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2025-2026学年安徽省蚌埠二中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，角以为始边，点在角的终边上，则( )
A. B. C. D.
3.若圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的面积为，则这个圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
4.已知平面向量，且，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，且满足，则
D. 若，，，且，，则
6.若，，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数为( )
A. B. C. D.
8.已知中，、、为角、、的对边，，若与的内角平分线交于点，的外接圆半径为，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数满足其中为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 在复平面内对应的点位于第四象限
B. 是的共轭复数
C.
D. 若，则的最大值为
10.函数的部分图象如图所示，则( )
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象向左平移个单位长度后得到函数
C. 的单调递增区间为
D. 若方程在上有且只有个根，则
11.在长方形中，，，点在线段上不包含端点，沿将折起，使二面角的大小为，，则( )
A. 存在某个位置，使得
B. 存在某个位置，使得直线平面
C. 四棱锥体积的最大值为
D. 当时，线段长度的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量与的夹角为，则______．
13.需要测量某塔的高度，选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为______米
14.已知三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，且，，点为三棱锥的外接球球面上一动点，时，动点的轨迹长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
直角坐标系中，已知向量且．
求的值；
若为第二象限角，求的值．
16.本小题分
如图，在平行四边形中，，点为中点，点，在线段上，满足，设．
用向量表示向量；
若，求；
若，求．
17.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，，
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为．
求的大小；
若外接圆半径为，求的周长最大值．
设，若，且满足成立，求常数的值．
参考答案
1.
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5.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，所以，
所以，故；
由知，又，
又为第二象限角，所以，，
所以
．
16.因点为中点，点，在线段上，满足，
可得，，
故；
由得，
所以，
因为，
所以，
解得；
若，
则根据平面向量数量积运算可得，
根据平面向量的加法法则可得，
所以，
所以．
17.由题意得，
令，，解得，
所以的单调递减区间为；
同理求得的单调递增区间为．
不等式在时恒成立，即不等式在上恒成立，
因为，所以，
所以，即，
所以，解得，实数的取值范围为．
18.解：证明：取棱的中点，连接，
因为为等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，
又平面，
所以平面，又平面，
故D，
又已知，，
所以平面；
连接，
由中平面，
可知为直线与平面所成的角，
因为为等边三角形，，且为的中点，
所以，
又，在中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
取中点，连接，，
在中，，
因为平面，又平面，
所以，在中，，
所以≌，
所以，
又点为中点，
所以，
同理，
所以为二面角的平面角，
设，
在中，，
在中，，
在中，，，，
由余弦定理可得，
即，
化简得到，
所以舍，
即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为，
．
19.解由余弦定理得，，
所以，
所以，
所以，即，
又因为，所以；
由正弦定理得，，
又，所以，
由可知，所以，
所以的周长
，
所以，
因为，所以，
所以
所以的周长的取值范围是
所以的周长的最大值为．
设，则，，．
在中，由正弦定理得，即．
在中，由正弦定理，即．
因为，
两式作商得，，化简得，
因为，所以，
因此，故，
所以，
，
所以．
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