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江苏省南京市2026年中考数学一轮练习卷（二）
一、单选题
1．下列计算结果比小的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．为调查长江现有鱼的种类，采用普查的方式
B．为了解某校1200名学生的课外阅读情况，随机调查了100名女生课外阅读情况
C．为反映某区初中学生人数占全市初中学生人数的百分比，适合用扇形统计图
D．为了解某校九年级学生睡眠时长，抽取该年级50名学生调查，样本是这50名学生
3．下列长度的两条线段与长度为12的线段首尾依次相连能组成直角形三角形的是（ ）
A．6，9 B．9，15 C．10，16 D．15，18
4．小明买了每袋250克的食品若干袋，营养成分如下表所示．通常情况下，人体每日摄入膳食纤维的适宜量是克．若小明今天仅依靠此食品来获取膳食纤维，他需要吃（ ）
营养成分
项 目 每100克 营养量参考值
能量 2092千焦
蛋白质 克
脂肪 24.0克
碳水化合物 克
膳食纤维 克
钠 250毫克
A．1袋 B．2袋 C．3袋 D．4袋
5．格点在平面直角坐标系中的位置如图所示．和关于x轴对称，将向左平移8个单位，再向下平移2个单位得，再将绕着点按逆时针方向旋转后得． 下列说法：①绕某点旋转一定的角度可得到；②绕某点旋转一定的角度可得到；③与关于某条直线对称．其中所有正确的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
6．“粽团桃柳，盈门共饮”．又是一年端午时，某厂家推出一种新款粽子礼盒，它的外形是“三棱柱”，其展开图可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．使式子有意义的x的取值范围是 ．
8．南京市2025年初中毕业生约69000人，将69000用科学记数法表示为 ．
9．计算： ．
10．分解因式的结果是 ．
11．设是方程的两个根，若，则 ．
12．有一组数据：（a为常数），这组数据的方差为 ．
13．已知函数与反比例函数．当时，则k的取值范围是 ．
14．如图，正五边形绕点A顺时针旋转后得到正五边形，连接交于点M，则 ．
15．如图，在矩形纸片中，，点E在边上，将纸片沿折叠，点A落在F处，的延长线交于点G，交的延长线于点H．若，则的长为 ．
16．如图，是的一条弦，点在内，，连接，若的半径是，则的长的最小值为 ．
三、解答题
17．先化简，再求值：，其中．
18．解不等式组：，并写出它的整数解．
19．用抽签的方法从甲，乙，丙3名同学中选1名同学出席音乐会．现准备3张相同的纸条，并在其中1张纸条上画记号，再把它们放在一个盒子中搅匀，然后让甲，乙，丙依次从中各抽取1张纸条（抽出的纸条不放回），抽到画有记号的纸条的同学出席这场音乐会．设甲，乙，丙出席音乐会的概率分别为，，．
(1)求；
(2)比较大小： ．（填“”“”“”号）
20．机器狗在景区充当“挑山工”的现象成为今年“五一”文旅市场的一大亮点．景区有300千克货物需要搬运．已知机器狗A每小时能搬运的货物重量是机器狗B的倍，机器狗A单独搬运货物所需的时间比机器狗B少1小时．求两只机器狗每小时分别能搬运多少千克的货物．
21．今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利八十周年．某市计划举办“铭记历史，缅怀先烈”主题知识竞赛．学校组建了甲，乙两支各20人的队伍，举行了一场预选赛，甲队成绩的频数分布直方图（成绩分成5组：，，，，）与乙队的成绩如下：
甲队成绩频数分布直方图
乙队成绩
78，81，82，83，86，87，89， 89，89，90，91，91，92，92， 93，93，93，93，94，99．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全频数分布直方图，乙队成绩的众数为 ；
(2)甲队成绩的中位数 乙队成绩的中位数；（填“”“”“”号）
(3)学校对预选赛成绩超过95分的小军，小明和小青三人又进行了五次测试，成绩如下：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
小军 96 97 97 98 97
小明 95 99 95 99 96
小青 98 96 96 98
平均数较大的人排名靠前，如果平均数相同，则方差较小的人排名靠前．若小青排名第二，则整数 ．
22．如图，在中，点，在对角线上，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，四边形的面积为2，则的面积为 ．
23．函数（，为常数，）的图象与的图象交于点．
(1)求，的值；
(2)已知一次函数（为常数，），当时，总有，则的取值范围是 ．
24．如图，港口位于港口的南偏西方向，港口位于港口的南偏东方向，港口位于港口的北偏东方向．一艘海轮从港口出发，沿正东方向航线前行．已知港口到航线的距离为，求港口到航线的距离．（参考数据：，，．）
25．如图，学校准备开展劳动教育活动，计划利用围墙和栅栏围成一个矩形的菜园，并用栅栏将其分成个相同大小的矩形小菜园，共用栅栏．
