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四川省绵阳南山中学2025-2026学年高三上学期第一次教学质量检测数学试题
本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由选择题和非选择题组成，共4页，答题卡共6页．满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的班级、姓名用0.5毫米签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将准考证号准确填涂在“考号”栏目内．
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知、是实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量.若与共线，则实数k的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 设，，且，则的最小值为（ ）
A. 3 B. C. D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内二氧化碳最高容许浓度不高于．经测定，刚下课时，教室内含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间的最小整数值为（ ）
参考数据：．
A. 1 B. 3 C. 7 D. 8
8. 已知函数，若，则可取（ ）
A B. C. 1 D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选得0分．
9. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知首项为正数的等差数列的前项和为，若，则（ ）
A
B
C. 当时，取最大值
D. 当时，的最小值为27
11. 若为函数的导函数，对任意的，恒有，且，则（ ）
A. B.
C. 为奇函数 D. 若，则
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．把答案直接填在答题卷中的横线上．
12. 半径为2的扇形中，圆心角为，该扇形的面积为_____．
13. 已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则_________．
14. 已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围是_____.
四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，其中，函数图象上相邻的两个对称中心之间的距离为，且在处取到最小值．
（1）求函数的解析式；
（2）若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将其向左平移个单位，得到函数图象，求函数的单调递增区间和对称中心．
16. 在中，．
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长．
17. 阅读一元二次方程韦达定理的推导过程，完成下列问题:设一元二次方程，则，展开得:，比较系数得:，于是.
（1）已知一元三次方程的三个根为，类比于上述推导过程，求;
（2）已知，若存在三个不相等的实数，求的取值范围.
18. 已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，数列前项和；
①求；
②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．
19. ，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”．已知．
（1）证明：存在源数列；
（2）①若恒成立，求的取值范围；
②记的源数列为，前项和为．证明：．
参考答案
1-8
【答案】B
【答案】C
【答案】A
【答案】C
【答案】B
【答案】B
【答案】D
【答案】A
9.【答案】BD
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】##
13.【答案】
14.【答案】
15.【小问1】
函数，其中，
由题知函数的最小正周期为，解得，
又函数在处取到最小值，则，且，
所以，得到
又，令，得，
所以．
【小问2】
函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得，再向左平移个单位，可得，
令，解得，
所以的单调递增区间为．
令，解得，
所以的对称中心为．
16.【小问1】
由，可得，
整理得．
则，
即，
所以．由，故，
又，所以．
【小问2】
设的内角所对的边分别为，
由（1）知，则的面积，得到，
因，由余弦定理，
得，得到，所以，
所以的周长为．
17.【小问1】
由题意知，
展开得:，
比较系数得即.
【小问2】
令是的三个根，
即为的三个不等根，由上知.
，
于是单调递减，单调递增，单调递增，
且函数的大致图象如下:
为使得与有三个交点，
则故
18.【小问1】
证明：因为，
所以．
因为，所以．
又，所以，即证得是首项为1，公比为2的等比数列．
【小问2】
①由（1）可得，则，
，
，
两式相减得：，
即，
所以，则．
②因为不等式对任意的正整数恒成立，
即对任意的正整数恒成立，
当为偶数时，因为在为增函数，
所以；
当为奇数时，对任意的正整数恒成立，
所以，解得．
综上，实数的取值范围为．
19.【小问1】
由，得，即在上单调递减，
又，当且无限趋近于0时，趋向于正无穷大，即的值域为，
对于可以取到任意正整数，且在上都有存在唯一自变量与之对应，
故对于，令，其在上的解必存在且唯一，
不妨设解为，即，则都存在唯一的实数，使得，
即存在源数列．
【小问2】
①恒成立，即恒成立，
令，即恒成立，
令，则，
令，则，仅在时取等号，
即在上单调递减，故，即在上单调递增，
故，故；
②由①得，故，即，则，
当时，．
当时，；
当时，
当时，
，
综上：．

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