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期中（第13-15章）重难点检测卷-2025-2026学年数学八年级上册人教版（2024）
一、单选题
1．下列新能源车标中，不是轴对称图形的是（ ）
A．蔚来汽车 B．理想汽车
C．小鹏汽车 D．哪吒汽车
2．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
C．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等
D．三角形的一个外角大于任何一个内角
3．如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点分别叠放在长方形的两条对边上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，和是的外角．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，是边上的中线，点是边上的动点，则的最小值为（　　）
A． B． C．5 D．6
7．如图，已知五边形中，，，则五边形的面积为（ ）
A．8 B．16 C．12 D．10
8．在一条笔直的公路上有7个村庄依次为A、B、C、D、E、F、G，其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，，而村庄G正好是的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（ ）
A．A处 B．C处 C．G处 D．E处
9．如图，在中，，、分别是边、上的点，要使，下列补充条件中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下面是黑板上出示的尺规作图题，下列各符号代表的内容正确的是（ ）
如图所示，已知，求作：，使．
作法：
（1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点P，Q；
（2）作射线，并以点E为圆心，以◎长为半径画弧交于点D；
（3）以点D为圆心，以⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；
（4）作即为所求作的角．
A．●表示点E B．◎表示 C．⊙表示 D． 表示射线
二、填空题
11．在中，，高、所在的直线相交于点，则 ．
12．指示标志在生活中随处可见，无论是带箭头还是没有箭头，导向标志总是给人们的日常生活带来便利．如图所示的“箭头”图形中，，，则图中的度数是 ．
13．如图，小颖要测量池塘A，B两端的距离，她设计了一个测量方案：先在平地上取C，D两点，与相交于点O，且测得，，的周长为，则A，B两端的距离为
14．如图，已知于点，于点，且，，，则 ．
15．如图，已知，，，、、三点在一条直线上．若，，则的度数为 ．
16．如图，在中，的垂直平分线分别交，于D，E两点，且，，则的周长为 ．
17．如图，将一张长方形纸片如图（1）折叠，使边落在边上，折痕为，如图（2）：再将折叠，使点A与点B重合，折痕为，如图（3）．如果，那么长方形原来的长 cm．
三、解答题
18．如图，在中，是的平分线，是边上的高，且，，求和的度数．
19．如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长度．
20．如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为1，的顶点坐标分别为，，．在图中画出关于轴对称的（点、、的对应点分别为点、、），并写出点的坐标．
21．如图，在四边形中，，是上的一点，，连接、，且．求证：．
22．如图，，，于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：平分．
(2)若，，求的长．
23．小明将两个大小不同的含角的直角三角板按如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），其中，，，B、C、E三点在同一条直线上．
(1)连接．请分别直接写出线段与的数量关系和位置关系：___________，___________；
(2)若不动，将绕着点A旋转一个角度，与交于点O，如图3，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
24．和是全等的等腰直角三角形，、、，点E是上一动点，点F在线段的延长线上，当时，交于点G，连接．
(1)求证：．
(2)当点E运动到使的位置时，判断的形状，并说明理由．
25．已知，平面内线段，点C，M，N，满足：，，，连接，D为的中点，连接、．
(1)如图1，当点C在线段上时，直接写出与的位置关系．
(2)如图2，当点C在线段上方时，若，求的度数．
(3)线段从图2的位置出发，绕着点A顺时针转到线段下方，且使线段同时落在和的内部，在运动的过程中，求证①，②．
26．已知直线分别交直线，直线于点E，点F，射线平分，射线平分，．
(1)如图1，求证：；
(2)点P为射线上一动点，从点F出发，运动到E，A，P三点共线时停止，的角平分线为，的角平分线交直线于点Q．
①如图2，当时，求的度数；
②试探究与的数量关系，并说明理由．
《期中（第13-15章）重难点检测卷-2025-2026学年数学八年级上册人教版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C B C A B B A D
1．B
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．.是轴对称图形，不符合题意；
B．不是轴对称图形，符合题意；
C．是轴对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不符合题意．
故选B．
2．D
