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章末复习提升
主干知识回顾
『网络构建』
『知识辨析』
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
1.函数值域中的每一个值都有定义域中的一个值与它对应.(　 　)
2.若函数的定义域是无限集,则值域也是无限集.(　 　)
3.对应关系与值域都相同的两个函数是同一个函数. (　 　)
4.能用列表法表示的函数一定能用图象法表示.(　 　)
5.分段函数有几段,它的图象就有几段,它们之间不连续.(　 　)
√
×
×
√
×
×
7.对于函数f(x),若在区间[a,b]上存在两个数x1,x2,且x1f(x2)成立,则f(x)在区间[a,b]上单调递减.(　 　)
8.若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增,则函数f(x)在区间(1,3)上单调递增.(　 　)
9.函数f(x)在[a,b]上的最值一定是f(a)(或f(b)).(　 　)
10.若函数f(x)是奇函数,则f(0)=0.(　 　)
×
×
×
×
核心题型突破
题型一　求函数的定义域及值域
C
ACD
·规律方法·
求函数定义域的类型与方法
(1)已给出函数解析式:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.
(2)实际问题:求函数的定义域既要考虑解析式有意义,还应考虑使实际问题有意义.
(3)复合函数问题:
①若f(x)的定义域为[a,b],f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出;
②若f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域.
·规律方法·
注意:(1)f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同.
(2)定义域所指永远是x的取值范围.
C
AB
题型二　求函数的解析式
[例2] (1)已知f(x-1)=2x+5,则f(x)的解析式为　　 　　　　.
f(x)=2x+7
(2)已知函数f(x)对任意x都满足3f(x)-f(2-x)=4x,则f(x)=　　　　　.
x+1
求函数解析式的题型与相应的解法
(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式,使用换元法或配凑法.
(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数),使用待定系数法.
·规律方法·
题型三　分段函数
B
(1)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要检验.
(2)在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可.
·规律方法·
题型四　函数图象的画法及应用
【解】 (1)f(f(-1))=f(3)=3.
(2)若函数f(x)的图象与直线y=m有三个交点,请在如图所示的平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象并写出实数m的取值范围.(不需要证明)
【解】(2)函数图象如图所示:
由图知,实数m的取值范围为(0,4).
作函数图象的方法
(1)描点法——求定义域、化简、列表、描点、连线.
(2)变换法——熟知函数图象的平移、伸缩、对称、翻转.
·规律方法·
提醒:可先研究函数的单调性、奇偶性、对称性以便简化作图.
·规律方法·
AB
题型五　函数性质的综合应用
AC
故f(-x)=-f(x),函数为奇函数,f(x)的图象关于原点对称,所以C选项正确;
f(x)的增区间是[-2,0)和(0,2],
但不能说f(x)在定义域[-2,0)∪(0,2]上是增函数,所以D选项错误.故选AC.
函数单调性与奇偶性应用的常见题型
(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性.
(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.
(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小、解不等式.
(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.
提醒:研究抽象函数的性质时要紧扣其定义,同时注意根据解题需要给x灵活赋值.
·规律方法·
AD章末复习提升
网络构建
知识辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
1.函数值域中的每一个值都有定义域中的一个值与它对应.(　√　)
2.若函数的定义域是无限集,则值域也是无限集.(　×　)
3.对应关系与值域都相同的两个函数是同一个函数. (　×　)
4.能用列表法表示的函数一定能用图象法表示.(　√　)
5.分段函数有几段,它的图象就有几段,它们之间不连续.(　×　)
6.若D1,D2分别是分段函数的两个不同的对应关系的值域,则D1∩D2=.(　×　)
7.对于函数f(x),若在区间[a,b]上存在两个数x1,x2,且x1f(x2)成立,则f(x)在区间[a,b]上单调递减.(　× 　)
8.若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增,则函数f(x)在区间(1,3)上单调递增.(　×　)
9.函数f(x)在[a,b]上的最值一定是f(a)(或f(b)).(　×　)
10.若函数f(x)是奇函数,则f(0)=0.(　×　)
题型一　求函数的定义域及值域
[例1] (1)函数f(x)=+的定义域为(　　)
[A](-∞,-2]∪[3,+∞)
[B][-3,1)∪(1,2]
[C][-2,1)∪(1,3]
[D](-2,1)∪(1,3)
(2)(多选)下列函数定义域和值域相同的是(　　)
[A]y=5x+1 [B]y=x2+1
[C]y= [D]y=x2(x≥0)
【答案】 (1)C　(2)ACD
【解析】 (1)要使函数有意义,
则解得-2≤x≤3且x≠1,所以函数的定义域为[-2,1)∪(1,3].故选C.
(2)A中,y=5x+1的定义域、值域都为R;
B中,y=x2+1的定义域为R,值域为[1,+∞);
C中,y=的定义域、值域都为(-∞,0)∪(0,+∞);
D中,y=x2(x≥0)的定义域、值域都为[0,+∞).
