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2025-2026学年湖南省永州一中高二（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 = 3 + 3 的倾斜角为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2 7 .复数 = 3+ 的虚部为( )
A. 21 21 2110 B. 10 C. 10 D.
21
10
3.已知 2 = 18 , ∈ (0,

2 )，则 =( )
A. 3 B. 7 C. 34 4 4 D.
7
4
4 .已知命题甲：“实数 ， 满足 = ”，乙“实数 ， 满足
2 = 2”，则甲是乙的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知 = 40.3， = (0.1)0.4， = log40.1，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
6 .将函数 ( ) = cos(2 + 4 )( > 0)的图象所有点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数
( ) 的图象，若 ( )在区间( 4 , )上单调递减，则 的最大值为( )
A. 1 B. 1 34 2 C. 4 D. 1
7.由于猪肉的价格有升也有降，小张想到两种买肉方案.第一种方案：每次买 3 斤猪肉；第二种方案：每次
买 50 元猪肉.下列说法正确的是( )
A.采用第一种方案划算 B.采用第二种方案划算
C.两种方案一样 D.采用哪种方案无法确定
8.[ ]表示不超过实数 的最大整数，已知奇函数 ( )的定义域为 ， ( + 2)为偶函数， ( 2) = 8，对于
区间[0,2] ( +4) ( +4)上的任意 ， 都有 1 2 21 2 > 0，若关于 的不等式 ( ) ≥ 6 19 对任意的 ∈ 恒成立，2 1
则[ ]的最大值是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设向量 = (3, ), = (2, 1)，则下列说法错误的是( )
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A.若 与 的夹角为钝角，则 > 6
B. | |的最小值为 9
C.与 2 2共线的单位向量只有一个，为( 2 , 2 )
D.若| | = 3| |，则 =± 6
10.随机抽取 8 位同学对 2024 年数学新高考Ⅰ卷的平均分进行预估，得到一组样本数据如下：97，98，99，
100，101，103，104，106，则下列关于该样本的说法正确的有( )
A.均值为 101 B.极差为 9
C.方差为 8 D.第 60 百分位数为 101
11.阳马和鳖臑[ ē à ]是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按下图斜割一分为二，得两个一模
一样的三棱柱(图 2，图 3)，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开(图 4)，得四棱锥和三棱锥各一个.
以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马(图 5).余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，
称为鳖臑(图 6).若图 1 中的长方体是棱长为 1 的正方体，则下列结论正确的是( )
A.鳖臑中的四个直角三角形全等
B.堑堵的表面积等于阳马与鳖臑的表面积之和
C.鳖臑的体积等于阳马体积的一半
D.鳖臑的内切球表面积为(3 2 2)
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若 ， ， 三点共线，对任意一点 ，有 2 = 2 ( 为锐角)成立，则 =______．
13.直线 + ( + 2) 1 = 0 与直线( 1) + = 0 互相垂直，则 = ．
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14.如图已知点 ， 在圆锥 的底面圆周上， 为圆锥顶点， 为圆锥的底面中心，
且圆锥 的底面积为 4 ，∠ = 30°，若 与截面 所成角为 60°，则圆锥
的侧面积为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知直线 ： + 1 + 2 = 0( ∈ )．
(1)若直线 不经过第四象限，求 的取值范围；
(2)已知 (1,5)，若点 到直线 的距离为 ，求 最大时直线 的一般式方程．
