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2025-2026学年广西南宁三十三中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知的内角、、的对边分别为、、，且，若，则的外接圆面积为( )
A. B. C. D.
4.已知，，若，则，的夹角为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，若，则( )
A. B. C. 或 D. 或
6.如图，在中，点是的中点．过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
7.在棱长为的正方体中，为线段上一动点，求的最小值( )
A. B. C. D.
8.已知正三棱锥的底面的边长为，直线与底面所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设正实数，满足，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为，记事件为“两人都击中”，事件为“至少人击中”，事件为“无人击中”，事件为“至多人击中”则下列说法正确的是( )
A. 事件与是互斥事件 B. 事件与是对立事件
C. 事件与相互独立 D.
11.如图，已知在直三棱柱中，为的中点，为棱上的动点，，，，，则下列结论正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 该直三棱柱的外接球的表面积为
C. 当三棱锥的外接球的半径最小时，直线与所成角的余弦值为
D. 若是棱的中点，过，，三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一组数据，，，的平均数是，方差为，则数据，，，的平均数是______，方差是______．
13.在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是______．
14.甲、乙两名射击运动员在进行射击训练，已知甲命中环，环，环的概率分别是，乙命中环，环，环的概率分别是，任意两次射击相互独立现在甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击一次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，则恰好进行轮射击后，比赛结束的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，函数．
求的单调递减区间；
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到的图象，求在上的值域．
16.本小题分
这么近，那么美，周末到河北“五一”小长假过后，为更好地提升旅游品质，邯郸东太行旅游度假区的工作人员随机选择名游客对景区进行满意度评分满分分，将评分绘制成频率分布直方图，请根据下面尚未完成的频率分布直方图解决下列问题．
根据频率分布直方图，求的值；
估计这名游客对景区满意度评分的中位数；
若工作人员从这名游客中随机抽取了名，其中评分在内的有人，评分在内的有人现从这人中随机抽取人进行个别交流，求选取的人评分均在内的概率．
17.本小题分
在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为的中点，如图所示．
证明：平面；
若为等边三角形，平面平面，，求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知在中，内角，，所对的边分别为，，，．
求角；
已知直线为的平分线，且与交于点，若，，求的周长．
19.本小题分
已知为坐标原点，对于函数称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
设函数，试求的相伴特征向量；
已知为的相伴特征向量，，求函数的对称轴．
记向量的相伴函数为，求当且，的值．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.因为向量，，
函数
，
令，解得，
即的单调递减区间为，；
由题可知，
因为，所以，
则，
即在上的值域为．
16.根据题意可知，，可得，
由，，
所以中位数在之间，设中位数为，那么，
解得，所以中位数为；
设在中抽取的人分别为，；在中抽取的人分别为，，；
从这人中随机抽取人，则样本空间为：
，，，，，，，，，，共有个基本事件，
设选取的人评分均在内为事件，
则中包含，，个基本事件，所以．
17.证明：取的中点，连接，，
因为是的中点，所以，，
又，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面．
解：取的中点，连接，
因为为等边三角形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以为原点，，所在直线分别为，轴，作，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
所以，，
由图知，二面角为锐角，
故二面角的余弦值为．
18.解：由及正弦定理，
可得，
即，
即，又因为，
所以，即，
又因为，则；
在中，由，
可得，
又因为直线为的平分线，则，
所以，
整理得，
又由余弦定理，可得，
即，
则有，
解得或舍，
所以的周长为．
19.由题意得，
所以的相伴特征向量；
，
由为的相伴特征向量，可知且，解得，
所以，
令，可得图象的对称轴为，；
因为向量的相伴函数为，
所以，
若，则，即，
根据，可得，所以，
可得．
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