故选ACD.
求函数定义域的类型与方法
(1)已给出函数解析式:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.
(2)实际问题:求函数的定义域既要考虑解析式有意义,还应考虑使实际问题有意义.
(3)复合函数问题:
①若f(x)的定义域为[a,b],f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出;
②若f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域.
注意:(1)f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同.
(2)定义域所指永远是x的取值范围.
[跟踪训练] (1)若函数f(x)的定义域为[0,5],则函数g(x)=的定义域是(　　)
[A](1,11] [B][1,2]
[C](1,2] [D](-,1)∪(1,2]
(2)(多选)若函数f(x)与g(x)的值域相同,但定义域不同,则称f(x)和g(x)是“同象函数”.已知函数f(x)=x2,x∈[0,1],则下列函数中与f(x)是“同象函数”的有(　　)
[A]g(x)=x2,x∈[-1,0]
[B]g(x)=x2,x∈[-1,1]
[C]g(x)=,x∈(0,1]
[D]g(x)=x+1,x∈[0,1]
【答案】 (1)C　(2)AB
【解析】 (1)因为函数f(x)的定义域为[0,5],
则对于函数g(x)=,令解得1(2)由f(x)=x2,x∈[0,1],则f(x)∈[0,1].
对于A,g(x)=x2,x∈[-1,0],则g(x)∈[0,1],满足“同象函数”的定义,故A正确;
对于B,g(x)=x2,x∈[-1,1],则g(x)∈[0,1],满足“同象函数”的定义,故B正确;
对于C,g(x)=,x∈(0,1],则g(x)∈[1,+∞),不满足“同象函数”的定义,故C错误;
对于D,g(x)=x+1,x∈[0,1],则g(x)∈[1,2],不满足“同象函数”的定义,故D错误.故选AB.
题型二　求函数的解析式
[例2] (1)已知f(x-1)=2x+5,则f(x)的解析式为　　　　　　.
(2)已知函数f(x)对任意x都满足3f(x)-f(2-x)=4x,则f(x)=　　　　　.
【答案】 (1)f(x)=2x+7　(2)x+1
【解析】 (1)法一(换元法)　设x-1=t,则x=t+1,
所以f(t)=2(t+1)+5=2t+7,所以f(x)=2x+7.
法二(配凑法)　f(x-1)=2x+5=2(x-1)+7,所以f(x)=2x+7,即函数的解析式为f(x)=2x+7.
(2)3f(x)-f(2-x)=4x,①
以2-x代替x得3f(2-x)-f(x)=4(2-x),②
②+①×3得8f(x)=8+8x,即f(x)=x+1.
求函数解析式的题型与相应的解法
(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式,使用换元法或配凑法.
(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数),使用待定系数法.
(3)含f(x)与f(-x)或f(x)与f(),使用解方程组法.
(4)已知一个区间的解析式,求另一个区间的解析式,可用奇偶性转移法.
[跟踪训练] 已知某企业在生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为y=ax+,且当x=2时,y=100;当x=7时,y=35,若此产品的生产件数x不超过20,则函数的解析式为　　　　　　　　　.
【答案】 y=x+(x∈N,0【解析】 将与代入y=ax+中,
得即解得
故所求函数的解析式为y=x+(x∈N,0题型三　分段函数
[例3] 设f(x)=若f(m)=f(m+1),则m等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 当01,
由f(m)=f(m+1),得=2(m+1-1),
整理得4m2-m=0,解得m=或m=0(舍去);
当m≥1时,m+1≥1,
由f(m)=f(m+1),得2(m-1)=2(m+1-1),无解.
综上可得,m=.故选B.
(1)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要检验.
(2)在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可.
[跟踪训练] 已知f(x)=若f(x)=3,则x=　　　　　.
【答案】 -或3
【解析】 当x≤0时,由=3,得x=-;
当x>0时,由x2-2x=3,得x=3或x=-1(舍去).
综上可得,x=-或x=3.
题型四　函数图象的画法及应用
[例4] 已知函数f(x)=
(1)求f(f(-1));
(2)若函数f(x)的图象与直线y=m有三个交点,请在如图所示的平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象并写出实数m的取值范围.(不需要证明)
【解】 (1)f(f(-1))=f(3)=3.
(2)函数图象如图所示:
由图知,实数m的取值范围为(0,4).
作函数图象的方法
(1)描点法——求定义域、化简、列表、描点、连线.
(2)变换法——熟知函数图象的平移、伸缩、对称、翻转.
①平移:y=f(x)y=f(x±h),
y=f(x)y=f(x)±k(其中h>0,k>0);
②对称:y=f(x)y=f(-x),
y=f(x)y=-f(x),
y=f(x)y=-f(-x).
提醒:可先研究函数的单调性、奇偶性、对称性以便简化作图.
