量某塔的高度，选取与塔底 在同一个水平面内的两个测量基点 与 ，现测
得∠ = 75°，∠ = 45°， = 96 米，在点 处测得塔顶 的仰角为 30°，则塔
高 为______米
14.已知三棱锥 的四个面是全等的等腰三角形，且 = 4 2， = = 2 5，点 为三棱锥
的外接球球面上一动点， = 3 3时，动点 的轨迹长度为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
直角坐标系中，已知向量 = (2, 1), = ( , )且 // ．
(1)求 2 的值；
2 ( )+sin( + 2)tan( )(2)若 为第二象限角，求 的值．
sin(3 2 )+cos(

2+ )
16.(本小题 15 分)
如图，在平行四边形 中， = 3, = 1，点 为 中点，点 ， 在线段 上，满足 = = ，
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设 = , = ．
(1)用向量 , 表示向量 ；
(2) 7若| | = 6 ，求
；
(3) 若∠ = ，求| 6 |．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 3 2 + 1．
(1)求 ( )的单调区间；
(2)若 ∈ [0, 2 ]时，不等式 ( ) + > 2 恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，△ 为等边三角形，平面 ⊥平面 ， ⊥ ，
= 2， = 4， = 2 3，
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)线段 上是否存在一点 ，使得二面角 8 3 的平面角的余弦值为 15 .若存在，求出 值；若不存
在，请说明理由．
19.(本小题 17 分)
3
如图，在四边形 中，已知△ 的面积为 1 = 4 (
2 2 2)，记△ 的面积为 2．
(1)求∠ 的大小；
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(2)若△ 外接圆半径为 3，求△ 的周长最大值．
(3)设∠ = 2 3 , ∠ =

6，若 = 3

，且满足 1 = 成立，求常数 的值．2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3 2
13.32 2
14.3 3
15.(1)因为 // ，所以 2 = ，
1 2 4
所以 = 2，故 2 = 1 tan2 = 3；
(2)由(1)知 2 = ，又sin2 + cos2 = 1，
5 2 5又 为第二象限角，所以 = 5 ， = 5 ，
2 ( )+sin( + 2)tan( ) = 2 + ( ) 所以 3 =sin( )+cos( + ) cos sin cos sin 2 2
5
= 5 = 1．
2 5 5
5 5
16.(1)因点 为 中点，点 ， 在线段 上，满足 = = ，
可得 = 1 = 1 = 1 ， = 1 = 1 2 2 2 3 3 ( ) =
1 1 3 3 ，
故 = + + = 16 +
2
3 ；
(2)由(1)得 = 2 13 6 ，
2 2
所以 = | |2 = ( 2 1 2 4 1 2 2 3 6 ) = 9 + 36 9 ，
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7
因为| | = 6 , = 3, = 1，
7 4 3 2
所以 36 = 9 + 36 9 ，
解得 = 32；
(3)若∠ = 6，
3
则根据平面向量数量积运算可得 = 3 × 1 × cos 6 = 2，
1 2
根据平面向量的加法法则可得 = + = + = + + 1 1 6 3 3 3 =
1
6 +
1
3
，
2
所以| |2 = ( 1 + 1 )2 = 1 2 + 1 + 1 1 1 3 1 136 3 36 9 9 = 36 × 3+ 9 × 2 + 9 = 36，
所以| | = 136 ．
17.(1) ( ) = 2( 2 由题意得 3 2

3 ) + 1 = 2 (2

3 ) + 1，
+ 2 ≤ 2 ≤ 3 + 2 ∈ 5 + ≤ ≤ 11 令2 3 2 ， ，解得12 12 + ( ∈ )，
所以 ( ) 5 的单调递减区间为[ 12 + ,
11
12 + ]( ∈ )；
5
同理求得 ( )的单调递增区间为[ 12 , + 12 ]( ∈ )．
(2)不等式 ( ) + > 2 在 ∈ [0, 2 ]时恒成立，即不等式 ( ) > 2 在 ∈ [0,