(1)当时，菜园面积的最大值为 ．
(2)求菜园面积的最大值（用含的代数式表示）．
26．尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
(1)如图①，在等边三角形中，点是边上一点．分别在，上作点，，使为等边三角形；
(2)如图②，在中，点是边上一点．分别在，上作点，，使为等边三角形．
27．从一块矩形铁皮余料中剪一个面积最大的半圆，半圆的半径为．
(1)当时，的值为 ．
(2)当，时，对于每一个确定的的值，都能剪出一个面积最大的半圆．请画出不同情形的示意图，并写出对应的的取值范围及的值．
《江苏省南京市2026年中考数学一轮练习卷（二）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A C B B C D
1．A
【分析】本题考查了有理数的加减乘除，有理数的大小比较，有理数的加减乘除，有理数的大小比较法则即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、，故选项符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：A．
2．C
【分析】本题考查调查方式，统计图的选择，样本，熟练掌握相关知识点，是解题的关键，根据普查和抽样调查的选择，统计图的特点以及样本的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、为调查长江现有鱼的种类，适合采用抽样调查的方式，原说法错误，不符合题意；
B、为了解某校1200名学生的课外阅读情况，随机调查了100名女生课外阅读情况，不具有广泛性和代表性，原说法错误，不符合题意；
C、为反映某区初中学生人数占全市初中学生人数的百分比，适合用扇形统计图，原说法正确，符合题意；
D、为了解某校九年级学生睡眠时长，抽取该年级50名学生调查，样本是这50名学生的睡眠时长，原说法错误，不符合题意；
故选C．
3．B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理即可判断，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意；
B、，能组成直角三角形，故选项符合题意；
C、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意；
D、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意；
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了一元一次不等组的应用，先求出每袋食品中膳食纤维的含量，设需要吃袋，则总膳食纤维量为克，依题意列出不等式组，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：每袋食品中膳食纤维的含量为：
（克），
设需要吃袋，则总膳食纤维量为克，依题意得：
，
解得：，
∴小明需要吃袋，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查的是轴对称图形，旋转图形，根据轴对称图形，旋转图形的意义进行判断即可．
【详解】解：如图：
①绕点逆时针旋转90度可得到，故①正确；
②绕某点旋转一定的角度不能得到，故原说法错误；
③与关于直线对称，故③正确．
所以，正确的说法是①③，
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了几何体的展开图，根据三棱柱的特征即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由题意可得：“三棱柱”的平面展开图可能是
故选：D．
7．
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可．
【详解】解：∵式子有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
8．
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：；
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．根据多项式乘多项式化简原式，利用完全平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
11．5
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系可得，则，可得原方程为，再解原方程求出的值即可得到答案．
【详解】解：∵是方程的两个根，
∴，
∵，
∴，
∴原方程为，
∴，
∴或，
解得，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了方差，掌握方差的计算公式是解题关键．先计算平均数，再计算方差即可．
【详解】解：这组数据的平均数为，
这组数据的方差为，
故答案为：．
13．或