[跟踪训练] (多选)设函数f(x)=min{|x-2|,x2,|x+2|},则下列说法正确的是(　　)
[A]f(f(x))≤f(x)
[B]当x∈[1,+∞)时,有f(x-2)≤f(x)
[C]函数f(x)既有最大值又有最小值
[D]当x∈[-4,4]时,|f(x)-2|≥f(x)
【答案】 AB
【解析】 在同一平面直角坐标系中作出y=x2,y=|x-2|和y=|x+2|的图象,如图所示.
联立y=|x+2|和y=x2可求得A(-1,1),
联立y=|x-2|和y=x2可求得B(1,1).
由题意可知f(x)=其图象如图中实线部分.
对于A,由图可知f(x)≥0,设t=f(x),则t≥0,
直线y=t(t≥0)的图象始终不在曲线y=f(t)(t≥0)的图象的下方,
所以当t≥0时,t≥f(t),即f(f(x))≤f(x),A正确;
对于B,当x≥1时,f(x)=|x-2|,
f(x-2)的图象可由f(x)的图象向右平移2个单位长度得到,
显然,当x≥1时,f(x)的图象不在f(x-2)的图象的下方,
即当x∈[1,+∞)时,f(x-2)≤f(x),B正确;
对于C,由题可知,函数f(x)有最小值0,无最大值,C错误;
对于D,当x∈[-4,4]时,f(-4)=2,f(-4)-2=0,
显然f(-4)>|f(-4)-2|,D错误.故选AB.
题型五　函数性质的综合应用
[例5] (多选)下列关于函数f(x)=性质的描述,正确的是(　　)
[A]f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2]
[B]f(x)的值域为[-1,1]
[C]f(x)的图象关于原点对称
[D]f(x)在定义域上是增函数
【答案】 AC
【解析】 对于函数f(x)=,
由4x2-x4=x2(4-x2)=0,解得x=0或x=2或x=-2,
若x=0,则|x-2|-2=0,f(x)无意义,所以x≠0,
若x=2,则|x-2|-2=-2,符合题意,
若x=-2,则|x-2|-2=2,符合题意,
由解得-2综上所述,函数f(x)的定义域是[-2,0)∪(0,2],A选项正确;
当0当-2≤x<0时,f(x)==∈[0,2),f(x)单调递增,
所以f(x)的值域为(-2,2),所以B选项错误;
因为函数f(x)=的定义域关于原点对称,
且f(x)==,
故f(-x)=-f(x),函数为奇函数,f(x)的图象关于原点对称,所以C选项正确;
f(x)的增区间是[-2,0)和(0,2],
但不能说f(x)在定义域[-2,0)∪(0,2]上是增函数,所以D选项错误.故选AC.
函数单调性与奇偶性应用的常见题型
(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性.
(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.
(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小、解不等式.
(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.
提醒:研究抽象函数的性质时要紧扣其定义,同时注意根据解题需要给x灵活赋值.
[跟踪训练] (多选)已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且满足以下条件:①f(x)为偶函数;②f(x)在[0,+∞)上单调递减;③f(-2)=0,下列选项成立的是(　　)
[A]f(x)的增区间为(-∞,0]
[B]f(1)[C]若f(x-1)>f(1),则x∈(-∞,0)∪(2,+∞)
[D]若xf(x)>0,则x∈(-∞,-2)∪(0,2)
【答案】 AD
【解析】 由偶函数图象的对称性知,该函数在(-∞,0]上单调递增,所以f(x)的增区间为(-∞,0],选项A正确;
由题意知f(-3)=f(3),因为函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以f(3)f(-3),选项B错误;
由f(x-1)>f(1),则f(|x-1|)>f(1),有|x-1|<1,即0由条件③知f(2)=f(-2)=0,
当x>0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以当00,
故当00,
当x<0时,函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,
所以当x<-2时,f(x)<0,
故当x<-2时,xf(x)>0,
所以若xf(x)>0,则x∈(-∞,-2)∪(0,2),选项D正确.故选AD.
第5章　检测试题
(限时:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={0,1,2},B={-1,1,3},下列对应关系中,从A到B的函数为(　　)
[A]f:x→y=x [B]f:x→y=x2
[C]f:x→y=2x [D]f:x→y=2x-1
【答案】 D
【解析】 对于A,当x=0,1,2时,对应的y=x=0,1,2,所以选项A不能构成函数;
对于B,当x=0,1,2时,对应的y=x2=0,1,4,所以选项B不能构成函数;
对于C,当x=0,1,2时,对应的y=2x=0,2,4,所以选项C不能构成函数;
对于D,当x=0,1,2时,对应的y=2x-1=-1,1,3,所以选项D能构成函数.故选D.
2.函数f(x)=+(x-1)0的定义域为(　　)
[A](,+∞) [B](,1)∪(1,+∞)
[C][,1)∪(1,+∞) [D][-,+∞)
【答案】 B
【解析】 由已知得解得x>且x≠1,
所以函数f(x)=+(x-1)0的定义域为(,1)∪(1,+∞).故选B.
