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2025-2026学年上海市嘉定一中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设、、、为空间中的四个不同点，则“、、、中有三点在同一直线上”是“、、、在同一个平面上”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.下列说法中正确的是( )
A. 已知，则与可以作为平面内所有向量的一组基底
B. 若两非零向量、满足与共线，则在方向上的投影为
C. 若两非零向量、满足，则
D. 平面直角坐标系中，、、，则为锐角三角形
3.设，，为虚数单位，则与的关系是( )
A. B. C. D.
4.如图所示，半径为的圆始终内切于直角梯形，则当的长度增加时，以下结论：越来越小；保持不变它们成立的情况是( )
A. 都正确
B. 都错误
C. 正确，错误
D. 错误，正确
二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
5.______．
6.函数的最小正周期是______．
7.已知，，点在线段延长线上，且，则点的坐标为______．
8.在长方体中，若，，则点到平面距离为 ．
9.如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，则与平面所成角为______用反三角函数表示．
10.已知是边长为的正六边形的边上的任意一点，则的取值范围是______．
11.已知异面直线，所成角为，过空间定点与，成角的直线共有______条
12.若存在区间，使得函数在此区间上仅有两个零点，则的取值范围是______．
13.函数在区间上的值域为，则的取值范围是 ．
14.设、、在复平面上对应的点分别为、、，，若，，，则四边形的面积为______．
三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数满足，为坐标原点，复数在复平面内对应的向量为．
求；
若向量绕逆时针旋转得到对应的复数为，求．
16.本小题分
如图，在正方体中，、分别为B、的中点．
证明：平面；
求与平面所成角的大小．
17.本小题分
市政部门要在一条道路路边安装路灯，如图所示截面中，要求灯柱与地面垂直，灯杆为线段，，路灯采用锥形灯罩，射出光线范围为，、、、在同一平面内，路宽米，设
求灯柱的高；
市政部门应该如何设置的值才能使路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小？最小值为多少？结果精确到
18.本小题分
已知等边三角形的边长为，为三角形所在平面上一点．
若，求的面积；
若，求的最大值；
求的最小值．
参考答案
1.
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3.
4.
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6.
7.
8.
9.
10.
11.
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13.
14.
15.由得：，
．
又，由复数的几何意义，
得向量绕原点逆时针旋转得到的，
则对应的复数为，则．
16.证明：
在正方体中，分别取，的中点，，连接，，，
因为、分别为B、的中点，所以，
且，且，
又因为且，
所以且，
即四边形是平行四边形，故，
因为平面，平面，
所以平面．
连接，交于点，连接，
因为平面，平面，故A，
又因为四边形是正方形，则，
而，且，平面，
故BC平面，
所以即与平面所成角，
设正方体的棱长为，则，
在中，，则，
即与平面所成角的大小为．
17.在中，，
由，得，
在中，，
由，得．
中，
由，得，
，
，，
当时，取得最小值．
故制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小，最小值约为米．
18.解：由三角形是边长为的等边三角形，
则，
又为的重心，；
由于，
即，
则，
由，
则，
当且仅当时取到等号，
故的最大值为；
以的中点为原点，，分别为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，
设，易知，，，
则，
化简得，
故的最小值为，当且仅当时取到等号．
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