2 ]上恒成立，
2 3
因为 2 3 ∈ [ 3 , 3 ]，所以 sin(2 3 ) ∈ [ 2 , 1]，
( ) = 2 (2 所以 3 ) + 1 ∈ [1 3, 3]，即 ( ) = 1 3，
所以 1 3 > 2 ，解得 > 3 + 1，实数 的取值范围为(1 + 3, + ∞)．
18.解：(1)证明：取棱 的中点 ，连接 ，
因为△ 为等边三角形，所以 ⊥ ，
又因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
又 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
故 D ⊥ ，
又已知 ⊥ ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ；
(2)连接 ，
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由(1)中 ⊥平面 ，
可知∠ 为直线 与平面 所成的角，
因为△ 为等边三角形， = 2，且 为 的中点，
所以 = 3，
又 ⊥ ，在 △ 中，sin∠ = =
3，
4
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 3；
4
(3)取 中点 ，连接 ， ，
在 △ 中， = 2 2 = 2 3，
因为 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ，在 △ 中， = 2 + 2 = 4，
所以△ ≌△ ，
所以 = ，
又点 为 中点，
所以 ⊥ ，
同理 ⊥ ，
所以∠ 为二面角 的平面角，

设 = (0 ≤ ≤ 1)，
在 △ 中， = 2 + 2 = 12 + 4 2，
在 △ 中， = 2 2 = 11 + 4 2，
在△ 中， = 2(1 )， = 15， = 11 + 4 2，
2+ 2 2 8 3
由余弦定理可得 2 = 15 ，
11+4 2+15 4(1 )2 = 8 3即 ，
2 11+4 2 15 15
化简得到 16 2 40 + 9 = 0，
1 9
所以 = 4 ( = 4舍)，
即线段 上存在一点 ，使得二面角 平面角的余弦值为8 3，
15

=
1
4．
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19.解(1)由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 cos∠ ，
所以 2 2 2 = 2 cos∠ ，
3
所以 2 2 24 ( ) =
3
2 ∠ =
1
2 sin∠ ，
所以 3cos∠ = sin∠ ，即 = 3，
又因为∠ ∈ (0, ) 2 ，所以∠ = 3；
(2) 由正弦定理得，2 = sin∠ = sin∠ = sin∠ ，
又 = 3，所以 = 3, = 2 3sin∠ , = 2 3sin∠ ，
2
由(1)可知∠ = 3，所以∠ + ∠ =

3，
所以△ 的周长 = + + = 2 3sin∠ + 2 3sin∠ + 3
= 2 3sin( 3 ∠ ) + 2 3sin∠ + 3，
所以 = 3sin∠ + 3 ∠ + 3 = 2 3sin(∠ + 3 ) + 3，
因为∠ ∈ (0, 3 )，所以∠ +

3 ∈ (

3 ,
2
3 )，
所以 sin(∠ + 3 ) ∈ (
3
2 , 1],
所以△ 的周长的取值范围是(6,2 3 + 3],
所以△ 的周长的最大值为 2 3 + 3．
(3)设∠ = ，则∠ = 2 3 ，∠ =

6 +

，∠ = 3 ．

在△ 中，由正弦定理得sin∠ = sin∠ ，即 sin(

6 + ) =
1
2 ．
在△ 3 中，由正弦定理sin∠ = sin∠ ，即 2 = sin( 3 ) ．
因为 = 3 ，

两式作商得，sin( 6 + ) sin(

3 ) =
1
4，化简得 sin(

3 + 2 ) =
1
2，
∈ (0, ) + 2 ∈ ( 因为 3 ，所以3 3 , )，

因此3 + 2 =
5
6，故 =

4，
1所以 1 = 2 sin∠ =
2
4 ，
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= 12 2 sin∠ =
1
2 sin
5
12，
2
所以 = 1 = 4 3 3 1 = ．2
2× 3×
2+ 6 3
4
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