资源简介

15.3.2 等边三角形
第 1课时 等边三角形的性质和判定
夯实基础
知识点1 等边三角形的性质
1.如图,△ABC 是等边三角形,点 D 在边 AC上,∠DBC=35°,则∠ADB的度数为 ( )
A.25° B.60° C.85° D.95°
2.如图,△ABC 为等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于点 R,PS⊥AC于点 S,PR=PS,则下列四个结论:①AP 平分∠BAC;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP.其中正确的是 ( )
A.①②③ B.②③④
C.①③④ D.①②③④
3.如图，直线 ，将等边三角形按如图所示放置.若∠α=40°,则∠β的度数是 .
4.如图,AD是等边三角形ABC 的中线,AE=AD,则∠EDC 的度数是 .
5.如图,△ABC 是等边三角形,△BCD 是等腰直角三角形,BC=CD,求∠ADB 的度数.
知识点2 等边三角形的判定
6.下列命题中是假命题的是 ( )
A.有一个角是60°的三角形是等边三角形
B.有两个角是60°的三角形是等边三角形
C.三个角都相等的三角形是等边三角形
D.三边相等的三角形是等边三角形
7.△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足 |b-c|=0,则△ABC的形状为 ( )
A.三边互不相等的三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.以上都有可能
8.如图,已知OA=5,点 P 是射线 ON 上 的 一 个 动点,∠AON=60°.当OP= 时，△AOP 为等边三角形.
9.如图,在△ABC中,点D 是边AB上一点,且AD=DC=DB,∠B=30°.求证:△ADC 是等边三角形.
B能力提升
9.如图，BD 是等边三角形ABC的边AC上的高，以点 D 为圆心，DB长为半径作弧交 BC 的延长线于点 E，则∠DEC 的度数是 ( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
11.如图,∠AOB=60°,OA=OB,动点 C 从点 O 出发，沿射线OB 移动，以AC为边在右侧作等边三角形ACD,连接BD,则∠OBD= .
12.如图,点 P 是∠AOB 内任意一点,OP=3c m,点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点,∠AOB=30°,则△PMN周长的最小值是 cm.
13.如图，△ABC是等边三角形，点 D，E分别在边CB,CA上,且 CD=CE,AF∥BC,AF 与 DE 的延长线交于点 F.
(1)求证:△AEF 是等边三角形.
(2)连接CF,交BE的延长线于点 G,求∠BGF的度数.
思维拓展
14.核心素养·推理能力如图,在△ABC中,AB=AC,点D 为△ABC内一点,AE∥CD,交 BD 的延长线于点E,∠E=60°,∠ABE=∠BCD.
(1)求证:△ABC为等边三角形.
(2)探究 AE,CD 与 BE 之间的数量关系,并证明.
第 2课时 含30°角的直角三角形
夯实基础
知识点1 含30°角的直角三角形的性质
1.(2025·福州期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AE 平分∠BAC.若CE=2,则 BC 的长为 ( )
A.7 B.6 C.5 D.4
2.如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯的平面示意图.其中AB，CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线.若∠ABC=150°,BC=10m,则乘电梯从点B到点 C上升的高度 h是( )
A.3m B.4m C.5m D.6m
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD是中线,且AD=3cm,则AB的长是 cm.
4.如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,∠C=30°,边AC的垂直平分线分别交AC,BC 于 E,D 两点.试写出线段 BD 和DC 的数量关系，并给出证明.
知识点2 含30°角的直角三角形的性质的应用
5.如图，一棵树在一次强台风中于离地面6m 处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，则这棵树在折断前的高度为 ( )
A.6m B.9m C.12 m D.18m
6.图1 所示为某地铁站入口的双翼闸门，当它的双翼展开时(如图2所示)，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=54 cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠QDB=30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 ( )
A.37 cm B.54 cm C.64 cm D.74 cm
7.小亮参加了班级旗帜设计，他设计了形状如图所示的彩旗,图中∠ACB=90°,∠D =15°,点A在 CD 上,AD=AB,BC=15 cm,则AD的长为 cm.
某天，嘉嘉和父母外出郊游，在河岸边玩耍，她想测量河的宽度，便设计了一种测量方案：如图，在河对岸选择点A，再在河这边岸边选取B，C两点，用测角仪测得∠ABC=75°,∠ACB=30°,并测量出 BC 长为40 m,则河的宽度为 m.
B能力提升
9.(2025·石家庄期末)如图,点E 在∠AOB 的平分线上,∠BOE=15°,EC⊥OB,垂足为点 C,EF∥OB交OA 于点 F.若EC=4,则OF的长是( )
A.8 B.6 C.4 D.2
10.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,边AB的垂直平分线交BC 于点 M，交AB于点 E，边AC的垂直平分线交 BC 于点 N,交AC 于点 F.若MN=2,则NF 的长是 ( )
A. B.1 C.2 D.4
11.如图,△ABC是边长为6cm的等边三角形,BP=4 cm,点 Q 为射线 BC 上一点.当 CQ 的长为 时，△PBQ是直角三角形.