【分析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，利用数形结合的思想是解题的关键．
分类讨论，画出图形，利用函数图象即可求解．
【详解】解：函数图象经过第一，三象限，当时，
当时，函数图象两支在二四象限，当时，
始终满足，如图：
当时，函数图象两支在第一三象限，记直线与直线交于点，
∴，
当函数图象经过时，，如图：
此时，直线图象在函数图象的上方，符合题意；
当时，，直线图象在函数图象的上方，符合题意；
综上所述：或，
故答案为：或．
14．124
【分析】本题考查了正多边形，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，掌握旋转的性质是解题关键．由正多边形可得，，进而得到，由旋转的性质可得，，从而求出，再根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：正五边形，
，，
，
由旋转的性质可知，，，
，
，
故答案为：124．
15．/
【分析】本题考查了矩形与折叠，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握矩形的性质是解题关键．根据矩形的性质和折叠的性质，推出，设，则，，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：在矩形纸片中，，
，，
由折叠的性质可知，，，，
在和中，
，
，
，，
，
设，则，
，，
，
在中，，
，
解得：，即的长为，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了求一点到圆上的最值问题，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定；连接，作，且，过点作交的延长线于点，连接，则，得出，进而证明得出，解，，进而得出，则点在以为圆心为半径的圆上运动，进而求得最小值，即可求解．
【详解】解：如图，连接，作，且，过点作交的延长线于点，连接，
∵，
∴
∴
∴，
∴
∴
∴
∴
在中，，，则
∴
在中，
∴
∴，则点在以为圆心为半径的圆上运动，
∴的最小值为
故答案为：．
17．；
【分析】本题考查的是分式的混合运算，先根据此分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【详解】解：
；
当时，
原式．
18．，它的整数解为、、．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀确定不等式组的解集，再写出整数解即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
它的整数解为、、．
19．(1)
(2)=
【分析】本题主要考查了概率公式、列表法或树状图求概率等知识点，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键．
（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中甲抽到画有记号的纸条的结果有1种，利用概率公式求解即可；
（2）结合概率公式即可解答．
【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中甲抽到画有记号的纸条的结果有1种，
∴；
（2）解：根据题意：画树状图如下，
由树状图知，共有6种等可能结果，无论他们按怎么样的顺序抽签，抽到纸条上画有记号的概率都是，即．
故答案为：=．
20．A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运50千克．
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题的关键．
设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，再根据题意列出分式方程求解并检验即可解答．
【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，
根据题意得：，解得：，
经检验：为分式方程的解，
则．
答：A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运50千克．
21．(1)统计图见解析，93
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查频数分布表、中位数、方差、平均数等知识点，掌握方差、平均数、中位数的求法是解题的关键．
（1）先求出的频数，再补全条形统计图；根据众数的定义确定乙队成绩的众数即可；
（2）分别求出甲、乙两队的中位数，然后比较即可；
（3）分别求出小军、小明的平均数和方差，再根用表示出小青的平均数，然后根据题意确定n的值，最后运用方差验证即可．
【详解】（1）解：甲队成绩中的频数为：，
故补全条形统计图如下：
；
乙队成绩中出现次数最多的是93，即众数为93；
（2）解：由甲队成绩的频数分布表可知：其中位数在中；
乙队成绩的中位数为，
所以甲队成绩的中位数小于乙队成绩的中位数．
故答案为：．
（3）解：小军的平均数：；
小军的方差：
；
