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第四章指数函数与对数函数真题演练卷-高中数学人教A版（2019）必修第一册
一．选择题（共8小题）
1．（2025 吴忠模拟）设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 朝阳区二模）已知，则（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
3．（2024秋 威海期末）（　　）
A． B． C．3﹣π D．π﹣3
4．（2024秋 南宁期末）若函数f（x）＝ax+b只有一个零点2，那么函数g（x）＝bx2﹣ax的零点是（　　）
A．0，2 B．0， C．0， D．2，
5．（2024秋 随州期末）若函数f（x）＝a|2x﹣4|（a＞0，a≠1），满足f（1），则f（x）的单调递减区间是（　　）
A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．[﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]
6．（2024秋 黑龙江期末）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 0 1 2 3
f（x） 3.1 0.1 ﹣0.9 ﹣3
那么函数f（x）一定存在零点的区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）
7．（2024秋 斗门区校级期末）若x1，x2是关于的方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝的两个根，且x1+x2＝1﹣x1x2，则m的值为（　　）
A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．2 D．1
8．（2025春 汨罗市校级期末）若函数f（x），若关于x的方程f2（x）+（1﹣a）f（x）﹣a＝0恰有两个不同实数根，则实数a的取值范围为（　　）
A．（0，3） B．[1，3） C．（1，3） D．[1，3]
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 长沙期末）下列不等式中正确的是（　　）
A．1.20.3＜1.30.3
B．0.20.3＞0.20.2
C．log0.31.2＞log0.31.3
D．log1.20.3＞log0.20.3
（多选）10．（2023秋 桥西区校级期中）已知函数f（x）＝ln（2x+1）﹣ln（2x﹣1），则（　　）
A．f（x）的定义域为（0，+∞）
B．f（x）的值域为（0，+∞）
C．f（x）为减函数
D．f（x）为奇函数
（多选）11．（2023秋 兴化市期末）已知函数f（x），下面说法正确的有（　　）
A．f（x）图象关于原点对称
B．f（x）的图象关于y轴对称
C．f（x）的值域为（﹣1，1）
D． x1，x2∈R，且x1≠x2，0恒成立
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 沈阳期中）函数y＝log2（2cosx﹣1）的定义域为　 　 ．
13．（2025春 宝山区校级期末）已知函数f（x）＝x2+6x+c有零点，但不能用二分法求解，则实数c的值是 　 　 ．
14．（2024秋 浦东新区校级期末）设已知函数f（x），若函数y＝g（x）的图像与函数y＝f﹣1（x﹣1）的图像关于直线y＝x对称，则g（11）的值是 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 渭南期末）（1）已知a+a﹣1＝3，求的值；
（2）求值：eln2+（lg5）2+lg5 lg2+lg20．
16．（2024秋 长沙期末）已知关于x的函数y＝（m+6）x2+2（m﹣1）x+m+1恒有零点．
（1）求m的范围；
（2）若函数有两个不同零点，且其倒数之和为﹣4，求m的值．
17．（2024秋 凉州区期末）若函数y＝loga（x+a）（a＞0，a≠1）的图象过点（﹣1，0）．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数的定义域．
18．（2023秋 海拉尔区校级期末）某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动，活动时间不少于15小时，也不超过40小时，设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f（x）元，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g（x）元．
（1）写出f（x）与g（x）的解析式；
（2）选择哪家比较合算？请说明理由．
19．（2024春 滦南县期中）某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t（单位：百万元），可增加销售额约为﹣t2+5t（单位：百万元）（0≤t≤3）．
（1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
（2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x（单位：百万元），可增加的销售额约为x3+x2+3x（单位：百万元）．
请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．（收益＝销售额﹣投入）
第四章指数函数与对数函数真题演练卷-高中数学人教A版（2019）必修第一册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D D B B B D B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AC ABC AC
一．选择题（共8小题）