16.(本小题 15 分)
△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， 已知 ( 1 32 ) = ( 2 )．
(1)求 ；
(2)若 2 + 2 2 = 4，求△ 的面积．
17.(本小题 15 分)
随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很
重要的衡量标准根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是 20%至 25%，男性的正常范围是 15%至
18%.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市 100 万名
成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了 1000 名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图
如图．
(1)求 ；
(2)如果女性体脂率为 25%至 30%属“偏胖”，体脂率超过 30%属“过胖”，那么全市女性“偏胖”，“过
胖”各约有多少人？
(3)小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那
么谁的体脂率更低？
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18.(本小题 17 分)
如图，四棱锥 的底面为正方形， ⊥底面 .设平面 与平面 的交线为 ．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)已知 = = 1， 为 上的点，求 与平面 所成角的正弦值的最大值．
19.(本小题 17 分)
在扔硬币猜正反游戏中，当硬币出现正面时，猜是正面的概率为 (0 < < 1).猜是反面的概率为 1 ；当
硬币出现反面时，猜是反面的概率为 (0 < < 1)，猜是正面的概率为 1 .假设每次扔硬币相互独立．
(1)若两次扔硬币分别为“正反”，设猜测全部正确与猜测全部错误的概率分别为 1， 2，试比较 1， 2
的大小；
(2)若不管扔硬币是正面还是反面猜对的概率都大于猜错的概率，
( )从下面①②③④中选出一定错误的结论：
3
① + = 2；② + = 1
1 1
；③ = 2，④ = 4
( )从( )中选出一个可能正确的结论作为条件.用 表示猜测的正反文字串，将 中正面的个数记为 ( )，如
=“正反正反”，则 ( ) = 2，若扔四次硬币分别为“正正反反”，求 ( ( ) = 2)的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3
13.0 或 12
14.2( 6 + 2)
15.(1)直线 ： + 1 + 2 = 0 化为 ( + 2) + 1 = 0，因此直线 恒过定点 ( 2,1)，
若直线 不经过第四象限，则 ≥ 0.即 ∈ [0, + ∞)．
(2)由(1)知直线 恒过定点 ( 2,1)，
5 1 4
当且仅当 ⊥ 时， 取得最大值，此时直线 的斜率 = 1 ( 2) = 3，
3 3
因此直线 的斜率 = 4，直线 的方程为 4 + 1 + 2(
3
4 ) = 0，即 3 + 4 + 2 = 0，
∴直线 的一般式方程为 3 + 4 + 2 = 0．
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16.解：(1) ( 1 ) = ( 32 2 )，
故 1 = 32 2 ，
即 + = 32 +
1
2 ，
由于 + = sin( + ) = ，
故 = 32 +
1
2 ，
由正弦定理得 = 32 +
1
2 ，
因为 ∈ (0, )，所以 ≠ 0，
故 = 3 12 + 2 ，
1
即2 =
3
2 = 3，
因为 ∈ (0, )，所以 = 3；
(2)
2+ 2 2
由余弦定理得 = 2 ，
又 2 + 2 2 = 4 = 4 1， 3，故2 = 2，解得 = 4，
1 1 3
则 △ = 2 = 2 × 4 × 2 = 3．
17.解：(1)由频率直方图可得，5 × 2 + 5 × 0.03 + 5 × 0.07 + 5 × 6 + 5 × 2 = 1，
所以 = 0.01．
(2)由频率分布直方图可得样本中女性“偏胖”的频率为 5 × 0.06 = 0.3，
样本中女性“过胖”的频率为 5 × 0.02 = 0.1，
所以全市女性“偏胖”的人数约为 1000000 × 0.3 = 300000，
全市女性“过胖”的人数约为 1000000 × 0.1 = 100000，
(3)调查所得数据的平均数为 12.5 × 0.1 + 17.5 × 0.15 + 22.5 × 0.35 + 27.5 × 0.3 + 32.5 × 0.1 = 23.25，