小明的平均数：；
小明的方差：；
小青的平均数：；
∵小青排名第二，
∴，即，解得：；
，即，解得：；
∵n为整数，
∴或；
当时，，小青和小明平均数相同，小于小军的平均数，
，
∴，
∴时，小青排第二，符合题意．
当时，，小青和小军平均数相同，大于小明的平均数，
，
∴，
∴时，小青排第二，符合题意．
综上所述：或．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定定理，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）连接交于O，由平行四边形的性质得到，再证明，进而证明，据此可证明结论；
（2）求出，则，据此可证明，同理可得，由此可得答案．
【详解】（1）证明：如图所示，连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
23．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题、二元一次方程组的应用、不等式的应用等知识点，掌握边界问题的求解方法是解题的关键．
（1）直接将代入函数解析式得到二元一次方程组求解即可；
（2）由（1）易得，，再分、两种情况解答，最后综合即可解答．
【详解】（1）解：将点代入函数（，为常数，）的图象与可得：
，解得：，
∴．
（2）解：∵，
∴，，
∵当时，总有，
∴，
∴，即，
∵，
∴（当时恒成立，取等号边界情况），解得：；
由，即，
∴，
综上，a的取值范围为．
24．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确构造直角三角形是解题的关键．
过点作水平线，过点作与水平线垂直，垂足为，过点作于点，过点作于，解，得到，解中，，设，解中，，则，即可求解．
【详解】解：过点作水平线，过点作与水平线垂直，垂足为，过点作于点，过点作于，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
由题意得：，，
∴，
在中，，
在中，，
设，
∴，，
∴
在中，，
∴，
解得：，
∴，
答：港口到航线的距离为．
25．(1)80
(2)
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）设矩形养殖场的总面积为y，列出y与x的函数关系式，并求出其最大值．
（2）设矩形养殖场的总面积为y，列出y与x的函数关系式，并求出其最大值．
【详解】（1）解：设菜园的宽为，当时，菜园的长为，菜园面积为，则有：
，
∵，
∴有最大值，最大值为80，
即菜园面积的最大值为，
故答案为：80．
（2）解：设菜园的宽为，则长为，菜园面积为，则有：
。
∵，
∴，
∴
∴当时，有最大值，最大值为，
即，菜园面积的最大值为．
26．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）以C为圆心，的长为半径画弧交于F，以A为圆心，的长为半径画弧交于E，连接，则即为所求；
（2）分别以B、D为圆心，以的长为半径画弧，二者交于点G，连接，再分别以A、D为圆心，的长为半径画弧，二者交于点H，连接，连接交于F，以点D为圆心，的长为半径画弧交于E，连接，则即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，以C为圆心，的长为半径画弧交于F，以A为圆心，的长为半径画弧交于E，连接，则即为所求；
由等边三角形的性质可得，
则可证明，进而可证明，则；
（2）解：如图所示，分别以B、D为圆心，以的长为半径画弧，二者交于点G，连接，再分别以A、D为圆心，的长为半径画弧，二者交于点H，连接，连接交于F，以点D为圆心，的长为半径画弧交于E，连接，则即为所求．
由等边三角形的性质与判定定理可得，则可证明，
则有，故点F在直线上运动，
而点E运动到点A时，可证明此时点F运动到点H，那么点F即在直线上．
27．(1)
(2)当时，；当时，；当时，．
【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、圆的基本概念等知识点，掌握圆的基本知识点成为解题的关键．
（1）如图所示，以为直径的半圆与正方形相切于点E，F，连接并于延长交于点G，连接并于延长交于点H，得到是等腰直角三角形，求出，然后利用求解即可．
（2）分3种情况，分别根据矩形的性质和圆的基本概念画出图形即可解答．
【详解】（1）解：如图所示，以为直径的半圆与正方形相切于点E，F，连接并于延长交于点G，连接并于延长交于点H，
由题意得，是等腰直角三角形
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∴；
（2）解：①如图：当时，最大半圆的半径为：；
②如图：当时，
根据题意得，四边形，，是矩形，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴
∴在中，
∴
整理得，
∴解得，或（舍）；
③如图：当时，最大半圆的半径为：；
综上，当时，；当时，；当时，．
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