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15.3 阶段小测(五)
(测试范围:15.3 时间:45分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，满24分)
1.等腰三角形的两边分别为5cm 和12 cm，则它的周长是 ( )
A.32 cm B.29 cm
C.22 cm D.22 cm或29 cm
2.如图，下列条件中能推出△ABC 是等边三角形的是 ( )
A.∠B=∠C
B. AD⊥BC,BD=CD
C. AD⊥BC,BD=CD,∠BAD=30°
D. AD⊥BC,∠BAD=∠ACD
3.如图,将△ABC沿AB向右平移得△DEF,DF与BC交于点 G.若∠C=90°,∠A=30°,AB=2AD=8，则BG的长度为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
4.如图,在△ABC中,ED∥BC,∠ABC 和∠ACB的平分线分别交 ED 于点 F,G.若FG=2,ED=6,则DB+EC的值为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.9
5.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=12 cm,点D 在边AC上,DC=4cm,将线段DC沿CB方向平移7 cm得到线段EF,点E,F分别落在边AB,BC上，则△EBF的周长为 ( )
A.7 cm B.11 cm C.13 cm D.16cm
6.如图，在△ABC 中，AD平分∠BAC，过点 B作BE⊥AD 于点 E,过点 E 作 EF∥AC 交AB 于点F,则 ( )
A. AF=2BF B. AF=BF
C. AF>BF D. AF二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
7.在△ABC中,AB=AC,∠B=54°,则∠C 的度数为 .
8.如图,△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一条直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E的度数是 .
9.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D 是边BC上一点,BD=2,DE⊥BC交AB 于点 E,则AE= .
10.如图,△ABC 中,AB=BC,∠ABC=120°,点 E是线段AC上一点，连接BE 并延长至点 D，连接CD.若∠BCD=120°,AB=2CD,AE=7,则线段CE的长为
三、解答题(本大题共5小题，满分56分)
11.(本题10分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB于点 D.若AB=12,求BD的长.
12.(本题 10 分) (2025 ·济宁期末)如图,在△ABC中,AB=AC,AH⊥BC 于点 H,点 D 在AH上,且 BD=BC,将△ABD沿BD 折叠得到△A'BD,A' B 交 AC 于点 E.求证:DE 平分∠AEB.
13.(本题10分)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).
(1)△ABC的面积为 .
(2)在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A'B'C'.
(3)在MN上找一点 P,使得PB+PC 的距离最短，在图中作出P 点的位置.
14.(本题12分)如图,在△ABC 中,AD 是角平分线,点 E 为边AC上一点,∠EDC=∠BAC.
(1)画出△ABD关于直线AD对称的三角形.
(2)求证:BD=ED.
15.(本题 14分)如图,已知△ABC≌△CDA,将△ABC沿AC所在的直线折叠至△AB'C 的位置,点 B 的对应点为 B',连接BB'.
(1)B'B与AC 的位置关系是 .
(2)点 P，Q分别是线段AC，BC上的两个动点(不与点A,B,C重合),已知△BB'C的面积为36,BC=8,求PB+PQ 的最小值.
阶段小测(五)
(测试范围:15.3 时间:45分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，满分24分)
1.等腰三角形的两边分别为5cm 和12cm，则它的周长是 (B)
A.32 cm B.29 cm
C.22 cm D.22 cm或29 cm
2.如图，下列条件中能推出△ABC 是等边三角形的是 (C)
A.∠B=∠C
B. AD⊥BC,BD=CD
C. AD⊥BC,BD=CD,∠BAD=30°
D. AD⊥BC,∠BAD=∠ACD
3.如图,将△ABC沿AB 向右平移得△DEF,DF 与BC交于点 G.若∠C=90°,∠A=30°,AB=2AD=8，则BG的长度为 (C)
A.4 B.3 C.2 D.1
4.如图,在△ABC中,ED∥BC,∠ABC 和∠ACB的平分线分别交 ED 于点 F,G.若FG=2,ED=6,则DB+EC的值为 (B)
A.3 B.4 C.5 D.9
5.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=12cm,点D 在边AC上,DC=4cm,将线段DC沿CB方向平移7 cm得到线段EF,点 E,F分别落在边AB,BC上，则△EBF的周长为 (C)
A.7 cm B.11 cm C.13 cm D.16cm
6.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,过点 B 作BE⊥AD于点 E,过点 E作EF∥AC交AB 于点F,则 (B)
A. AF=2BF B. AF=BF
C. AF>BF D. AF二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
7.在△ABC中,AB=AC,∠B=54°,则∠C 的度数为 54° .