【分析】本题考查了判断命题真假，根据平行线的判定、平行公理、补角的性质以及三角形外角的性质逐一分析选项，判断命题的真假即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A、同旁内角互补，两直线平行，这是平行线的判定定理之一，正确，是真命题，故不符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，符合平行公理，正确，是真命题，故不符合题意；
C、若两个角相等，则它们的补角均为减去该角，必然相等，正确，是真命题，故不符合题意；
D、三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和，因此外角仅大于不相邻的任意一个内角，而非“任何一个内角”（如相邻的内角可能更大），此命题未限定条件，错误，是假命题，符合题意；
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图：
，
由题意可得：，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了坐标系中对称的点的坐标变化规律，理解横纵坐标的变化规律是解题关键．根据关于y轴对称点的坐标特征：横坐标取相反数，纵坐标不变即可求解。
【详解】解：关于轴的对称点的坐标为：，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了邻补角的性质，三角形的外角性质，由邻补角的性质可得，再根据三角形外角性质解答即可求解，掌握三角形的外角性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：．
6．A
【分析】本题考查了三角形中线的性质（中点分三角形为面积相等的两部分）、点到直线的最短距离（垂线段）及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用中点性质得出的面积，再通过面积公式直接求点D到的垂线段长度．
由D是中点，得利用的面积公式（以为底，点D到的距离为高），列方程求解得该距离；此距离即为的最小值．
【详解】的最小值为点D到边的垂线段长度（垂线段最短）．
∵是边上的中线，
∴D为中点，
∴与的面积相等（等底同高），且均为面积的一半．
已知，则．
又∵，（h为点D到的距离），
即，解得：，
∴的最小值为．
故选：A．
7．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算．可延长至F，使，利用可证明，连接，再利用证明，可将五边形的面积转化为两个的面积，进而求解即可．
【详解】解：延长至F，使，连接，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴五边形的面积是：．
故选：B．
8．B
【分析】本题考查的是比较线段的长短，先根据题意求出各点间的距离并在图上表示出来，再分别计算出各村到选项中所给的村的路程和，再比较出其大小即可．
【详解】解：A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，，
∴
又村庄G正好是的中点，
∴，
∴各村间的距离如图所示：
各村到A村的路程和为：，
各村到E村的路程和为：，
各村到C村的路程和为：；
各村到G村的路程和为：．
，
故活动中心应建在C村．
故选B．
9．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据三角形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：由题意可知，，，，
A、若，无法利用“” 证明，本选项符合题意；
B、若，则，可利用“”证明，本选项不符合题意；
C、若，可利用“”证明，本选项不符合题意；
D、若，可利用“” 证明，本选项不符合题意；
故选：A．
10．D
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一个角等于已知角）．利用作一个角等于已知角的方法对各选项进行判断．
【详解】解：●表示点O，◎表示，⊙表示， 表示射线．
故选：D．
11．或
【分析】本题考查的是三角形内角和定理以及对顶角相等，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
本题中因为“高、所在的直线相交于点O，且点E、F不与点B、C重合”排除了三角形是直角三角形的可能，所以要分两种情况讨论，当交点在三角形内部时，当交点在三角形外部时，求证即可．
【详解】解：本题要分两种情况讨论如图：
①当交点在三角形内部时（如图1），
在四边形中，，
根据四边形内角和等于得，．
故．
②当交点在三角形外部时（如图2），
在中，，
故，
∵，
在中，，
∴，即．
故答案为：或．
12．
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是构造辅助线．
延长交于，延长交于，过作，然后利用平行线的性质得到角的关系，再利用三角形外角的性质求出角的度数即可．
【详解】解：如图，延长交于，延长交于，过作，
，
，
，，
，
，
，，
，
同理：，
．
故答案为：．
13．40
【分析】证明，得到，由的周长为，可得，即，计算求出的长，进而可得结果．
本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
【详解】解：，，
，
即，
在和中，
，
，
，
的周长为，
，
即
故答案为：
14．/45度
【分析】本题考查了角平分线的判定定理，三角形的外角的性质，掌握知识点是解题的关键．
先证明是的平分线，可得，再根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，，且，
∴是的平分线，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据证明，再根据全等三角形的性质得出，最后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行导角计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16．13
