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山西省临汾市安泽县部分学校2025年中考第二次模拟数学试卷
一、单选题
1．计算（﹣2）×3的结果是（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5
2．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．在下列山西剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．根据某网站统计数据，年2月8日．QucsLMobile数据显示，DeepSeek在1月日的日活跃用户数首次超越豆包，随后在2月1日突破万大关，成为史上最快达成这一里程碑的应用．其中万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图①是某相框支架的实物图，其示意图如图②所示，已知．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．《百骏图》是中国十大传世名画之一，是意大利籍清代宫廷画家郎世宁的作品，其图共绘有100匹骏马，姿势各异，或立、或奔、或跪、或卧，可谓曲尽骏马之态．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.8m，宽为0.9m的矩形，装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为xm，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
7．老师让小武同学随意配制两种溶液，实验室现有氯化钠、硝酸钾、硝酸钠、氯化铵这四种溶质，若在配制溶液时需将所有溶质溶解，则小武同学配制的两种溶液恰为氯化钠溶液和硝酸钠溶液的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．某市出租车的计费标准如图（不足1km按1km计算），一天，张叔叔乘坐出租车去上班．设行驶里程为xkm，所付的费用为y元．则下列说法错误的是（ ）
A．当行驶里程为2.8km时，所付的费用为10元
B．当时，
C．若支付了25元，则行驶的里程数可能是8.8km
D．当行驶里程为3.5km时，所付的费用为11元
10．如图，在正六边形中，连接，，以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算： ．
12．善，从言从羊，本义“吉祥”．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重．舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“善”字的笔画“．”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若，则的长为 cm．
13．某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源”为主题的直播，现场讲解山西的美食文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到4360，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率．若设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为，则可列方程 ．
14．如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C，交平行四边形的对角线于点，点A在x轴的正半轴上．已知平行四边形的面积是24，则点B的坐标为 ．
15．如图，在中，，D为的中点，将直角三角形纸片的直角顶点放置在点D处，点E在的延长线上，点F在上，且．若，，则的长为 ．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．如图，在中，点在边上，．
(1)实践与操作：利用尺规作图，在边上找点E，使得；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)在（1）的条件下，若，，，求的长．
18．传承爱国情怀，讴歌百年党史，某校开展了“学党史，知党恩，跟党走”的知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（100分制，80分及以上为优秀）进行整理．描述和分析（成绩用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．）．下面给出了部分信息：
七年级抽取的学生竞赛成绩在C组的数据是：80，84，85，90，95，98．
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组的数据是：80，82，84，86，86，90，94，98．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计量
年级 平均数 众数 中位数 满分率
七年级 82 100 25%
八年级 82 88 35%
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：_______，_______；
(2)根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“党史”掌握较好 请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校七、八年级共有1400人参加此次竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀的学生人数是多少．
19．为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，爱知中学举办了以“争做时代先锋少年”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．张老师去商店购买甲．乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本个，乙种笔记本个，共用元，且买个甲种笔记本比买个乙种笔记本少花元．
(1)求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？
(2)张老师准备购买甲、乙两种笔记本共个，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的2倍，因张老师购买的数量多，实际付款时按原价优惠付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？
20．在太原市迎泽公园内，矗立着一座层台耸翠，飞阁流丹的巍峨建筑——藏经楼．这座于世纪年代由晋中市太谷县整体迁移而来的楼阁，在近半个世纪的时间里，一直是太原城的一处标志性景观．某数学课外活动小组开展了“测量藏经楼的高度”的课题活动，具体方案和数据如下表：

课题 测量藏经楼的高度
测量方案 活动小组在距坡底C处5m的E处测得藏经楼顶A的仰角为，在坡底C处测得藏经楼顶A的仰角为．点A，B，C，E都在同一平面内．
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
仰角的度数
仰角的度数
参考数据 CE的坡度，，，．
……
请你帮忙求出藏经楼的高度．（结果精确到）
21．阅读与思考
下面是奋进小组在模拟练习过程中对已有练习试题进行的研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务．
背景：翻阅资料了解到一个新名词“等垂四边形”．定义：如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫做等垂四边形．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为等垂四边形．
任务：
(1)如图2．如图3，已知四边形为等垂四边形，，．
在图2中，若，，则的度数为_______；
在图3中，若，分别平分，，请判断四边形是否为等垂四边形，并说明理由．
(2)如图4，已知锐角，请你在图中作等垂四边形．（保留作图痕迹，不写作法）
22．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计高架桥的限高及车道宽方案？
素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，抛物线跨度，顶点离地面，桥的两端点M，Q距离地面．
素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，每条机动车道宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）
素材3 如图4，由于城市道路中行人安全的需求，道路规划部门重拟新方案：非机动车道的宽定为，在非机动车道左侧增加一条人行道，中间绿化带宽度不变，每条机动车道宽均不小于且相等，机动车道一的最低高度不小于．
问题解决
任务1 确定模型 在图2中建立适当的坐标系，求得抛物线的函数表达式．
任务2 探究原计划限高 在图3中标注好数据，计算确定机动车道一的限高高度．
任务3 拟定新方案中每条机动车道的最大宽度 在图4中做上标注，计算确定新方案中每条机动车道的最大宽度．（，结果精确到）
23．如图，菱形中，对角线交于点O，将绕点C逆时针旋转得到，其中点A，D的对应点分别为点M，N，设旋转角为．
(1)当时：
①当点M落在上时，的度数为______；
②如图2，当时， 交于点G，判断四边形的形状并说明理由．
(2)当时，连接．若，，当与菱形的边平行时，请直接写出的长度．
参考答案
1．A
【详解】根据有理数的乘法法则进行计算，原式=-(2×3)=-6.
