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四川省成都市第七中学2026届高三上学期入学考试数学试卷
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．
1. 若随机事件满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知（是虚数单位）是关于方程的一个根，则（ ）
A. 17 B. 9 C. 13 D. 4
3. 已知变量x和y统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为，则时的残差为（ ）
x 4 4.5 5 5.5 6
y 7 6 4 2 1
A. 0.2 B. C. 0.4 D.
4. 已知随机变量，若函数为偶函数，则（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
5. 三角高程测量法是一种常用的测量方法.如图，，，三点在水平地面上的投影，，满足，.到地面的距离为，到地面的距离为，在测得的仰角为，在测得的仰角为，则到地面的距离约为（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
6. 为考察药物A对预防疾病B的效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验，根据种群一的试验结果得到如下列联表：
药物A 疾病B 合计
未患病 患病
未服用 28 22 50
服用 34 16 50
合计 62 38 100
计算得到．假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为上表对应单元格数据的5倍，则根据小概率值的独立性检验，（ ）
附：，
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7879
A. 当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过5%
B. 当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过10%
C. 当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过1%
D. 当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.5%
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为是上的一点，为线段的中点．若，则的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
8. 不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分．部分选对的得部分分．有选错的得0分．
9. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，，，．记在方向上的投影向量为，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 设，已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是（ ）
0 1 2
P
A. B. 的值最大
C. 随着p的增大而增大 D. 当时，
11. 已知正四面体的顶点均在一个底面半径为1的圆柱侧面上（圆柱的高足够大），且点到圆柱下底面的距离相等，则该四面体的边长的取值可以是（ ）
A. B. 2 C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________．
13. 已知函数的最大值为______．
14. 在平面直角坐标系中，定义，两点的“距离”为．其中．已知定点，．动点满足．其中.记的轨迹为“椭圆”．为“焦点”．已知数列，，均为正项数列，，椭圆，记以，为“焦点”的“椭圆”为，的边均与相切，且的顶点均在上，若是等比数列，则的离心率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．其中15题13分，16-17题各15分，18-19题给17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处切线方程；
（2）若在单调递增，求的取值范围；
16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，，为中点，且.
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值.
17. 在中，为的中点，在边上，交于，且，设，．
（1）若，，，求余弦值；
（2）若在上，且，设，，，若，求的取值范围．
18. 已知两点的坐标分别是，，直线相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为曲线.两个不同点在上运动，满足直线与直线的斜率之比是.
（1）求曲线的方程；
（2）直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由；
（3）证明：三角形是钝角三角形.
19. 已知数列满足以下分组规律：第1组为第1项，第2组为接下来2项，，第3组为接下来项，，，，，
第组有项，分别为，，，，，设为的前项和，
（1）求的值；
（2）若，，求的值；
（3）求证：存在无穷多个正整数，使得．
参考答案
1-8
【答案】C
【答案】B
【答案】D
【答案】B
【答案】C
【答案】C
【答案】C
【答案】A
9.【答案】ACD
10.【答案】AD
11.【答案】BC
12.【答案】3
13.【答案】
14.【答案】##
15.【小问1】
当时，，
则，，，
所以曲线在点处的切线方程为．
【小问2】
，由题意的定义域为，则，
若是增函数，则恒成立，即，
设，则，
当时，，在上单调递减．
当时，，在上单调递增.
所以，即，即，
设．易知为增函数．
因为，所以，
所以.
综上，的取值范围是．
16.（1）因为平面平面，平面平面，，
∴平面，又由平面，∴，
∵为正方形，∴，
又∵，∴平面，∴.
（2）过作于，连接.
由（1）得平面，∴，
又，所以平面，
∴为与平面所成角，
∴，，，∴，，
由∽，可得，∴，
∴
17.【小问1】
因为共线，则存在使，所以，
整理得．由共线，所以存在使，
则，整理得，
根据平面向量基本定理，有，则，，
因为，
所以，
，
，
所以；
【小问2】
如图，由（1）有，则．由共线，
设，．
又，，即．
则，
，
，，．
因，则，则，解得，
所以的取值范围为．
18.【小问1】
设，由题意得且，
，整理得
因此曲线的方程为：（或）
【小问2】
由题意得，又，
设，
若直线的斜率不存在，则
解得，此时直线过，
若直线的斜率存在，设，
与双曲线联立得，
依题意且
由韦达定理得，.
整理得，
此时恒成立，过
综上所述，直线过定点.
【小问3】
由（2）知，
①当时，，均在的右支，
如图2，此时
故为钝角.
②当时，，在的两支，
如图1，不妨设在的右支
记，此时
故为锐角，因此为钝角
综上所述，三角形为钝角三角形
图1 图2
19【小问1】
由题意可知第组之和为，
前组共含有项，
则，
．
【小问2】
设分母为的为第组，
情形一：，在不同组，设为第组最后一个数，则，为第组第一个数，
则，所以，
解得，即．
情形二：，为第组第和第个，则，
取，，即符合题意，
若，则不为整数，不合题意．
若，则，不合题意．
综上所述，或190．
【小问3】
因为，
所以，
因此当，满足，所以存在无数个正整数，使得．

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