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四川省绵阳南山中学2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则的子集个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 若复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ）
A. 2 B. -2 C. D.
4. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
5. 在等差数列中，（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
6. 若，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 在棱长为2的正方体中，点为底面ABCD中一动点（含边界），且，则线段PB的长度的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 在上单调递减 B. 的极大值为2
C. 的图象关于对称 D. 方程有三个实数根
10. 已知一个正四面体的四个顶点分别位于一个正方体的四个不相邻的顶点上．现从该正四面体的六条棱中随机选取两条，则判断错误的选项有（ ）
A. 两条棱相交的概率 B. 两条棱平行的概率为
C. 两条棱异面概率为 D. 两条棱所成角为的概率为
11. 已知实数x，y满足，设，则（ ）
A. 的最小值 B. 的最大值
C. 存使得 D. 对于任意，存在使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设函数，若，则实数_____________．
13. 在中，角的对边分别为，若，且，则的面积为_____________．
14. 已知圆和轴相切，且与相切于，则圆的半径为_____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15 记向量，记函数．
（1）求最小正周期．
（2）求在的最大值和最小值．
16. 在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列．
（1）求通项公式；
（2）设，证明：．
17. 在空间中有一个正四棱锥，已知侧棱长度与底面边长均相等．
（1）若为棱PC的中点，求证：平面．
（2）记异面直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，比较的大小．
18. 已知函数．
（1）求．
（2）当，求曲线在处的切线方程．
（3）当时，证明：．
19. 已知是给定椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点．分别交椭圆于另一点M，N．
（1）用含a，b的表达式来表达该椭圆的离心率．
（2）请结合距离公式证明：．
（3）求．（用含a，b的式子表示答案）
参考答案
1-8
【答案】D
【答案】A
【答案】A
【答案】B
【答案】A
【答案】A
【答案】C
【答案】C
9.【答案】ABCD
10.【答案】ACD
11.【答案】AC
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】或
15.【小问1】
.
所以的最小正周期为.
小问2】
由（1），因为，令，则，
所以当，即时取得最小值；
当，即时，取得最大值.
16.【小问1】
设等差数列公差为，则，
由题可得，解得，
所以.
【小问2】
由（1），，
所以，
所以是递增数列.
所以，且，
所以.
17.【小问1】
设与交于点，连接，
因为底面为正方形，则为的中点，又为棱PC的中点，所以，
又平面，平面，所以平面.
【小问2】
连接，因为四棱锥是正四棱锥，则平面，
取中点，连接，
设，易知，，，，
因为，则为异面直线与所成的角，
又平面，则为直线与平面所成的角，
因为为的中点，则，又平面，平面，
所以，又，平面，所以平面，
又平面，所以，则为二面角的平面角，
因为为中点，同理可得，
在中，，在中，，
在中，，
又，且在区间上单调递增，
因，则.
18.【小问1】
函数，
所以．
【小问2】
当时，则函数，，
所以，，
所以曲线在处的切线方程为．
【小问3】
，，
令，则，
由得，，
设方程的两根为，
由，，
则，且，
当时，，则在单调递增，
当时，，则在单调递减，
当时，，则在单调递增，
所以为函数的极大值，为函数的极小值，
当时，，
则，
因为在单调递增，所以，
所以，
所以．
19.【小问1】
离心率，∵，
∴
【小问2】
设，，，
则，即
则
又∵且，
∴.
【小问3】
设，，，
故，故
所以，整理得到，
故即，
同理，故，
故，
故即.
而，故

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