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2025-2026 学年上海市嘉定一中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设 1、 2、 3、 4为空间中的四个不同点，则“ 1、 2、 3、 4中有三点在同一直线上”是“ 1、 2、
3、 4在同一个平面上”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.下列说法中正确的是( )
A.已知 = (1, 3), = (2, 6)，则 与 可以作为平面内所有向量的一组基底
B.若两非零向量 、 满足 与 共线，则 在 方向上的投影为| |
C.若两非零向量 、 满足| + | = | |，则 ⊥
D.平面直角坐标系中， (1,1)、 (4,2)、 (5,0)，则△ 为锐角三角形
3.设 = + 2 + 3 + + 2005， = 2 3 2005， 为虚数单位，则 与 的关系是( )
A. + = 0 B. < C. > D. =
4.如图所示，半径为 1 的圆 始终内切于直角梯形 ，则当 的长度增加时，以下结论：① 越
来越小；②| + + + |保持不变.它们成立的情况是( )
A.①②都正确
B.①②都错误
C.①正确，②错误
D.①错误，②正确
二、填空题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。
5.|(3 4 )4| =______．
6.函数 ( ) = sin2 cos2 的最小正周期是______．
7.已知 (1,1)， (4,0)，点 在线段 延长线上，且| | = 2| |，则点 的坐标为______．
8.在长方体 1 1 1 1中，若 = = 1， 1 = 2，则点 到平面 1 1距离为 ．
9.如图，在棱长为 1 的正方体中， 是棱 1 1的中点，则 与平面 1 1 所成角为
______(用反三角函数表示)．
10.已知 是边长为 1 的正六边形 的边上的任意一点，则 的取值范围
是______．
11.已知异面直线 ， 所成角为 70°，过空间定点 与 ， 成 55°角的直线共有______条.
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12.若存在区间[ , ]( ， ∈ )使得函数 ( ) = 12在此区间上仅有两个零点，则 的取值范围是
______．
13.函数 = sin2 + 2 2 1在区间[ 3 , ]上的值域为[ 4 , 2]，则 的取值范围是 ．
14.设 1、
3
2、 3在复平面上对应的点分别为 、 、 ， = 2 (1 + 3 )，若| 1| = 1， 2 = 1 ， 3 = 2 ，
则四边形 的面积为______．
三、解答题：本题共 4 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 14 分)
已知复数 满足 (1 + ) = 2 ， 为坐标原点，复数 在复平面内对应的向量为 ．
(1)求| + 3 4 |；
(2)若向量 绕 逆时针旋转2得到 ′, ′对应的复数为 ′，求 ′．
16.(本小题 14 分)
如图，在正方体 1 1 1 1中， 、 分别为 1B、 的中点．
(1)证明： //平面 1 1；
(2)求 1 与平面 1 1 所成角的大小．
17.(本小题 14 分)
市政部门要在一条道路路边安装路灯，如图所示截面中，要求灯柱 与地面 垂直，灯杆为线段 ，
∠ = 2 3，路灯 采用锥形灯罩，射出光线范围为∠ = 3， 、 、 、 在同一平面内，路宽 = 24
米，设∠ = ( 12 ≤ ≤ 6 ).
(1)求灯柱 的高 = ( )；
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(2)市政部门应该如何设置 的值才能使路灯灯柱 与灯杆 所用材料的总长度最小？最小值为多少？(结
果精确到 0.01)
18.(本小题 18 分)
已知等边三角形 的边长为 2， 为三角形 所在平面上一点．
(1)若 = ( + )，求△ 的面积；
(2)若 = 0，求| | + | |的最大值；
(3)求 2 + 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.625
6.
7.(7, 1)
8. 63
9.arctan 2 55
10.[ 1 32 , 2 ]
11.3
12.[ 2 3 ,
10
3 )
13.[0, 2 3 ]
14.15 32
15.(1) (1 + ) = 2 = 2 = 2 (1 )由 得： 1+ (1+ )(1 ) = (1 ) = 1 + ，
∴ | + 3 4 | = |4 3 | = 42 + ( 3)2 = 5．
(2)又 = 1 + ，由复数的几何意义，

得向量 = (1,1)绕原点 逆时针旋转2得到的 ′ = ( 1,1)，

则 ′对应的复数为 ′ = 1+ ，则 ′ = (1 + ) ( 1 + ) = 2．
16.(1)证明：
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在正方体 1 1 1 1中，分别取 ， 1的中点 ， ，连接 ， ， ，
因为 、 分别为 1B、 的中点，所以 // 1 1，
且 = 12 1
1
1， // 且 = 2 ，
又因为 // 1 1且 = 1 1，
所以 // 且 = ，
即四边形 是平行四边形，故 // ，
因为 平面 1 1， 平面 1 1，
所以 //平面 1 1．
(2)连接 1，交 1 于点 ，连接 1 ，
因为 1 1 ⊥平面 1 1， 1 平面 1 1，故 A 1 1 ⊥ 1，
又因为四边形 1 1是正方形，则 1 ⊥ 1 ，
而 1 1 ∩ 1 = 1，且 1 1， 1 平面 1 1 ，
故 BC 1 ⊥平面 1 1 ，
所以∠ 1 即 1 与平面 1 1 所成角，
设正方体的棱长为 2，则 1 = 2 2, = 2，
在 △ 1 中，sin∠ 1 =
= 1 2，则∠ = 30°，1 1
即 1 与平面 1 1 所成角的大小为 30°．
17.(1) 在△ 中，∠ = + 6，
sin∠
由sin∠ = sin∠ ，得 = sin∠ = 16 3sin( + 6 )，
在△ ∠ = 中， 3 ，
sin∠
由sin∠ = sin∠ ，得 = sin∠ = 32 ( + 6 )sin( 3 )．
(2) △ 中，
sin∠
由sin∠ = sin∠ ，得 = sin∠ = 32 ( + 6 ) ，
∴ + = 32 ( + 6 )sin(

3 ) + 32 ( +

6 ) = 16 2 + 8 3，
∵ 12 ≤ ≤ 6，6 ≤ 2 ≤ 3，
∴ 当 = 12时， + 取得最小值 8 + 8 3 ≈ 21.86．
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故制造路灯灯柱 与灯杆 所用材料的总长度最小，最小值约为 21.86 米．
18.解：(1)由三角形 是边长为 2 的等边三角形，
3
则 2△ = 4 × 2 = 3，
又 为△ 1 1 3的重心， △ = 3 △ = 3 × 3 = 3 ；
(2)由于 = 0，
即 ⊥ ，
则| |2 + | |2 = | |2 = 4，
| (
|+| | 2 | 2) ≤ | +|
|2
由 2 2 ，
则| | + | | ≤ 2 | |2 + | |2 = 2 2，
当且仅当| | = | | = 2时取到等号，
故| | + | |的最大值为 2 2；
(3)以 的中点 为原点， ， 分别为 轴、 轴正方向建立平面直角坐标系，
设 ( , )，易知 (0, 3)， ( 1,0)， (1,0)，
则 2 + = 2( , 3 ) ( 1 , ) + ( , 3 ) (1 , )，
化简得 2 + = 3 2 + + 3 2 3 3 = 3( + 1 )26 + 3(
3 )2 72 3，
= 1
故 2 + 7 6的最小值为 3，当且仅当 3时取到等号． = 2
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