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第一部分专题三三角函数、解三角形
第20练
正、余弦定理及其应用
A
[小题·精讲精练]
两个测量基点C与D,现测得∠BCD=70°，
∠BDC=30°，CD=108米，在点C测得塔顶A
[例题讲坛]
的仰角为80°，则塔高AB为
米.（结果
【例1】设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为
保留整数，参考数据：c0s80°≈0.174)
a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的
[思路引导]
形状为
(
)
设AB=h米，进而可得h=BCtan80°，在
A.锐角三角形
B.直角三角形
△BCD中由正弦定理求出BC,求解即可得出
C.钝角三角形
D.不确定
答案.
[思路引导]三角函数和三角形的结合，一般可
[解析]设AB=五米，因为在点C测得塔顶A
以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边
的仰角为80°，
角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的
交
灵活运用是解决此类问题的关键，
所以∠BCA=80°，在△ABC中，A5
BC
=tan80°=
[解析]法1：因为bcos C十ccos B=b·
BC,所以h=BCtan80,
作
a2+b2-c2
+c.a2+c2-b_2a2
=a,所以asin
2ab
2ac
2a
在△BCD中，因为∠BCD=70°，∠BDC=30°，
业
A=a,即sinA=1,故A=受，因此△ABC是直
所以∠CBD=180°-70°-30°=80°，
CD
BC
108
时
角三角形
由正弦定理得sin∠CBD=sin30,所以
sin 80
法2：因为bcos C+ccos B=asin A,
可
所以sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,
BC
108×号
54
1
,则BC
即sin(B+C)=sin2A,所以sinA=sin2A,
sin80°
sin 80,
沿
故sinA=1,即A=受，
2
54
54
此
因此△ABC是直角三角形
所以h=BC1an80°=sin80·tan80°=
c0s80
法3：由射影定理可得bcos C十ccos B=a,
54
线
所以a=asin A,
≈0.174≈310来.
故答案为：310.
所以sinA=1,A=受，为直角三角形。
[答案]310
[答案]B
【规律归纳】求解高度问题的关注点
【规律归纳】判断三角形形状的两种思路
1.在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角（在
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关
铅垂面上所成的角)、方向（位）角（在水平面上所
系，从而判断三角形的形状
成的角)是关键.
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，
2.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题
从而判新三角形的形状.此时要注意应用A十B
转化为平面问题。
十C=π这个结论
边化角：用角的三角
等式两边是边的齐
[小题·分层分练]
边角
函数表示边
次形式等式两边是
互化
[一层·打基础]
角的齐次形式或
法
角化边：将表达式中
知识点一正、余弦定理的基本应用
的角用边的形式表示a2+62-c2=λab
1.在△ABC中，2sinA=3sinB,AB=2AC,则
【例2】位于奥体核心的杭州世纪
cos C=
()
中心总投资近100亿元，总建筑
A
B.-
面积约53万平方米，由两座超
c
D.-1
高层双子塔和8万平方米商业
2.(多选)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,
设施构成，外形为杭州的拼音首
b,c,若b=2√3，c=3,A十3C=π，则下列结论正
字母“H”,被誉为代表新杭州风
确的是
(
貌、迎接八方来客的“杭州之
门”，如图，为测量杭州世纪中心
A.cos C=3
B.sin B=2
3
塔高AB,可以选取与塔底B在同一水平面内的
C.a=3
D.a=1
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第一部分小题考点专项练
11.BCD由33可得x1,
由x2-ax一a一10可得(x十1)(x-a-1)←<0，
专题一集合与简易逻辑
因为x<1是关于x的不等式x2一a.x-a-1<0成主的必
第1练集合
要条件，所以二次不等式的解为集合（一∞，1）的子集，
小题·分层分练
所以a十11即可，解得a≤0，故选BCD.
1.Ax可为1、2，y可为0、2，有=0、2、4，故A·B={0,2,4},
所以集合A·B的所有元素之和为6.故选A
12.解折：号知≠0.：{1a,会}=0。a+b:
2.D若x=0,则yz∈{一1,1，即有序数对(y,)有4种取
.6=0,即6=0，
法，同理若y=0,则x,z∈{一1,1》，即有序数对(x,z)有4
种取法，若z=0,则xy∈{一1,1}，即有序数对(xy)有4种
.a2=1,a=士1.
取法，综上所述，集合A满足条件“|x|十|y|十|之|=2”的
叉由集合中元素的互异性，知a≠1，
元素个数为4十4十4=12.故选D.