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解决问题的关键．首先根据垂直平分线的性质得到，然后根据三角形周长公式求解即可．
【详解】解：∵边的垂直平分线分别交，于D、E两点，
∴，
∴的周长为 ，
故答案为：13．
17．10
【分析】此题考查了折叠的性质以及矩形的性质，掌握折叠的性质是关键．
根据线段的和差以及线段中点的性质即可求解．
【详解】解：
由图可知，，
∴，
故答案为：10．
18．；
【分析】本题考查了三角形的内角和以及三角形内角与外角的关系．先由三角形内角与外角的关系可求，再根据三角形的内角和可求，最后由直角三角形可求．
【详解】解：∵，
∴．
∵是角平分线，
∴，
∴；
∵是高，
∴，
∴．
19．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、等角的余角相等、三角形面积计算公式，解题关键是熟练掌握角平分线的定义．
（1）先根据角平分线的定义得到，再根据等角的余角相等得到，然后利用得到；
（2）利用等面积法计算的长．
【详解】（1）证明：平分，
，
是的高，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：，
，，
，
．
即的长度为．
20．见解析，
【分析】本题考查了作图-轴对称变换，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数分别作出点A、B、C关于x轴的对应点D、E、F，顺次连接即可，然后根据点D在坐标系中的位置，直接写出坐标即可．
【详解】解：关于x轴对称的，如图即为所求；
由图可知，．
21．见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，可得，即可求证．
【详解】证明：∵，
∴为直角三角形，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
22．(1)见解析
(2)15
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）通过证明，再根据其性质得出，再根据角平分线的判定进行证明即可；
（2）先证明，再根据全等三角形的性质及线段的和差进行求解即可．
【详解】（1）证明：，，
，
，，
，
在与中，，
，
，
平分；
（2）由（1）知平分，
，
在和中，
，
，
，
由（1）知，
，
．
23．(1)，
(2)成立，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先证明，再根据全等三角形的性质得出与的数量关系，再根据三角形内角和为180度，进而推出与的位置关系；
（2）同（1）即可解答．
【详解】（1）解：，
，即，
在和中，
∵
，
，，
，
在中，，
，
在中，，
．
（2）解：成立；理由如下：
，
，即，
在和中，
，
，，
，
在中，，
，
在中，，
．
24．(1)详见解析
(2)是等腰直角三角形，详见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）由等腰直角三角形的性质可得，再结合即可证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得，由等边对等角以及已知条件可得，即，进而得到即可解答．
【详解】（1）证明：∵和是全等的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
如图：由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴等腰直角三角形．
25．(1)
(2)
(3)①见解析②见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
（1）延长，交的延长线于点E，可证得，从而，从而得出；
（2）延长，截取，连接，可证得，从而，根据导角可推出，进而证得，从而，进而得出是等边三角形，进一步得出结果；
（3）解题思路同（2）
【详解】（1）解：，
如图1，延长，交的延长线于点E，
∵，
∴，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图2，延长，截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在四边形中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（3）证明：①当点在下方，且使线段同时落在和的内部，延长，截取，连接，如图3，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在四边形中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，，
∴；
②
．
26．(1)见解析
(2)①②，理由见解析
【分析】（1）由角平分线的定义可得，再由平行线的性质得，则；
（2）①设直线交射线于点，则，所以而，所以，
则，即可根据四边形的内角和等于，求得的度数是；
②作，则，得到，所以，同理，而，且，所以．
【详解】（1）证明：射线平分，射线平分，
，
，
，
，
（2）①解：如图2，设直线交射线于点，则，
，
，
，
平分平分，
，
，
，
的度数是.
②解：．
理由：如图3，作，则，
，
，
同理，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、四边形的内角和等于、角平分线的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出及是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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