1．（2025 吴忠模拟）设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c＝M，则a，b，c
代入到B中，左边，
而右边，
左边等于右边，B正确；
代入到A、C、D中不相等．
故选：B．
2．（2025 朝阳区二模）已知，则（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【解答】解：，b＝0.50.5＜20.5＝c，
综上，b＜c＜a，
故选：D．
3．（2024秋 威海期末）（　　）
A． B． C．3﹣π D．π﹣3
【解答】解：π﹣3π﹣3．
故选：D．
4．（2024秋 南宁期末）若函数f（x）＝ax+b只有一个零点2，那么函数g（x）＝bx2﹣ax的零点是（　　）
A．0，2 B．0， C．0， D．2，
【解答】解：∵函数f（x）＝ax+b只有一个零点为2，
∴2a+b＝0，b＝﹣2a，
∴g（x）＝bx2﹣ax＝﹣2ax2﹣ax＝﹣ax（2x+1）＝0，
解得：x＝0，或x，
故选：B．
5．（2024秋 随州期末）若函数f（x）＝a|2x﹣4|（a＞0，a≠1），满足f（1），则f（x）的单调递减区间是（　　）
A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．[﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]
【解答】解：由f（1），得a2，于是a，因此f（x）＝（）|2x﹣4|．
因为g（x）＝|2x﹣4|在[2，+∞）上单调递增，
所以f（x）的单调递减区间是[2，+∞）．
故选：B．
6．（2024秋 黑龙江期末）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 0 1 2 3
f（x） 3.1 0.1 ﹣0.9 ﹣3
那么函数f（x）一定存在零点的区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）
【解答】解：由所给的表格可得f（1）＝0.1＞0，f（2）＝﹣0.9＜0，
故函数f（x）一定存在零点的区间是（1，2），
故选：B．
7．（2024秋 斗门区校级期末）若x1，x2是关于的方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝的两个根，且x1+x2＝1﹣x1x2，则m的值为（　　）
A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．2 D．1
【解答】解：∵x1，x2是关于的方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝的两个根，
∴x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣m+1且Δ＝（2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）≥0，
可得m≥﹣1，而x1+x2＝1﹣x1x2，
∴2m＝1﹣（m2﹣m﹣1） m2+m﹣2＝0，
解得m＝﹣2或1，
综上，m的值为：1．
故选：D．
8．（2025春 汨罗市校级期末）若函数f（x），若关于x的方程f2（x）+（1﹣a）f（x）﹣a＝0恰有两个不同实数根，则实数a的取值范围为（　　）
A．（0，3） B．[1，3） C．（1，3） D．[1，3]
【解答】解：由题意可得：[f（x）﹣a][f（x）+1]＝0，∴f（x）＝a 或f（x）＝﹣1，
绘制函数f（x）的图象如图所示，
观察可得，f（x）＝﹣1没有实数根，
则原问题转化为方程f（x）＝a有两个不同的实数根，
注意到函数的最大值为f（2）＝3，
故1≤a＜3，即实数a的取值范围是[1，3）．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 长沙期末）下列不等式中正确的是（　　）
A．1.20.3＜1.30.3
B．0.20.3＞0.20.2
C．log0.31.2＞log0.31.3
D．log1.20.3＞log0.20.3
【解答】解：对于A，∵1.2＜1.3，∴1.20.3＜1.30.3，故A正确；
对于B，∵y＝0.2x是减函数，∴0.20.3＜0.20.2，故B错误；
对于C，∵y＝log0.3x是减函数，∴log0.31.2＞log0.31.3，故C正确；
对于D，∵log1.20.3＜log1.21＝0，log0.20.3＞log0.21＝0，
∴log1.20.3＜log0.20.3，故D错误．
故选：AC．
（多选）10．（2023秋 桥西区校级期中）已知函数f（x）＝ln（2x+1）﹣ln（2x﹣1），则（　　）
A．f（x）的定义域为（0，+∞）
B．f（x）的值域为（0，+∞）
C．f（x）为减函数
D．f（x）为奇函数
【解答】解：解2x﹣1＞0得，x＞0，∴f（x）的定义域为（0，+∞），∴A正确；
，，∴，∴f（x）的值域为（0，+∞），∴B正确；
，x增大时，2x﹣1增大，减小，即f（x）减小，∴f（x）是减函数，∴C正确；
f（x）的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，∴f（x）不是奇函数，∴D错误．
故选：ABC．
（多选）11．（2023秋 兴化市期末）已知函数f（x），下面说法正确的有（　　）
A．f（x）图象关于原点对称
B．f（x）的图象关于y轴对称
C．f（x）的值域为（﹣1，1）
D． x1，x2∈R，且x1≠x2，0恒成立
【解答】解：A．函数的定义域为R，f（﹣x）f（x），即f（x）是奇函数，图象关于原点对称，故A正确，B错误．
C．f（x）1，
∵2x＞0，∴1+2x＞1，01，02，﹣20，﹣1＜11，
即﹣1＜f（x）＜1，即函数f（x）的值域为（﹣1，1），故C正确，
D．f（x）1，
∵y＝1+2x为增函数，y为减函数，y为增函数，∴y＝1为增函数，
则 x1，x2∈R，且x1≠x2，0恒成立，故D错误，
故正确的是AC，