设调查所得数据的中位数为 ，
因为 0.1 + 0.15 = 0.25 < 0.5，0.1 + 0.15 + 0.35 = 0.6 > 0.5，
所以 20 < < 25，
所以 0.25 + ( 20) × 0.07 = 0.5，
= 165所以 7 ≈ 23.57，
所以调查所得数据的中位数约为 23.57，
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所以小王的体脂率约为 23.57，小张的体脂率为 23.25，
所以小张的体脂率更低．
18.解：(1)证明：过 在平面 内作直线 // ，
由 // ，可得 // ，即 为平面 和平面 的交线，
∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ，∴ ⊥平面 ，
∵ // ，∴ ⊥平面 ；
(2)如图，以 为坐标原点，直线 ， ， 所在的直线为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系 ，
则 (0,0,0)， (1,0,0)， (0,1,0)， (0,0,1)， (1,1,0)，
设 ( , 0,1)， = ( ,0,1)， = (1,1, 1)， = (0,1,0)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 0 = 0
则 ，∴ + = 0，取 = 1，可得 = ( 1,0, )， = 0

∴ cos < 1 ， >= = ，
| | | | 3 1+ 2
2
∴ |1+ | 3 1+2 + 与平面 所成角的正弦值为 =
3 1+ 2 3 1+ 2
= 3 2 3 2 63 1 + 1+ 2 ≤ 3 1 + 2 = 3 ，当且仅当 = 1 取等号，
∴ 与平面 6所成角的正弦值的最大值为 3 ．
19.解：(1)猜测全部正确的概率为 1 = ，
猜测全部错误的概率为 2 = (1 )(1 )，
因为 2 1 = (1 )(1 ) = 1 ( + )，
所以当 0 < + < 1 时， 1 < 2，
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当 + = 1 时， 1 = 2，
当 1 < + < 2 时， 1 > 2．
(2)( )若不管扔硬币是正面还是反面，猜对的概率都大于猜错的概率，
1 1
> 1 > < < 1 1
则 > 1 ，解得
2 2
1，所以 1 ，所以 1 < + < 2, 4 < < 1， > 2 2 < < 1
因此，②④一定错误，
( )若扔四次硬币分别为“正正反反”，事件 ( ) = 2 包含以下三种情况：
两个正都猜对，且两个反都猜对，其概率为 2 2；
有且只有一个正猜对，且有且只有一个反猜对，其概率为 2 (1 ) × 2 (1 ) = 4 (1 + )；
两个正都猜错，且两个反都猜错，其概率为(1 )2(1 )2 = (1 + )2；
所以 ( ( ) = 2) = 2 2 + 4 (1 + ) + (1 + )2，
3
若选择① + = 2，
令 = 3 1，则 = ( 2 )，其中2 < < 1，
1 9
所以 ∈ ( 2 , 16 ],
所以 ( ( ) = 2) = 2 + 4 ( 12 ) + (
1 2 2 1
2 ) = 6 3 + 4，
记 ( ) = 6 2 3 + 1 ∈ ( 1 94， 2 , 16 ],
1 9
由二次函数的性质可知， ( )在区间( 2 , 16 ]上单调递增，
1 59
所以 ( ) ∈ ( 4 , 128 ],
即 ( ( ) = 2) ( 1 , 59的取值范围是 4 128 ]
若选择③ = 12，
1 1
此时 = 2 ，又2 < < 1，
1 1 1
所以2 < 2 < 1，所以2 < < 1，
令 = + ，则
= + 1 12 ，2 < < 1，
1 1 2 2
由对勾函数性质可得函数 = + 2 在( 2 , 2 )上单调递减，在( 2 , 1)上单调递增，
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3
所以 ∈ [ 2, 2 ),
因为 ( ( ) = 2) = 2 2 + 4 (1 + ) + (1 + )2， = 12， = + ，
所以 ( ( ) = 2) = 14 + 2(
3
2 ) + (
3 2
2 ) =
2 5 + 11 32， ∈ [ 2, 2 ),
记 ( ) = 2 5 + 112， ∈ [ 2,
3
2 ),
由二次函数的性质可知， ( ) 3在区间[ 2, 2 )上单调递减，
所以 ( ) ∈ ( ( 3 ), ( 2)] 1 152 ，即 ( ) ∈ ( 4 , 2 5 2]．
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