8.如图,△ABC是等边三角形,点 B,C,D,E在同一条直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E的度数是 15° .
9.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D 是边BC上一点,BD=2,DE⊥BC交AB 于点 E,则AE= 2 .
10.如图,△ABC 中,AB=BC,∠ABC=120°,点 E是线段AC上一点，连接BE 并延长至点 D，连接CD.若∠BCD=120°,AB=2CD,AE=7,则线段 CE的长为 \frac{7}{3} .
三、解答题(本大题共5小题，满分56分)
11.(本题10分)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB于点D.若AB=12,求BD的长.
答案解: ∵ ∠ACB = 90°, ∠A = 30°,AB=12,
(4分)
∵CD⊥AB,
∴∠CDB=90°,∴∠BCD=30°,(8分)
(10分)
12.(本题 10 分)(2025 ·济宁期末)如图,在△ABC中,AB=AC,AH⊥BC 于点 H,点 D 在AH上,且 BD=BC,将△ABD 沿BD 折叠得到△A'BD,A' B 交 AC 于点 E.求证:DE 平分∠AEB.
证明:如图,过点 D 作 DM⊥AM,DN⊥AC,DG⊥A'B,垂足分别为点 M,N,G.
∵AB=AC,AH⊥BC于点H,
∴AH平分∠BAC.
∵DM⊥AM,DN⊥AC,
∴DM=DN.(5分)
由折叠可得 ∠ABD = ∠A' BD, 即 BD 平分∠ABA'.
∵DM⊥AM,DG⊥A'B,
∴DM=DG,∴DN=DG.
∵DN⊥AC,DG⊥AB,
∴点D在∠AEB的平分线上，
∴DE 平分∠AEB.(10分)
13.(本题10分)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).
(1)△ABC的面积为 5.5 .
(2)在图中作出△ABC 关于直线MN的对称图形△A'B'C'.
(3)在MN上找一点 P,使得PB+PC的距离最短，在图中作出P 点的位置.
解： 3-2-1.5=5.5.
故答案为5.5.(3分)
(2)如图所示,△A'B'C'即为所求.(6分)
(3)如图所示，点P 即为所求.(10分)
14.(本题12分)如图,在△ABC 中,AD 是角平分线,点 E为边AC 上一点,∠EDC=∠BAC.
(1)画出△ABD关于直线AD对称的三角形.
(2)求证:BD=ED.
解:(1)如图,在CE 上取点F,使AB=AF,连接DF,则△ADF与△ADB 关于直线AD对称.(4分)
(2)证明:
易证△ABD≌△AFD(SAS),(6分)
得BD=DF,∠B=∠AFD.(8分)
由∠B+∠BAC+∠C=∠DEC+∠EDC+∠C=180°,
∴∠B=∠DEC,∴∠DEC=∠AFD,(10分)
∴DE=DF,∴BD=ED.(12分)
15.(本题 14 分)如图,已知△ABC≌△CDA,将△ABC沿AC所在的直线折叠至△AB'C 的位置,点 B 的对应点为 B',连接BB'.
(1)B'B与AC 的位置关系是 垂直 .
(2)点 P，Q分别是线段AC，BC上的两个动点(不与点A,B,C重合),已知△BB'C的面积为36,BC=8,求PB+PQ的最小值.
解:(1)垂直(4分)
(2)连接B'P.由题意,易得AC是BB'的垂直平分线，
∴PB=PB',
∴PB+PQ=PB'+PQ,
∴当B',P,Q 三点在一条线段上时,PB+PQ的值最小.(8分)
又∵垂线段最短，
∴B'Q⊥BC时,PB+PQ的值最小.(10分)
∴h=9,
∴PB+PQ 的最小值为9.(14分)

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