故选：AC．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 沈阳期中）函数y＝log2（2cosx﹣1）的定义域为　{x|2kπ＜x2kπ，k∈Z}　 ．
【解答】解：∵y＝log2（2cosx﹣1），∴2cosx﹣1＞0，2kπ＜x2kπ，k∈Z
函数y＝log2（2cosx﹣1）的定义域为 {x|2kπ＜x2kπ，k∈Z}
故答案为：{x|2kπ＜x2kπ，k∈Z}．
13．（2025春 宝山区校级期末）已知函数f（x）＝x2+6x+c有零点，但不能用二分法求解，则实数c的值是 　9　 ．
【解答】解：f（x）＝x2+6x+c有零点，但不能用二分法求出，
则x2+6x+c＝0，有两个相等的实数根，
则Δ＝36﹣4c＝0，解得c＝9，
故答案为：9．
14．（2024秋 浦东新区校级期末）设已知函数f（x），若函数y＝g（x）的图像与函数y＝f﹣1（x﹣1）的图像关于直线y＝x对称，则g（11）的值是 　　 ．
【解答】解：函数f（x），
∵函数y＝g（x）的图像与函数y＝f﹣1（x﹣1）的图像关于直线y＝x对称，
∴函数y＝g（x）的图像与函数y＝f﹣1（x﹣1）互为反函数，
∴函数y＝g（x）﹣1的图像与函数y＝f﹣1（x）互为反函数，
∴g（x）﹣1＝f（x），∴g（x）＝f（x）+1
∴g（11）＝f（11）+11．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 渭南期末）（1）已知a+a﹣1＝3，求的值；
（2）求值：eln2+（lg5）2+lg5 lg2+lg20．
【解答】解：（1）由a+a﹣1＝3，得a＞0，，
所以，
所以．
（2）eln2+（lg5）2+lg5 lg2+lg20＝2+lg5 （lg5+lg2）+lg20
＝2+lg5+lg20＝2+lg（5×20）＝2+lg100＝4．
16．（2024秋 长沙期末）已知关于x的函数y＝（m+6）x2+2（m﹣1）x+m+1恒有零点．
（1）求m的范围；
（2）若函数有两个不同零点，且其倒数之和为﹣4，求m的值．
【解答】解：（1）当m+6＝0时，m＝﹣6，函数为y＝﹣14x﹣5显然有零点．
当m+6≠0时，m≠﹣6，由Δ＝4（m﹣1）2﹣4（m+6）（m+1）＝﹣36m﹣20≥0，得m．
∴当m且m≠﹣6时，二次函数有零点．
综上可得，m，即m的范围为（﹣∞，]．
（2）设x1，x2是函数的两个零点，则有 x1+x2，x1x2．
∵4，即4，
∴4，解得m＝﹣3．
且当m＝﹣3时，m+6≠0，Δ＞0，符合题意，
∴m的值为﹣3．
17．（2024秋 凉州区期末）若函数y＝loga（x+a）（a＞0，a≠1）的图象过点（﹣1，0）．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数的定义域．
【解答】解：将（﹣1，0）代入y＝loga（x+a）（a＞0，a≠1）中，
有0＝loga（﹣1+a），
则﹣1+a＝1．
∴a＝2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知y＝log2（x+2），x+2＞0，解得x＞﹣2．
∴函数的定义域为{x|x＞﹣2}．
18．（2023秋 海拉尔区校级期末）某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动，活动时间不少于15小时，也不超过40小时，设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f（x）元，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g（x）元．
（1）写出f（x）与g（x）的解析式；
（2）选择哪家比较合算？请说明理由．
【解答】解：（1）由题设有f（x）＝5x（15≤x≤40）．
g（x）．
（2）令5x＝90时，解得x＝18∈[15，30]；令5x＝30+2x，解得x＝10 （30，40]，
所以：当15≤x＜18时，f（x）＜g（x），选甲家比较合算；
当x＝18时，f（x）＝g（x），两家一样合算；
当18＜x≤40时，f（x）＞g（x），选乙家比较合算．
19．（2024春 滦南县期中）某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t（单位：百万元），可增加销售额约为﹣t2+5t（单位：百万元）（0≤t≤3）．
（1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
（2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x（单位：百万元），可增加的销售额约为x3+x2+3x（单位：百万元）．
请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．（收益＝销售额﹣投入）
【解答】解：（1）设投入t（t百万元）的广告费后增加的收益为f（t）（百万元），
则有f（t）＝（﹣t2+5t）﹣t＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4（0≤t≤3），
所以当t＝2百万元时，f（t）取得最大值4百万元．
即投入2百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大．
（2）设用技术改造的资金为x（百万元），
则用于广告促销的资金为（3﹣x）（百万元），
则增加的收益为g（x）＝（x3+x2+3x）+[﹣（3﹣x）2+5（3﹣x）]﹣3x3+4x+3（0≤x≤3），
所以g′（x）＝﹣x2+4．令g′（x）＝0，
解得x＝2，或x＝﹣2（舍去）．
又当0≤x＜2时，g′（x）＞0，
当2＜x≤3时，g′（x）＜0．
故g（x）在[0，2]上是增函数，在[2，3]上是减函数．
所以当x＝2时，g（x）取最大值，
即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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