3.下列四组函数中,表示同一个函数的是(　　)
[A]f(x)=1,g(x)=x0
[B]f(x)=,g(x)=
[C]f(x)=,g(x)=x-2
[D]f(x)=|x+1|,g(x)=
【答案】 D
【解析】 对于A,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠0},即f(x)和g(x)的定义域不相同,从而f(x)和g(x)不是同一个函数,故A错误;对于B,函数f(x)=的定义域为R,函数g(x)=的定义域为{x|x≠0},即f(x)和g(x)的定义域不相同,从而f(x)和g(x)不是同一个函数,故B错误;对于C,f(x)的定义域为{x|x≠-2},g(x)的定义域为R,即f(x)和g(x)的定义域不相同,从而f(x)和g(x)不是同一个函数,故C错误;对于D,f(x)和g(x)的定义域均为R,f(x)=|x+1|=即f(x)和g(x)的定义域相同,对应关系相同,从而f(x)和g(x)是同一个函数,故D正确.故选D.
4.已知函数f(1-x)=(x≠0),则f(x)=(　　)
[A]-1(x≠0) [B]-1(x≠1)
[C]-1(x≠0) [D]-1(x≠1)
【答案】 B
【解析】 令t=1-x,则x=1-t,由于x≠0,则t≠1,
可得f(t)==-1(t≠1),
所以f(x)=-1(x≠1).故选B.
5.已知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,则f(a2-a+1)与f()的大小关系为(　　)
[A]f(a2-a+1)≥f()
[B]f(a2-a+1)≤f()
[C]f(a2-a+1)=f()
[D]不确定
【答案】 B
【解析】 因为a2-a+1=+≥,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,所以f(a2-a+1)≤f().故选B.
6.已知函数f(x)=若f(a-2)=f(a),则f()等于(　　)
[A]11 [B]6 [C]4 [D]2
【答案】 D
【解析】 因为f(x)=所以函数f(x)在(-∞,0]和(0,+∞)上均单调递增,
又f(a-2)=f(a),所以可得0由题意可得a2+a=5(a-2)+6,即a2-4a+4=0,解得a=2,满足题意,
所以f()=f(1)=12+1=2.故选D.
7.已知函数y=,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是(　　)
[A](1,2) [B](-1,0)
[C][1,2) [D][-1,2)
【答案】 D
【解析】 由题意知y==-1+,
因为x∈(m,n],故-1 (m,n],
若m≥-1,则y=-1+在(m,n]上单调递减,
故y=-1+的最小值为-1+=0,解得n=2,故-1≤m<2;
若n<-1,则y=-1+在(m,n]上单调递减,
故y=-1+的最小值为-1+=0,解得n=2,矛盾.故选D.
8.定义min{a,b}=设f(x)=min{|x-1|,x+1},则下列命题正确的是(　　)
①f(2)=1;
②f(x)在(0,1)上单调递减;
③当x≤0时,f(x)的最大值为1;
④不等式f(x)≥1的解集为{x|x≥2}.
[A]①③④ [B]①②④ [C]②③④ [D]①②③
【答案】 D
【解析】 令|x-1|≥x+1,解得x≤0或x≥4,
所以f(x)=min{|x-1|,x+1}=函数图象如图所示,
f(2)=|2-1|=1,①正确;
当x∈(0,1)时,f(x)=|x-1|=1-x在(0,1)上单调递减,②正确;
当x≤0时,f(x)=x+1在(-∞,0]上单调递增,最大值为f(0)=1,③正确;
不等式f(x)≥1的解集为{x|x=0或x≥2},④错误.故选D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　)
[A]y=2-x [B]y=x2+2
[C]y=- [D]y=|x|+1
【答案】 BD
【解析】 函数y=2-x不是偶函数,函数y=-是奇函数,不是偶函数,故可排除A,C选项;
函数y=x2+2,y=|x|+1均为偶函数,
二次函数y=x2+2在(0,+∞)上单调递增,
对于函数y=|x|+1,当x>0时,函数可化为y=x+1,在(0,+∞)上单调递增. 故选BD.
10.某学习小组在研究函数f(x)=的性质时,得出了下列结论,其中正确的是(　　)
[A]函数f(x)的图象关于原点对称
[B]函数f(x)的图象关于点(2,0)中心对称
[C]函数f(x)在(-2,0)上单调递增
[D]函数f(x)在[0,2)上的最大值为-
【答案】 CD
【解析】 由|x|-2≠0可知,x≠±2,
所以函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,2)∪(2,+∞),
所以f(x)=画出函数f(x)的大致图象,如图所示,
由图可知,函数f(x)的图象关于y轴对称,故A,B错误;
函数f(x)在(-2,0)上单调递增,故C正确;
函数f(x)在[0,2)上的最大值为-,故D正确.故选CD.