2．C
解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C
3．C
解：万．
故选：C．
4．D
解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的；
故选：D
5．B
解：，
，
，
，
，
故选：B．
6．C
解：由题意得，，
故选：C．
7．A
解：分别用表示氯化钠、硝酸钾、硝酸钠、氯化铵这四种溶质，列表把所有等可能结果表示如下，
共有12种等可能结果，其中是氯化钠溶液和硝酸钠溶液的结果为，共2种，
∴小武同学配制的两种溶液恰为氯化钠溶液和硝酸钠溶液的概率是，
故选：A ．
8．A
解：连接，如图：
由作图痕迹可知，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
在等腰中，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，则
；
故选：A．
9．D
【详解】A．当行驶里程为时，，与原选项相符，正确；
B．当时，，即，与原选项相符，正确；
C．当时，代入，解得，即实际里程，与原选项相符，正确；
D．当行驶里程为时，，与原选项不符，不正确．
故选：D．
10．A
解：如图，连接，
∵六边形为正六边形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
则，
故选：A．
11．
解：
．
故答案为： ．
12．
解：∵四边形为正方形，
∴，
又∵，
∴,
∴,
∴四边形是矩形，
∵，
∵，
∴．
故答案为：．
13．
【详解】∵直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到4360，
∴第1小时有人购买，第2小时有人购买，
可得：．
故答案为：．
14．
解：如图，过点C作轴于点E，连接，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，
∵平行四边形的面积是24，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点C的坐标为，点B的纵坐标为，，
∴点B的坐标为，
代入，得：，
解得：或（舍去），
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴点B的坐标为．
故答案为：
15．
解：如图，过点D分别作的垂线，垂足分别为，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴．
故答案为：．
16．（1）5；（2）
（1）解：原式；
（2）解：原式
．
17．(1)见解析
(2)3
（1）解：如图，点E即为所求；
（2）∵，
∴．
∵，，，
∴．
解得．
答：的长为3．
18．(1)82，100
(2)八年级，见解析
(3)910人
（1）解：七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为（分），
因此中位数是82分，即，
八年级学生竞赛成绩的中位数是88，
因此在88分以上的应有10人，可得100分的有（人），
因此竞赛成绩的众数为100，即；
故答案为：82，100；
（2）解：八年级学生对“党史”掌握较好．
理由如下：虽然七年级和八年级学生的平均分和众数相同，但是八年级学生的中位数和满分率都高于七年级，所以八年级学生对“党史”掌握较好；
（3）解：七年级抽取的学生成绩优秀的人数为（人），
八年级抽取的学生成绩优秀的人数为（人），
则优秀率为，
（人），
答：参加此次活动成绩优秀的学生人数约为910人．
19．(1)甲种单价5元，乙种单价3元
(2)购买个甲种笔记本，购买个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是元
（1）解：设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，
根据题意得
解得，
答：甲种笔记本的单价是5元，乙种笔记本的单价是3元；
（2）设购买m个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本，
∵甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的2倍，
∴，
解得，
设所需费用为元，
∴，
∵，
∴w随m的增大而增大，
又m为正整数，
∴当时，w最小，最小值元，
此时本，
答：购买个甲种笔记本，购买个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是元．
20．
解：过点E作于点G，作于点F．
由题意可得，，，
则四边形是矩形．
∴，．
∵的坡度，
∴设，，
∵在中，，
∴，即，
解得（负值舍去）．
∴，．
设．
∵在中，，，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵在中，，，
即，
∴．
解得．
答：藏经楼的高度约为．
21．(1)；四边形是等垂四边形，见解析
(2)见解析
（1）解： ；
，，
，
，
，
，
故答案为：；
四边形是等垂四边形，
理由如下：
，
，
分别平分，，
，，
，
，
，即．
又，
四边形是等垂四边形．
（2）如图，四边形即为所求作的等垂四边形．
过A点，作，与交于D点．
22．任务一：（答案不唯一）；任务二：；任务三：
解：任务一：如图，以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
由题意得，顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
由图可得，，，
，，
代入到，得，
解得：，
抛物线的函数表达式为（答案不唯一）．
任务二：
如图，
由题意得，，
，
点在任务一中所在坐标系的横坐标为，
当时，，
，
答：机动车道一的限高高度为．
任务三：
如图，
由任务二的数据可得，，
由题意得，当时，每条机动车道有最大宽度，
令，则，
解得：，（不符合题意，舍去），
，
，
每条机动车道的最大宽度为．
答：每条机动车道的最大宽度为．
23．(1)①；②四边形为菱形，理由见解析
(2)或10或
【详解】（1）①如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴垂直平分，且M点在上，,
∴，
又∵旋转至，
，
，
是等边三角形，
，
即旋转角，
故答案为：．
②四边形为菱形．理由如下：
∵四边形为菱形，
∴．
由旋转的性质得：，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形为菱形．
（2）①如图1，当时，连接．
∵四边形是菱形，
∴．
由旋转的性质得：，，
∴，
∴四边形是菱形．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
②如图2，当时，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴N、C、D三点共线，
∴；
③如图3，当，点M落在上时，
∵将绕点C逆时针旋转得到，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
，
又，
，
又，
∴，
∴．
综上所述，的长度为或10或．

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