12.如图,在 Rt△ABC 中,∠A = 90°,CM 平分∠ACB交边AB 于点M,过点M作MN∥BC交边AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为 .
13.沪科版教材P150例4改编如图，上午8时，一条船从海岛 A 出发,以每小时 18 n mile 的速度向正北航行，10时到达海岛 B处.从A，B处望灯塔C，测得灯塔C在A处的北偏西15°，灯塔C在 B 处的北偏西30°方向上，在灯塔C的周围20 n mile 范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险 请说明理由.
14.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,边AB的垂直平分线分别交AB，BC 于点E，F，交CA 的延长线于点 D.
(1)求证:AD=AC.
(2)若BC=8,求DE的长.
思维拓展
如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC,AC上,且AE=CD,AD 与BE相交于点F,CF⊥BE,则AF:BF= .
15.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质和判定
A夯实基础
知识点1 等边三角形的性质
1.如图,△ABC 是等边三角形,点 D 在边 AC上,∠DBC=35°,则∠ADB的度数为 (D)
A.25° B.60° C.85° D.95°
2.如图,△ABC 为等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于点 R,PS⊥AC于点S,PR=PS,则下列四个结论:①AP 平分∠BAC;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP.其中正确的是 (D)
A.①②③ B.②③④
C.①③④ D.①②③④
3.如图，直线 ，将等边三角形按如图所示放置.若∠α=40°,则∠β的度数是 20° .
4.如图,AD是等边三角形ABC 的中线,AE=AD,则∠EDC的度数是 15° .
5.如图,△ABC 是等边三角形,△BCD 是等腰直角三角形,BC=CD,求∠ADB的度数.
答案解:由题意,得∠ACD=∠BCD-∠ACB=30°.∵BC=AC=CD,
∴∠CAD=∠CDA=75°,
∴∠ADB=∠CDA-∠BDC=30°.
知识点2 等边三角形的判定
6.下列命题中是假命题的是 (A)
A.有一个角是60°的三角形是等边三角形
B.有两个角是60°的三角形是等边三角形
C.三个角都相等的三角形是等边三角形
D.三边相等的三角形是等边三角形
7.△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足( |b-c|=0,则△ABC的形状为 (B)
A.三边互不相等的三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.以上都有可能
8.如图,已知OA=5,点 P 是射线 ON 上 的 一 个 动 点,∠AON=60°.当 OP= 5 时，△AOP 为等边三角形.
9.如图,在△ABC中,点 D 是边AB 上一点,且AD=DC=DB,∠B=30°.求证:△ADC是等边三角形.
证明:∵ DC=DB,
∴∠B=∠DCB=30°,
∴∠ADC=∠DCB+∠B=60°.
又∵AD=DC,
∴△ADC是等边三角形.
B能力提升
如图，BD 是等边三角形ABC 的边AC上的高,以点 D 为圆心,DB长为半径作弧交 BC 的延长线于点 E，则∠DEC 的度数是 (C)
A.20° B.25° C.30° D.35°
11.如图,∠AOB=60°,OA=OB,动点 C从点 O 出发，沿射线OB 移动，以AC为边在右侧作等边三角形ACD,连接BD,则∠OBD= 120° .
12.如图,点 P 是∠AOB 内任意一点,OP=3c m,点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点,∠AOB=30°,则△PMN周长的最小值是 3 cm.
13.如图,△ABC是等边三角形,点 D,E 分别在边CB,CA上,且 CD=CE,AF∥BC,AF 与 DE 的延长线交于点 F.
(1)求证:△AEF 是等边三角形.
(2)连接CF,交BE的延长线于点 G,求∠BGF的度数.
答案解:(1)证明:先证△CDE 为等边三角形.
∵AF∥DC,
∴△AEF 是等边三角形.
(2)证△ABE≌△ACF(SAS),
∴∠ABE=∠ACF,
∠BGC=∠BAC=60°,
∴ ∠BGF=120°.
思维拓展
14.核心素养·推理能力如图,在△ABC中,AB=AC,点 D 为△ABC 内一点,AE∥CD,交 BD 的延长线于点E,∠E=60°,∠ABE=∠BCD.
(1)求证:△ABC为等边三角形.
(2)探究 AE,CD 与 BE 之间的数量关系,并证明.
证明:(1)∵AE∥CD,∠E=60°,
∴ ∠EDC=∠E=60°.
∵∠ABE=∠BCD,
∴ ∠ABE + ∠DBC =∠BCD+∠DBC,
∴∠ABC=∠EDC=60°.
∵AB=AC,
∴ △ABC为等边三角形.
