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综合与实践 最短路径问题
A夯实基础
知识点1 两点之间线段最短
1.将图中的树叶沿虚线剪掉一部分，发现剩下的树叶的周长比原来的周长要小，能正确解释这一现象的数学原理是 .
2.新考法如图，某条河流可以近似地看作一条折线段(图中l)，村庄A，B分别在河的两旁.现要在河边修建一个水泵站，同时向 A，B两村供水，为了节约建设的费用，就要使所铺设的管道最短.甲村民提出了这样的建议：从B向河道作垂线交l于点 P，则点 P 为水泵站的位置.
(1)你是否同意甲村民的意见 .(选填“是”或“否”)
(2)若同意，请说明理由；若不同意，那么你认为水泵站应该建在哪 请在图中作出来，并说明作图的依据.
知识点2 利用轴对称解决最短路径问题
3.如图，在正方形网格中有 M，N两点，在直线l上求一点 P 使 PM+PN最短,则点 P 应选在( )
A.点A B.点 B C.点 C D.点 D
4.如图，牧马人骑马从A地出发，到河边l的点 M处饮水，然后到 C 地宿营.请在图中画出最短路径.
5.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了△ABC(顶点是网格线的交点).
(1)请画出△ABC 关于直线l对称的△A B C .
(2)在直线l上画出点 P,使得 PA+PC 最小.
(3)在直线l上画出点Q，使得( 最小.
B能力提升
6.如图,在△ABC中,已知AB=AC=8,BC=5,AB的垂直平分线交AB于点N，交AC 于点M，P为直线MN上一点,连接PB,PC,则△PBC的周长最小是 ( )
A.15 B.14 C.13 D.16
7.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D 为边BC 的中点,点 P,E分别是AD,AC 上的动点，则PE+PC的最小值为 ( )
A. C.1 D.2
8.如图,点 P 是∠AOB 内任意一点,OP=8,点 M和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，△PMN周长的最小值是8，则∠AOB 的度数是
9.如图，小明在假期时和家人一起外出露营，小明从A地出发，先到小溪a清洗食材，再到枯木边b捡取木材，然后到 C 地和家人一起烹饪食材.请在图中画出最短路径.
10.(2025·扬州期末)如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC 的三个顶点都在格点上.
(1)在网格中画出△ABC向右平移6个单位长度得到的△A B C .
(2)在网格中画出△A B C 关于 x 轴对称的△A B C .
(3)在x轴上画一点Q，使得 的值最小.
综合与实践 最短路径问题
A夯实基础
知识点1 两点之间线段最短
1.将图中的树叶沿虚线剪掉一部分，发现剩下的树叶的周长比原来的周长要小，能正确解释这一现象的数学原理是 两点之间线段最短 .
2.新考法如图，某条河流可以近似地看作一条折线段(图中l)，村庄A，B分别在河的两旁.现要在河边修建一个水泵站，同时向A，B两村供水，为了节约建设的费用，就要使所铺设的管道最短.甲村民提出了这样的建议：从B向河道作垂线交l于点 P，则点 P 为水泵站的位置.
(1)你是否同意甲村民的意见 否 .(选填“是”或“否”)
(2)若同意，请说明理由；若不同意，那么你认为水泵站应该建在哪 请在图中作出来，并说明作图的依据.
答案解:(1)否.
(2)连接AB,交l于点Q,则水泵站应该建在点Q 处.依据为两点之间，线段最短.
知识点2 利用轴对称解决最短路径问题
3.如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点 P 使PM+PN最短，则点 P 应选在
(C)
A.点A B.点 B C.点 C D.点 D
4.如图，牧马人骑马从A地出发，到河边l的点 M处饮水，然后到 C 地宿营.请在图中画出最短路径.
解：作点 C 关于直线l的对称点 C ，连接AC ，交直线l于点M,连接AM,CM.
5.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了△ABC(顶点是网格线的交点).
(1)请画出△ABC关于直线l对称的△A B C .
(2)在直线l上画出点 P,使得 PA+PC 最小.
(3)在直线l上画出点Q，使得( 最小.
解：(1)如图所示.
(2)连接AC 交直线l于点 P.
(3)连接AB 交直线l于点Q.
B能力提升
6.如图,在△ABC中,已知AB=AC=8,BC=5,AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，P为直线MN上一点,连接PB,PC,则△PBC的周长最小是 (C)
A.15 B.14 C.13 D.16
7.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D 为边BC的中点,点 P,E 分别是 AD,AC 上的动点，则PE+PC的最小值为 (A)
A. C.1 D.2
8.如图,点 P 是∠AOB 内任意一点,OP=8,点 M和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，△PMN周长的最小值是8，则∠AOB 的度数是 30° .
9.如图，小明在假期时和家人一起外出露营，小明从A地出发，先到小溪a清洗食材，再到枯木边b捡取木材，然后到C地和家人一起烹饪食材.请在图中画出最短路径.
解：作点A关于直线a的对称点A'，作点C关于直线b的对称点 C'，连接A'C'，分别交直线a,b于点M,N,连接AM,MN,CN.
10.(2025·扬州期末)如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1 个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上.
(1)在网格中画出△ABC向右平移6个单位长度得到的△A B C .
(2)在网格中画出△A B C 关于x 轴对称的△A B C .
(3)在x轴上画一点 Q，使得 的值最小.
答案解:(1)如图,△A B C 即为所求作.
(2)如图,△A B C 即为所求作.
(3)如图，点Q 即为所求作.

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