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2025-2026学年山西省太原市师范学院附中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { 2,0,2,4,6}， = { |0 ≤ < 4}，则 ∩ =( )
A. { 2,0,2,4} B. {0,2,4} C. {0,2} D. [0,4)
2.在平行四边形 中， 为 的中点， 为 的中点，若 = + ，则 + =( )
A. 54 B.
3
4 C.
1
2 D.
1
4
3 1 1.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是4，乙获胜的概率是3，则甲获胜的概率是( )
A. 7 5 1 112 B. 12 C. 4 D. 3
4.已知 ， 是两条不重合的直线， ， 是两个不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A.若 ， ， // ， // ，则 // B.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥ D.若 // ， ， ∩ = ，则 //
5.平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在
如图的分布形态中， ， ， 分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
6 ( ) ( ).已知定义域为 的偶函数 ( )满足：对任意 1， 1 22 ∈ [0, + ∞)( 1 ≠ 2)，都有 > 0 成立，则满1 2
足 (2 1) ≤ (1)的 取值范围是( )
A. ( ∞,1] B. [ 12 , 1] C. [0,1] D. [0,
1
2 ]
7.实数 ， 满足 5 > 2 > 0 ，则5 + 的最小值是( )
A. 5+1 2 5+1 5+2 2 5+25 B. 5 C. 5 D. 5
8.已知正三棱锥 的底面△ 3的边长为 6，直线 与底面 所成角的余弦值为 3 ，则正三棱锥
外接球的体积为( )
A. 81 6 B. 27 6 C. 18 6 D. 9 6
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知复数 ：满足(1 + ) = 2 ，则( )
A. | | = 2 B. 的实部为 1

C. 的共轭复数为 = 1 + D. 在复平面中对应的点位于第四象限
10.下列说法正确的是( )
A.数据 2，3，4，5，6，7，8，9 的第 75 百分位数为 7
B.若一组样本数据 3， ，7，5，4，8 的极差为 5，则实数 的取值范围为[3,8]
C. 1， 2， 3， 4和 ， 2 21 2， 3， 4的方差分别为 1和 2，若 = 2 3( = 1,2,3,4)，则 22 = 4 21
D.在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生 10 人，其平均数为 105，方差为 24，抽取女生 5 人，其
平均数为 102，方差为 21，则这 15 名学生数学成绩的方差为 25
11.已知 ( )定义域为 ， ( ) = (2 )，且 ( ) = ( )，当 ∈ (0,1]时， ( ) = .则下列说法正确的
有( )
A.直线 = 5 是 ( )的对称轴
B. ( )在[ 2025, 2023]上单调递减
C. (0) + (1) + + (2025) = 1
D. 1 1设 = 2025 与 ( )图象的第 个交点为( , )( ∈ )，若 = ( )与 = 2025 的图象有 个交点，则
1+ 2+ +
= 0
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知向量 = (0, 1)， = (3, 2)，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为______．
( ) + 1, < 0
13 2.已知函数 ( ) = 2 有 3 个零点，则实数 的取值范围为______． 2 + 1, ≥ 0
14.如图，八面体 的每一个面都是边长为 4 的正三角形，且顶点 ， ， ， ，
在同一个平面内.若点 在四边形 内(包含边界)运动，当 ⊥ 时，则
点 的轨迹的长度为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某校高一年级期中考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了 200 名学生的数学成绩，
将成绩分为[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]，共 6 组，得到如图所示的频率
分布直方图．
(1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在[90,150]内的学生中抽取 13 名，则成绩在[130,150]内
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的学生有几个？
(2)学校计划对本次测试数学成绩优异的学生进行表彰，且表彰人数不超过 8%，根据样本数据，试估计获
得表彰的学生的最低分数．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图像，如图所示．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)将函数 ( ) 1的图像向右平移3个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的2，纵坐标不变，得