(2)如图,在BE上取点F,使得AF=AE.
∵ ∠E=60°,∴ △AFE是等边三角形,
∴∠AFE=60°,AF=AE=EF,
∴∠FAB+∠ABF=60°.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°,AB=BC,
∴∠ABF+∠CBD=60°,
∴∠FAB=∠CBD.
又∵AB=BC,∠ABF=∠BCD,
∴△FAB≌△DBC(ASA),∴BF=CD.
∵BE=BF+EF,
∴BE=CD+AE.
第2课时 含30°角的直角三角形
夯实基础
知识点1 含30°角的直角三角形的性质
1.(2025·福州期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AE平分∠BAC.若 CE=2,则 BC 的长为 (B)
A.7 B.6 C.5 D.4
2.如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯的平面示意图.其中AB，CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线.若∠ABC=150°,BC=10m,则乘电梯从点 B到点 C上升的高度h是(C)
A.3m B.4m C.5m D.6m
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD是中线,且AD=3cm,则AB的长是 6 cm.
4.如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,∠C=30°,边AC的垂直平分线分别交AC,BC 于 E,D 两点.试写出线段BD 和DC 的数量关系，并给出证明.
答案解:DC=2BD,证明如下:
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC,
∴∠DAC=∠C=30°.
∵∠B=90°,∴∠BAC=60°,
∴∠BAD=30°,∴AD=2BD,∴DC=2BD.
知识点2 含30°角的直角三角形的性质的应用
5.如图，一棵树在一次强台风中于离地面6m 处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，则这棵树在折断前的高度为 (D)
A.6m B.9 m C.12m D.18m
6.图1 所示为某地铁站入口的双翼闸门，当它的双翼展开时(如图2所示)，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=54cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠QDB=30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 (C)
A.37cm B.54 cm C.64 cm D.74 cm
7.新情境小亮参加了班级旗帜设计，他设计了形状如图所示的彩旗,图中∠ACB=90°,∠D=15°,点A在CD上,AD=AB,BC=15 cm,则AD的长为 30 cm.
核心素养·应用意识某天，嘉嘉和父母外出郊游，在河岸边玩耍，她想测量河的宽度，便设计了一种测量方案：如图，在河对岸选择点A，再在河这边岸边选取B，C两点，用测角仪测得∠ABC=75°,∠ACB=30°,并测量出 BC 长为40m,则河的宽度为 20 m.
B能力提升
9.(2025·石家庄期末)如图,点E在∠AOB 的平分线上,∠BOE=15°,EC⊥OB,垂足为点 C,EF∥OB交OA 于点 F.若EC=4,则OF的长是(A)
A.8 B.6 C.4 D.2
10.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,边AB的垂直平分线交 BC 于点 M，交AB 于点 E，边AC的垂直平分线交 BC 于点 N,交AC 于点 F.若MN=2,则NF的长是 (B)
A. B.1 C.2 D.4
11.如图,△ABC是边长为6cm的等边三角形,BP=4 cm,点 Q 为射线 BC 上一点.当 CQ 的长为 4cm或2cm 时,△PBQ是直角三角形.
12.如图,在 Rt△ABC 中,∠A = 90°,CM 平分∠ACB交边AB 于点M,过点M作MN∥BC交边AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为 6 .
13.沪科版教材P150例4改编如图，上午8时，一条船从海岛 A 出发,以每小时 18 n mile 的速度向正北航行，10时到达海岛 B处.从A，B处望灯塔C，测得灯塔C在A处的北偏西15°，灯塔C在 B 处的北偏西30°方向上，在灯塔C的周围20 n mile 范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险 请说明理由.
答案解：会有触礁危险.理由如下：如图,过点C作CE⊥AB于点E.由题意可得AB=2×18=36 n mile,∵ ∠EBC=∠A+∠ACB,∠EAC=15°,∠NBC=30°,
∴∠ACB=∠EAC=15°.
∴BC=AB=36 n mile.
∵CE⊥AN,∴∠BEC=90°.
∵∠EBC=30°,
∵18<20,
∴轮船不改变方向继续向前航行，会有触礁危险.
14.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,边AB的垂直平分线分别交 AB,BC 于点 E,F,交CA 的延长线于点 D.
(1)求证:AD=AC.
(2)若BC=8,求DE的长.
解:(1)证明:如图,连接AF.
∴ ∠AFC = ∠ABC +∠BAF=2∠ABC=60°,
∴∠FAC=90°,
∴AF⊥DC.易证FD=FC,
∴AD=AC.
(2)设EF=a,则FA=BF=2a,DF=CF=4a,BC=6a=8,a= ,DE=DF-EF=3a=4.
思维拓展
如图，在等边三角形ABC中，点 D，E分别在边BC,AC上,且AE=CD,AD 与BE相交于点 F,CF⊥BE,则AF:BF= 1∶2 .

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