11.对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足下列条件:①f(x)在D上单调递增或单调递减;②存在区间[a,b] D,使得f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],那么把y=f(x)(x∈D)称为“闭函数”.下列结论正确的是(　　)
[A]函数y=x是“闭函数”
[B]函数y=x2+1是“闭函数”
[C]函数y=-x2(x≤0)是“闭函数”
[D]函数f(x)=(x>-1)是“闭函数”
【答案】 AC
【解析】 选项A,因为y=x是R上单调递增的一次函数,且在R上的任意子区间都满足新定义,所以A正确;
选项B,函数y=x2+1在定义域内不单调,不符合条件①,所以B错误;
选项C,该函数是图象开口向下的二次函数,且在区间(-∞,0]上单调递增,令f(x)=-x2,
若函数是“闭函数”,则一定有即解得满足新定义的闭区间是[-1,0],此时a=-1,b=0,所以C正确;
选项D,该函数在(-1,+∞)上单调递增,若满足新定义,则有即解得a=b=0,又a三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知a∈R,函数f(x)=若f(f())=3,则a=　　　　.
【答案】 2
【解析】 f(f())=f(6-4)=f(2)=|2-3|+a=3,故a=2.
13.若f(x)=|x-a|在区间[1,2]上单调递减,则a的取值范围是　　　　　.
【答案】 [2,+∞)
【解析】 函数f(x)=|x-a|=的减区间为(-∞,a],因为f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以a≥2.
14.已知函数f(x)是R上的奇函数,且f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(-5)=0,则不等式(x-3)f(x)>0的解集是　　　　　　　.
【答案】 {x|-5【解析】 由题得函数f(x)是R上的奇函数,且f(-5)=0,则f(5)=-f(-5)=0,
又函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,
则在区间(0,5)上,f(x)>0;在区间(5,+∞)上,f(x)<0,
又函数f(x)为奇函数,则在区间(-5,0)上,f(x)<0;在区间(-∞,-5)上,f(x)>0,
不等式(x-3)f(x)>0等价于或
则3四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
判断函数f(x)=(a>)在区间(-2,+∞)上的单调性,并证明你的结论.
【解】 当a>时,f(x)在(-2,+∞)上单调递增.理由如下:
任取x1,x2∈(-2,+∞),且x1则f(x2)-f(x1)=-
=
=
=,
因为-20,x1+2>0,x2+2>0,又a>,所以2a-1>0,所以f(x2)-f(x1)>0,
所以f(x1)故当a>时,函数f(x)在(-2,+∞)上单调递增.
16.(本小题满分15分)
已知函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=-3x2-2x,函数g(x)在R上是单调递增的一次函数,且满足g(g(x))=x+.
(1)证明: x∈R,f(x)(2)已知函数h(x)=在如图所示的平面直角坐标系中画出函数h(x)的图象.
(1)【证明】 由f(x)+2f(-x)=-3x2-2x,
得f(-x)+2f(x)=-3x2+2x,
联立消去f(-x)得f(x)=-x2+2x,
又函数g(x)在R上是单调递增的一次函数,设g(x)=kx+b(k>0),
则g(g(x))=g(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=x+,
即由k>0,解得
所以g(x)=x+1.
对于 x∈R,有f(x)-g(x)=-x2+2x-x-1=-x2+x-1=--≤-<0,
则f(x)综上, x∈R,f(x)(2)【解】 由(1)得,h(x)=
作出h(x)的函数图象,如图所示.
17.(本小题满分15分)
已知函数y=ax2-2ax+1+b(a>0).
(1)若a=b=1,求y在[t,t+1]上的最小值;
(2)若函数在区间[2,4]上的最大值为9,最小值为1,求实数a,b的值.
【解】 (1)当a=b=1时,函数y=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],
当t+1≤1,即t≤0时,函数在[t,t+1]上单调递减,当x=t+1时,ymin=t2+1;
当t≥1时,函数在[t,t+1]上单调递增,当x=t时,ymin=t2-2t+2;
当0故y在[t,t+1]上的最小值g(t)=
(2)由题意知函数的图象开口向上,且对称轴方程为x=1 [2,4],则函数在[2,4]上单调递增,
当x=2时,y取得最小值b+1;当x=4时,y取得最大值8a+1+b,
依题意,解得
所以实数a,b的值分别为1,0.
18.(本小题满分17分)
已知函数f(x)=x2+bx+c,且f(-1)=f(3),f(0)=-2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)已知a∈R,命题p:当0【解】 (1)由f(-1)=f(3),则函数f(x)的对称轴是直线x=-=1,解得b=-2,又f(0)=c=-2,
所以函数f(x)的解析式是f(x)=x2-2x-2.
(2)若p为真,则不等式f(x)+3<2x+a,即a>f(x)-2x+3=x2-4x+1对任意的x∈(0,1)恒成立,
而函数h(x)=x2-4x+1的图象开口向上,对称轴为直线x=2,h(x)在(0,1)上单调递减,且h(0)=1,则a≥1;
对于命题q,函数g(x)=f(x)-ax=x2-(a+2)x-2的图象开口向上,对称轴为直线x=,
若q为真,则g(x)在[-2,2]上是单调函数,即≤-2或≥2,解得a≤-6或a≥2.