到函数 ( )的图像，求函数 ( )在区间[0, 2 ]上的单调递增区间．
17.(本小题 15 分)
甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁
作为裁判，裁判外的两人比赛.一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规
则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局．
(1)设事件 =“两个骰子点数和能被 3 整除”，求事件 的概率；
(2) 2若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为3，现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的
概率．
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18.(本小题 17 分)
在△ 3中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 = + 5 ．
(1)求 的值；
(2)当 与 边上的中线长均为 2 时，求△ 的周长；
(3)当△ 内切圆半径为 1 时，求△ 面积的最小值．
19.(本小题 17 分)
如图，直三棱柱 1 1 1的体积为 4，△ 1 的面积为 2 2, 为线段 1 1上一动点， 1 = 1．
(1)当 = 1 时，证明： 1//平面 1D.
(2)当 ∈ [ 12 , 2]时，若 1 = ，平面 1 ⊥平面 1 1．
( )证明：cos∠ = cos∠ cos∠ ；
( )求二面角 1的正弦值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
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6.
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8.
9.
10.
11.
12.(0, 2)
13.(1, + ∞)
14. 2
15.(1)由题意有：(0.0025 + 0.005 + 0.01 + 0.015 + + 0.005) × 20 = 1，解得 = 0.0125，
0.005
采用分层抽样在[130,150]内的学生人数有：0.005+0.015+0.0125 × 13 = 2，
所以成绩在[130,150]内的学生有 2 个；
(2)因为各组的频率依次为 0.05，0.1，0.2，0.3，0.25，0.1，
0.92 0.05 0.1 0.2 0.3 0.25
所以第百分之 92 分位数落在(130,150)，且为 130 + 0.005 = 134，
所以估计获得表彰的学生的最低分数为 134 分．
16.(1)函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图像，
由图得 = 2 ，所以 = = 2．
由 ( 56 ) = 0，得 (
5
3 + ) = 0，
5 5
所以3 + = 2 , ∈ ，解得 = 2 3 , ∈ ．
| | < 又因为 2，故当 = 1 时， = 3．
又由 (0) = 3，得 = 3, = 2．
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故 ( ) = 2 (2 + 3 )．
(2)将 ( ) = 2 (2 + ) 3 的图像向右平移3个单位，
得到 = 2 [2( ) + 3 3 ] = 2 (2 3 )的图像，
1
再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的2，纵坐标不变，

得到 ( ) = 2 (4 3 )的图像．
由 2 2 ≤ 4 3 ≤ 2 + 2， ∈

，得 2 24 ≤ ≤

2 +
5
24 ( ∈ )，
= 0 ≤ ≤ 5 = 1 11 17 当 时， 24 24；当 时， 24 ≤ ≤ 24，

因为 ∈ [0, 2 ]，所以函数 ( )

在区间[0, 2 ]上的单调递增区间为[0,
5 ] [ 11 24 ， 24 ,

2 ]
17.(1)因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型，
样本空间： = {( , )| ， ∈ {1,2,3,4,5,6}}，共 36 个样本点，
事件 含有：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(3,3)，(2,4)，(4,2)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)，共 12
个样本点，
故 ( ) = 12 136 = 3；
(2) 2记事件 1为第 局甲胜， = 1，2，3，由题意知 ( 1) = 3，
记事件 为甲恰好胜一局，有如下两种情况：
①第 1 局甲胜，第 2 局甲败，②第 1 局甲败，第 3 局甲胜，

