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1.3相似三角形的性质
一．选择题
1．若△ABC∽△DEF，且AB∶DE＝1∶4，则这两个三角形的对应中线之比为(　　)
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶8 D．1∶16
2．若△ABC∽△DEF，且＝，△ABC的周长为2，则△DEF的周长为(　　)
A． B．
C．6 D．18
3．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠ADE＝∠C．如果AE＝3，△ADE的面积为5，四边形DBCE的面积为15，那么AB的长为(　　)
A．8 B．
C．6 D．
4．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为(　　)
A． B．
C． D．
5．如图，在 ABCD中，CE∶BE＝1∶3，且S△EFC＝1，那么S△ABC＝(　　)
A．9 B．12
C．15 D．20
6．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O．若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△ADE的比是(　　)
A．1∶3 B．1∶4
C．1∶5 D．1∶25
7．(2024·威海模拟)如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的(　　)
A．
C．
二．填空题
8．(2024·威海检测)若两个相似三角形的对应边之比是3∶7，其中一个三角形的一条角平分线长为2，则另一个三角形对应角平分线的长为 ．
9．如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为 ．
10．如图，把△ABC沿着边AB平移到△A′B′C′的位置，它们重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC面积的．若AB＝2，则△ABC平移的距离是 ．
11．如图，在 ABCD中，F是边AB上一点，DF交AC于点E，且＝，则＝ ．
12．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，AD⊥BC，则EH的长为 ．
三．解答题
13．有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm．如图1，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
(1)求加工成的正方形零件的边长．
(2)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形组成的，如图2．此时，这个矩形零件的两条边长分别为多少？
14.如图，在 ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，且AF＝2FD．
(1)求证：△ABF∽△CEB；
(2)若△CEB的面积为9，求 ABCD的面积．
1.3相似三角形的性质
一．选择题
1．若△ABC∽△DEF，且AB∶DE＝1∶4，则这两个三角形的对应中线之比为(　B　)
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶8 D．1∶16
2．若△ABC∽△DEF，且＝，△ABC的周长为2，则△DEF的周长为(　C　)
A． B．
C．6 D．18
3．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠ADE＝∠C．如果AE＝3，△ADE的面积为5，四边形DBCE的面积为15，那么AB的长为(　C　)
A．8 B．
C．6 D．
4．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为(　D　)
A． B．
C． D．
5．如图，在 ABCD中，CE∶BE＝1∶3，且S△EFC＝1，那么S△ABC＝(　D　)
A．9 B．12
C．15 D．20
6．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O．若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△ADE的比是(　B　)
A．1∶3 B．1∶4
C．1∶5 D．1∶25
7．(2024·威海模拟)如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的(　C　)
A．
C．
二．填空题
8．(2024·威海检测)若两个相似三角形的对应边之比是3∶7，其中一个三角形的一条角平分线长为2，则另一个三角形对应角平分线的长为 或 ．
9．如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为 5 ．
10．如图，把△ABC沿着边AB平移到△A′B′C′的位置，它们重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC面积的．若AB＝2，则△ABC平移的距离是 1 ．
11．如图，在 ABCD中，F是边AB上一点，DF交AC于点E，且＝，则＝ ．
12．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，AD⊥BC，则EH的长为 ．
三．解答题
13．有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm．如图1，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
(1)求加工成的正方形零件的边长．
(2)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形组成的，如图2．此时，这个矩形零件的两条边长分别为多少？
解：(1)设正方形的边长为x mm，则PN＝PQ＝ED＝x mm，AE＝AD－ED＝(80－x)mm．
∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC．
∴＝，即＝，解得x＝48．
∴加工成的正方形零件的边长是48 mm．
(2)设PQ＝x mm，则PN＝2x mm，AE＝(80－x)mm．
∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC．
∴＝，即＝，解得x＝．∴2x＝．∴这个矩形零件的两条边长分别为 mm， mm．
14.如图，在 ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，且AF＝2FD．
(1)求证：△ABF∽△CEB；
(2)若△CEB的面积为9，求 ABCD的面积．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠E，
在△ABF和△CEB中，∠A＝∠C，∠ABF＝∠E，
∴△ABF∽△CEB．
(2)解：∵AF＝2FD，∴AD＝3FD，∴DF∶BC＝1∶3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，
∴△ABF∽△DEF，△CEB∽△DEF，
∴S△ABF∶S△DEF＝AF2∶FD2，S△BCE∶S△FDE＝BC2∶FD2，
∵△CEB的面积为9，
∴△FDE的面积为1，∴△ABF的面积为4，
∴ ABCD的面积＝9－1＋4＝12．
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