由题意知,若p真q假,则1≤a<2;若p假q真,则a≤-6,
所以实数a的取值范围为(-∞,-6]∪[1,2).
19.(本小题满分17分)
已知函数f(x)=在[-b-1,2b]上是偶函数.
(1)求a,b;
(2)判断f(x)在[0,2]上的单调性,并用定义证明;
(3)若f(1-2m)>,求实数m的取值范围.
【解】 (1)由函数f(x)在[-b-1,2b]上是偶函数,则有-b-1+2b=0,解得b=1,所以f(x)=,
由f(x)在[-2,2]上是偶函数,得f(-2)=f(2),即=,得a=0,
当a=0时,f(x)=,故f(-x)==f(x) 符合题意,所以a=0,b=1.
(2)f(x)在[0,2]上单调递增,证明如下:
由(1)知当x∈[0,2]时,f(x)=,
设x1,x2为区间[0,2]上的任意两个值,且x1则f(x1)-f(x2)=-
=
=
=
= ,
因为0≤x10,x1x2-4<0,+4>0,+4>0,
则<0,即f(x1)-f(x2)<0,则f(x1)所以f(x)在[0,2]上单调递增.
(3)令=,即x2-5|x|+4=0,
当x≥0时,x2-5x+4=0,解得x=1或x=4;
当x<0时,x2+5x+4=0,解得x=-1或x=-4,
因为x∈[-2,2],所以x=±1,
由f(1-2m)>,转化为f(1-2m)>f(±1),
又f(x)是[-2,2]上的偶函数,即求f(|1-2m|)>f(1),
由(2)知f(x)在[0,2]上单调递增,则
解得-≤m<0或1故实数m的取值范围为[-,0)∪(1,].第5章　检测试题
(限时:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={0,1,2},B={-1,1,3},下列对应关系中,从A到B的函数为(　　)
[A]f:x→y=x [B]f:x→y=x2
[C]f:x→y=2x [D]f:x→y=2x-1
【答案】 D
【解析】 对于A,当x=0,1,2时,对应的y=x=0,1,2,所以选项A不能构成函数;
对于B,当x=0,1,2时,对应的y=x2=0,1,4,所以选项B不能构成函数;
对于C,当x=0,1,2时,对应的y=2x=0,2,4,所以选项C不能构成函数;
对于D,当x=0,1,2时,对应的y=2x-1=-1,1,3,所以选项D能构成函数.故选D.
2.函数f(x)=+(x-1)0的定义域为(　　)
[A](,+∞) [B](,1)∪(1,+∞)
[C][,1)∪(1,+∞) [D][-,+∞)
【答案】 B
【解析】 由已知得解得x>且x≠1,
所以函数f(x)=+(x-1)0的定义域为(,1)∪(1,+∞).故选B.
3.下列四组函数中,表示同一个函数的是(　　)
[A]f(x)=1,g(x)=x0
[B]f(x)=,g(x)=
[C]f(x)=,g(x)=x-2
[D]f(x)=|x+1|,g(x)=
【答案】 D
【解析】 对于A,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠0},即f(x)和g(x)的定义域不相同,从而f(x)和g(x)不是同一个函数,故A错误;对于B,函数f(x)=的定义域为R,函数g(x)=的定义域为{x|x≠0},即f(x)和g(x)的定义域不相同,从而f(x)和g(x)不是同一个函数,故B错误;对于C,f(x)的定义域为{x|x≠-2},g(x)的定义域为R,即f(x)和g(x)的定义域不相同,从而f(x)和g(x)不是同一个函数,故C错误;对于D,f(x)和g(x)的定义域均为R,f(x)=|x+1|=即f(x)和g(x)的定义域相同,对应关系相同,从而f(x)和g(x)是同一个函数,故D正确.故选D.
4.已知函数f(1-x)=(x≠0),则f(x)=(　　)
[A]-1(x≠0) [B]-1(x≠1)
[C]-1(x≠0) [D]-1(x≠1)
【答案】 B
【解析】 令t=1-x,则x=1-t,由于x≠0,则t≠1,
可得f(t)==-1(t≠1),
所以f(x)=-1(x≠1).故选B.
5.已知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,则f(a2-a+1)与f()的大小关系为(　　)
[A]f(a2-a+1)≥f()
[B]f(a2-a+1)≤f()
[C]f(a2-a+1)=f()
[D]不确定
【答案】 B
【解析】 因为a2-a+1=+≥,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,所以f(a2-a+1)≤f().故选B.