因为每局比赛结果相互独立，所以事件 1与 2， 1与 3也独立，

( ) = ( ) ( ) = ( )(1 ( )) = 2 × 1 = 2则 1 2 1 2 1 2 3 3 9，

( ) = ( ) ( ) = (1 ( )) ( ) = 1 × 2 21 3 1 3 1 3 3 3 = 9，

因为 = 1 2∪ 1 3，且事件 1 2与 1 3互斥，

所以 ( ) = ( 1 2) + ( 1 ) =
2 2 4
3 9 + 9 = 9，
4
所以甲恰好胜一局的概率为9．
18.解：(1)由正弦定理得 sin = sin cos + 35 sin ，
又由 sin = sin( + ) = sin cos + cos sin ，得 cos sin = 35 sin ，
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因为 sin ≠ 0，所以 cos = 35．
(2)由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，即 4 = 2 + 2 65 ， 由 边上的中线长为 2，
2 + 2 = 10,
得 2( 2 + 2) = 16 + 4， 2 + 2 = 10.联立 4 = 2 + 2 6 ,解得 + = 2 5，5
所以 + + = 2 + 2 5，即△ 的周长为 2 + 2 5．
(3)由△ 4内切圆半径为 1，得 + + = 5 ，因为
2 = 2 + 2 65 ，
4 2
所以 5 ( + ) =
2 + 2 65 ，得 + =
2
5 + 2，因为 + ≥ 2 ，
2
所以5 + 2 ≥ 2 ，
≥ 15+5 5 0 < ≤ 15 5 5解得 2 或 2 ，
2
又因为△ 的面积大于其内切圆面积，即5 > ，得 >
5 > 15 5 52 2 ，
所以 ≥ 15+5 5 5+ 52 ，当且仅当 = = 2 时，△ 的面积取到最小值 3 + 5．
19.(1)证明：当 = 1 时，即 为 1 1的中点，设 1 ∩ 1 = ，连接 ，
则 是 1 1的中位线，则 // 1，
因为 平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以 1/ /平面 1 ；
(2)( )证明：过点 作 ⊥ 交 于点 ，过点 作 ⊥ 交 于点 ，连接 ．
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在直三棱柱 1 1 1中，平面 1 1 ⊥平面 ，
平面 1 1 ∩平面 = ， 平面 1 1，
所以 ⊥平面 ．
又因为 平面 ，所以 ⊥ ．
又因为 ⊥ ， ∩ = ，所以 ⊥平面 ．
又因为 平面 ，所以 ⊥ ．
于是 cos∠ = , cos∠ =

, cos∠ =

，
故有 cos∠ = cos∠ cos∠ ．
( )在矩形 1 1中， 1 = ，所以矩形 1 1为正方形，则 1 ⊥ 1B.
又因为平面 1 ⊥平面 1 1，平面 1 ∩平面 1 1 = 1B.
所以 1 ⊥平面 1 ，则 1 ⊥ ．
在直三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ，故有 1 ⊥ ．
又因为 1 ∩ 1 ，所以 ⊥平面 1 1，从面 ⊥ 且 ⊥ 1B.
设 1 = = ( > 0)，
1 2
依题意， 2 1 1 1 = 2 × = 4, △ 1 = 2 × = 2 2，
于是 = 2， = 2．
即 1 = = 2．
过点 作 ⊥ 交 于点 ，连接 ．
由( )知， ⊥平面 ，从而 ⊥ ．
又因为 ∩ = ，所以 ⊥平面 ，从而 ⊥ ，
故∠ 为二面角 的平面角．
又因为 ⊥ 且 ⊥ 1 ，
所以∠ 1 为二面角 1 的平面角．
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又∠ 1 =

4，故二面角 1 的平面角为4．
设二面角 1的平面角为 ，依题意， = ∠ 4．
因为 1 = 1，且 // 1// 1，故 AF= ．
由于 ⊥ ， ⊥ ，故有 // ，
1 2
从而 = 1+ × = 1+ ，
2

所以 tan∠ = =
2
2 = 1 + ，
1+
∈ [ 1因为 2 , 2]，所以 tan∠ ∈ [
3
2 , 3]，
从而 = tan∠ 1 2 1 11+tan∠ = 1 2+ ∈ [ 5 , 2 ]，
∈ [ 26 , 5于是 26 5 ]．
因此二面角 26 51的正弦值范围为[ 26 , 5 ]．
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