,.a=-1,
3.B2≤1,2-1=2二1≤0曰2x)x≤0，解得x<0成
故4202+b223=(-1)2022+02028=1.
1x≠0
故答案为：1
x≥2，所以A={xx<0成x≥2}.x2-2.x=x(x-2)>0,
答案：1
解得x<0或x>2,所以B={xx<0或x>2}.所以A三
13.解析：对于集合A,由△=4一4(9一a)<0,解得a<8:
B,B选项正确，其它选项错误.故选B.
对于集合B,由△=16一4a<0,解得a>4.
4.C集合A={xy=√/4-x}={x-2≤x≤2)：
因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集，
因为BCA,所以有0≥-2；所以-2≤a≤1.
所以a的取值范固是{aa≥8或a≤4，且a≠0}
1a+1≤21
5,C因为A=《x|log2x≤1〉={x|0故答案为：{aa≥8或a≤4且a≠0》
答案：{aa≥8或a4且a≠0》
{xe≤2}=《x|x≤ln2},所以A∩B={x0故选C
:14.解析：，M∩N={一3}a一3=一3或2a一1=一3，解得
6.ABA={xx2-2x-3=0,x∈R},.A={-1,3},
a=0或a=-1.
AUB=A,,B二A,①当B=A,即B={一1,3}时，得：
当a=0时，M={0,1,一3}，N={-3,-1,1》,
2(a+1)=2,8二2=-3，无解.②当B=0,即4=
得M∩N={1,一3}，不符合题意，含去；
当a=-1时，M={0,1,-3},N={-4,-3,2},得M∩
4a+1)-4aa-2)=16如+4<03a<-, 当B=
N={-3},
MUN={-4,-3,0,1,2}.
{-1},即16a十4=0，a-2a-2十a-2=0,无解，①当B=
故答案为：一1；{一4，一3,0,1,2}.
{3),即16a+4=0,9a+6a+6十a-2=0→a=-1
.所以a
答案：一1《一4，一3,0,1,2}
15.解析：集合A表示直线x一y=1上点的集合，集合B表示
的取值范国为(- ，一]，故选AB,
圆(x一2)2十(y十3)2=9上点的集合.
7.解析：U={0,1,2,3},A={1,2},
圆(x一2)2十(y十3)2=9的圆心坐标为(2，一3)，半径为
A={0,3.∴0,3是方程x2十m.x=0的两个实根，
3,点(2，-3)到直线x-y=1的距离为2+3-1L
,0十3=-m,即m=一3.
W√1+(-1)
答案：一3
2√2<3，
8.Dx2-4x-5≥0，.x≤-1或x≥5，
所以直线x一y=1与圆(x-2)2+(y十3)2=9相交，
A={x|x≤-1或x≥5}，
所以A∩B共有2个元素，所以A∩B的子集个数为
又AUB=R.a二3≤1，解得1≤4≤2.故选D.
22=4.
1a十4≥5
故答案为：4
9.A依题意，B={x2π+于答案：4
{2x+要16.C由题意知10g2k>4,所以k>2,即k>16,故选C
17.AB如图所示，(a十b十c+x)表示H
而A={x2kx+吾周一开车上班的职工人致，(b十d十
e十x)表示周二开车上班的职工人
所以AnB={x2x+年数，(c十e十f十x)表示周三开车上
班的职工人数，x表示这三天都开车
=(2x+年，2m十子），k∈乙故选A
上班的职工人数
10.B当a=1时，由(a,b)∈{(x,y)|y2=x}知，b=1,又b∈
(a+b+c十x=14,
{1,2,3,4》,所以b=1,不满足集合元素的互异性：当=2
则
b+d+e+x=10,
时，由(a,b)∈{(x,y)|y=x〉知，b=2,又b∈
c十e十fx=8,
{1,2,3,4},无解；当4=3时，由(a,b)E
a+8+c+d+e+f+x=20,
{(x,y)y2=x}知，b=3,又6∈{1,2,3,4}，无解：当a=
4时，由(a,b)∈{(x,y)|y2=x}知，b2=4,又b∈
得4计0
《1,2,3,4},所以b=2,所以a一b=2:综上，则a一b=2.
即b十c十e十2x=12,当b==e=0时，x取得最大值，为
故选B.
6,则这三天都开车上班的职工人数至多是6.故选AB.
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