6.已知函数f(x)=若f(a-2)=f(a),则f()等于(　　)
[A]11 [B]6 [C]4 [D]2
【答案】 D
【解析】 因为f(x)=所以函数f(x)在(-∞,0]和(0,+∞)上均单调递增,
又f(a-2)=f(a),所以可得0由题意可得a2+a=5(a-2)+6,即a2-4a+4=0,解得a=2,满足题意,
所以f()=f(1)=12+1=2.故选D.
7.已知函数y=,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是(　　)
[A](1,2) [B](-1,0)
[C][1,2) [D][-1,2)
【答案】 D
【解析】 由题意知y==-1+,
因为x∈(m,n],故-1 (m,n],
若m≥-1,则y=-1+在(m,n]上单调递减,
故y=-1+的最小值为-1+=0,解得n=2,故-1≤m<2;
若n<-1,则y=-1+在(m,n]上单调递减,
故y=-1+的最小值为-1+=0,解得n=2,矛盾.故选D.
8.定义min{a,b}=设f(x)=min{|x-1|,x+1},则下列命题正确的是(　　)
①f(2)=1;
②f(x)在(0,1)上单调递减;
③当x≤0时,f(x)的最大值为1;
④不等式f(x)≥1的解集为{x|x≥2}.
[A]①③④ [B]①②④ [C]②③④ [D]①②③
【答案】 D
【解析】 令|x-1|≥x+1,解得x≤0或x≥4,
所以f(x)=min{|x-1|,x+1}=函数图象如图所示,
f(2)=|2-1|=1,①正确;
当x∈(0,1)时,f(x)=|x-1|=1-x在(0,1)上单调递减,②正确;
当x≤0时,f(x)=x+1在(-∞,0]上单调递增,最大值为f(0)=1,③正确;
不等式f(x)≥1的解集为{x|x=0或x≥2},④错误.故选D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　)
[A]y=2-x [B]y=x2+2
[C]y=- [D]y=|x|+1
【答案】 BD
【解析】 函数y=2-x不是偶函数,函数y=-是奇函数,不是偶函数,故可排除A,C选项;
函数y=x2+2,y=|x|+1均为偶函数,
二次函数y=x2+2在(0,+∞)上单调递增,
对于函数y=|x|+1,当x>0时,函数可化为y=x+1,在(0,+∞)上单调递增. 故选BD.
10.某学习小组在研究函数f(x)=的性质时,得出了下列结论,其中正确的是(　　)
[A]函数f(x)的图象关于原点对称
[B]函数f(x)的图象关于点(2,0)中心对称
[C]函数f(x)在(-2,0)上单调递增
[D]函数f(x)在[0,2)上的最大值为-
【答案】 CD
【解析】 由|x|-2≠0可知,x≠±2,
所以函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,2)∪(2,+∞),
所以f(x)=画出函数f(x)的大致图象,如图所示,
由图可知,函数f(x)的图象关于y轴对称,故A,B错误;
函数f(x)在(-2,0)上单调递增,故C正确;
函数f(x)在[0,2)上的最大值为-,故D正确.故选CD.
11.对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足下列条件:①f(x)在D上单调递增或单调递减;②存在区间[a,b] D,使得f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],那么把y=f(x)(x∈D)称为“闭函数”.下列结论正确的是(　　)
[A]函数y=x是“闭函数”
[B]函数y=x2+1是“闭函数”
[C]函数y=-x2(x≤0)是“闭函数”
[D]函数f(x)=(x>-1)是“闭函数”
【答案】 AC
【解析】 选项A,因为y=x是R上单调递增的一次函数,且在R上的任意子区间都满足新定义,所以A正确;
选项B,函数y=x2+1在定义域内不单调,不符合条件①,所以B错误;
选项C,该函数是图象开口向下的二次函数,且在区间(-∞,0]上单调递增,令f(x)=-x2,
若函数是“闭函数”,则一定有即解得满足新定义的闭区间是[-1,0],此时a=-1,b=0,所以C正确;
选项D,该函数在(-1,+∞)上单调递增,若满足新定义,则有即解得a=b=0,又a三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知a∈R,函数f(x)=若f(f())=3,则a=　　　　.
【答案】 2
【解析】 f(f())=f(6-4)=f(2)=|2-3|+a=3,故a=2.
13.若f(x)=|x-a|在区间[1,2]上单调递减,则a的取值范围是　　　　　.
【答案】 [2,+∞)
【解析】 函数f(x)=|x-a|=的减区间为(-∞,a],因为f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以a≥2.
14.已知函数f(x)是R上的奇函数,且f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(-5)=0,则不等式(x-3)f(x)>0的解集是　　　　　　　.
【答案】 {x|-5【解析】 由题得函数f(x)是R上的奇函数,且f(-5)=0,则f(5)=-f(-5)=0,
又函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,
则在区间(0,5)上,f(x)>0;在区间(5,+∞)上,f(x)<0,
又函数f(x)为奇函数,则在区间(-5,0)上,f(x)<0;在区间(-∞,-5)上,f(x)>0,
不等式(x-3)f(x)>0等价于或
则3四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
判断函数f(x)=(a>)在区间(-2,+∞)上的单调性,并证明你的结论.
