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2025-2026学年山西省太原市师范学院附中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则( )
A. B. C. D.
3.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是( )
A. B. C. D.
4.已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
5.平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在如图的分布形态中，，，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
6.已知定义域为的偶函数满足：对任意，，都有成立，则满足的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.实数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知正三棱锥的底面的边长为，直线与底面所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数：满足，则( )
A. B. 的实部为
C. 的共轭复数为 D. 在复平面中对应的点位于第四象限
10.下列说法正确的是( )
A. 数据，，，，，，，的第百分位数为
B. 若一组样本数据，，，，，的极差为，则实数的取值范围为
C. ，，，和，，，的方差分别为和，若，则
D. 在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生人，其平均数为，方差为，抽取女生人，其平均数为，方差为，则这名学生数学成绩的方差为
11.已知定义域为，，且，当时，则下列说法正确的有( )
A. 直线是的对称轴
B. 在上单调递减
C.
D. 设与图象的第个交点为，若与的图象有个交点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______．
13.已知函数有个零点，则实数的取值范围为______．
14.如图，八面体的每一个面都是边长为的正三角形，且顶点，，，，
在同一个平面内若点在四边形内包含边界运动，当时，则
点的轨迹的长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校高一年级期中考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，，共组，得到如图所示的频率分布直方图．
在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取名，则成绩在内的学生有几个？
学校计划对本次测试数学成绩优异的学生进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的学生的最低分数．
16.本小题分
已知函数的部分图像，如图所示．
求函数的解析式；
将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间．
17.本小题分
甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局．
设事件“两个骰子点数和能被整除”，求事件的概率；
若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为，现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，满足．
求的值；
当与边上的中线长均为时，求的周长；
当内切圆半径为时，求面积的最小值．
19.本小题分
如图，直三棱柱的体积为，的面积为为线段上一动点，．
当时，证明：平面D.
当时，若，平面平面．
证明：；
求二面角的正弦值范围．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
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13.
14.
15.由题意有：，解得，
采用分层抽样在内的学生人数有：，
所以成绩在内的学生有个；
因为各组的频率依次为，，，，，，
所以第百分之分位数落在，且为，
所以估计获得表彰的学生的最低分数为分．
16.函数的部分图像，
由图得，所以．
由，得，
所以，解得．
又因为，故当时，．
又由，得．
故．
将 的图像向右平移个单位，
得到的图像，
再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得到的图像．
由，，得，
当时，；当时，，
因为，所以函数在区间上的单调递增区间为，
17.因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型，
样本空间：，，共个样本点，
事件含有：，，，，，，，，，，，，共个样本点，
故；
记事件为第局甲胜，，，，由题意知，
记事件为甲恰好胜一局，有如下两种情况：
第局甲胜，第局甲败，第局甲败，第局甲胜，
因为每局比赛结果相互独立，所以事件与，与也独立，
则，
，
因为，且事件与互斥，
所以，
所以甲恰好胜一局的概率为．
18.解：由正弦定理得，
又由，得，
因为，所以．
由余弦定理得，即， 由边上的中线长为，
得，联立解得，
所以，即的周长为．
由内切圆半径为，得，因为，
所以，得，因为，
所以，
解得或，
又因为的面积大于其内切圆面积，即，得，
所以，当且仅当时，的面积取到最小值．
19.证明：当时，即为的中点，设，连接，
则是的中位线，则，
因为平面，平面，
所以平面；
证明：过点作交于点，过点作交于点，连接．
在直三棱柱中，平面平面，
平面平面，平面，
所以平面．
又因为平面，所以．
又因为，，所以平面．
又因为平面，所以．
于是，
故有．
在矩形中，，所以矩形为正方形，则B.
又因为平面平面，平面平面B.
所以平面，则．
在直三棱柱中，平面，故有．
又因为，所以平面，从面且B.
设，
依题意，，
于是，．
即．
过点作交于点，连接．
由知，平面，从而．
又因为，所以平面，从而，
故为二面角的平面角．
又因为且，
所以为二面角的平面角．
又，故二面角的平面角为．
设二面角的平面角为，依题意，．
因为，且，故AF．
由于，，故有，
从而，
所以，
因为，所以，
从而，
于是．
因此二面角的正弦值范围为．
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