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2025-2026学年吉林省四平实验中学高二（上）期初数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的虚部为( )
A. B. C. D.
2.在某次高三模拟考试后，数学老师随机抽取了名同学第一个解答题的得分情况如下：，，，，，，则这组数据的极差和方差分别为( )
A. B. C. ， D. ，
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.在中，内角、、的对边分别为，，，若，则( )
A. B. C. D.
5.正方形中，，，设，，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
8.设、为两个平面，、为两条直线，且下述四个命题：
若，则或
若，则或
若且，则
若与，所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.定义复数运算：，已知，若复数满足，则( )
A. 可以是
B. 的最小值为
C. 在复平面内对应的点不可能位于第二象限
D. 的实部是
10.有一组样本数据，，，，其中是最小值，是最大值，则( )
A. ，，，的平均数等于，，，的平均数
B. ，，，的中位数等于，，，的中位数
C. ，，，的标准差不小于，，，的标准差
D. ，，，的极差不大于，，，的极差
11.如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的是( )
A. 在点运动过程中，直线与始终为异面直线
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与直线所成的角为定值
D. 在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知中，，，则 ______．
13.某班男女生的比例为：，全班的平均身高为，若女生的平均身高为，则男生的平均身高为______．
14.已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
三角形中，角，，的对边分别为且．
求；
求三角形面积的最大值．
16.本小题分
已知，且与夹角为，求：
；
与的夹角；
若向量与平行，求实数的值．
17.本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，且，，．
证明：平面平面；
当二面角的平面角的正切值为时，求直线与平面所成的角．
18.本小题分
某市为了创建文明城市，共建美好家园，随机选取了名市民，就该城市创建的推行情况进行问卷调查，并将这人的问卷根据其满意度评分值百分制按照，，，分成组，制成如图所示频率分布直方图．
求图中的值；
求这组数据的中位数、平均数；
已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为：，若在满意度评分值为的人中按照性别采用分层抽样的方法抽取人，并分别依次进行座谈，求前人均为男生的概率．
19.本小题分
中，内角，，所对的边分别为，，已知．
求的值；
若是的角平分线．
证明：；
(ⅱ)若，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15三角形中，角，，的对边分别为且，
由正弦定理得，
则，
所以，
根据得：；
余弦定理：，
所以三角形面积为，
当且仅当时，即为等边三角形时，三角形面积取最大值．
16.解：根据题意，，
所以；
由知，又，
所以，又，
所以与的夹角为；
因为向量与平行，
所以存在实数使，
所以，解得．
17.证明：在中，由余弦定理，，
因，则，即，
由，，，得≌，
则，即，
又，，平面，于是平面，
又平面，所以平面平面；
取中点，连接，，如图，
由，，则，，
即为二面角的平面角，
由知，平面，平面，则，
又，则，解得，
而，则，，
因，可得，又，，，平面，
因此平面，又，则平面，过作于点，平面，
则，而，，平面，则平面，
因此直线与平面夹角即为，
在中，，而为锐角，
故，即直线与平面所成的角为．
18.根据题意可得，解得；
因为前几组的频率依次为，，，
所以中位数在内，且为；
平均数估计为；
因为在内的男生数与女生数的比为：，
所以男生抽人，女生抽人，
再分别依次进行座谈，则前人均为男生的概率为．
19.解：，
由正弦定理得
，
且，，则，，
；
证明：在中，由正弦定理得，
由余弦定理得，
同理在中，得，
，
是的角平分线，则，
，
又，则，，
得，
，
得
，得证；
(ⅱ)由得，则，
由式知或由角平分线定理知，
，
由(ⅰ)知，
，
，当且仅当时等号成立，
，
故BD的最大值．
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