【解】 当a>时,f(x)在(-2,+∞)上单调递增.理由如下:
任取x1,x2∈(-2,+∞),且x1则f(x2)-f(x1)=-
=
=
=,
因为-20,x1+2>0,x2+2>0,又a>,所以2a-1>0,所以f(x2)-f(x1)>0,
所以f(x1)故当a>时,函数f(x)在(-2,+∞)上单调递增.
16.(本小题满分15分)
已知函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=-3x2-2x,函数g(x)在R上是单调递增的一次函数,且满足g(g(x))=x+.
(1)证明: x∈R,f(x)(2)已知函数h(x)=在如图所示的平面直角坐标系中画出函数h(x)的图象.
(1)【证明】 由f(x)+2f(-x)=-3x2-2x,
得f(-x)+2f(x)=-3x2+2x,
联立消去f(-x)得f(x)=-x2+2x,
又函数g(x)在R上是单调递增的一次函数,设g(x)=kx+b(k>0),
则g(g(x))=g(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=x+,
即由k>0,解得
所以g(x)=x+1.
对于 x∈R,有f(x)-g(x)=-x2+2x-x-1=-x2+x-1=--≤-<0,
则f(x)综上, x∈R,f(x)(2)【解】 由(1)得,h(x)=
作出h(x)的函数图象,如图所示.
17.(本小题满分15分)
已知函数y=ax2-2ax+1+b(a>0).
(1)若a=b=1,求y在[t,t+1]上的最小值;
(2)若函数在区间[2,4]上的最大值为9,最小值为1,求实数a,b的值.
【解】 (1)当a=b=1时,函数y=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],
当t+1≤1,即t≤0时,函数在[t,t+1]上单调递减,当x=t+1时,ymin=t2+1;
当t≥1时,函数在[t,t+1]上单调递增,当x=t时,ymin=t2-2t+2;
当0故y在[t,t+1]上的最小值g(t)=
(2)由题意知函数的图象开口向上,且对称轴方程为x=1 [2,4],则函数在[2,4]上单调递增,
当x=2时,y取得最小值b+1;当x=4时,y取得最大值8a+1+b,
依题意,解得
所以实数a,b的值分别为1,0.
18.(本小题满分17分)
已知函数f(x)=x2+bx+c,且f(-1)=f(3),f(0)=-2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)已知a∈R,命题p:当0【解】 (1)由f(-1)=f(3),则函数f(x)的对称轴是直线x=-=1,解得b=-2,又f(0)=c=-2,
所以函数f(x)的解析式是f(x)=x2-2x-2.
(2)若p为真,则不等式f(x)+3<2x+a,即a>f(x)-2x+3=x2-4x+1对任意的x∈(0,1)恒成立,
而函数h(x)=x2-4x+1的图象开口向上,对称轴为直线x=2,h(x)在(0,1)上单调递减,且h(0)=1,则a≥1;
对于命题q,函数g(x)=f(x)-ax=x2-(a+2)x-2的图象开口向上,对称轴为直线x=,
若q为真,则g(x)在[-2,2]上是单调函数,即≤-2或≥2,解得a≤-6或a≥2.
由题意知,若p真q假,则1≤a<2;若p假q真,则a≤-6,
所以实数a的取值范围为(-∞,-6]∪[1,2).
19.(本小题满分17分)
已知函数f(x)=在[-b-1,2b]上是偶函数.
(1)求a,b;
(2)判断f(x)在[0,2]上的单调性,并用定义证明;
(3)若f(1-2m)>,求实数m的取值范围.
【解】 (1)由函数f(x)在[-b-1,2b]上是偶函数,则有-b-1+2b=0,解得b=1,所以f(x)=,
由f(x)在[-2,2]上是偶函数,得f(-2)=f(2),即=,得a=0,
当a=0时,f(x)=,故f(-x)==f(x) 符合题意,所以a=0,b=1.
(2)f(x)在[0,2]上单调递增,证明如下:
由(1)知当x∈[0,2]时,f(x)=,
设x1,x2为区间[0,2]上的任意两个值,且x1则f(x1)-f(x2)=-
=
=
=
= ,
因为0≤x10,x1x2-4<0,+4>0,+4>0,
则<0,即f(x1)-f(x2)<0,则f(x1)所以f(x)在[0,2]上单调递增.
(3)令=,即x2-5|x|+4=0,
当x≥0时,x2-5x+4=0,解得x=1或x=4;
当x<0时,x2+5x+4=0,解得x=-1或x=-4,
因为x∈[-2,2],所以x=±1,
由f(1-2m)>,转化为f(1-2m)>f(±1),
又f(x)是[-2,2]上的偶函数,即求f(|1-2m|)>f(1),
由(2)知f(x)在[0,2]上单调递增,则
解得-≤m<0或1故实数m的取值范围为[-,0)∪(1,].

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