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第8章　检测试题
(限时:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知下列四个函数图象,其中能用二分法求出函数零点的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 由二分法的定义易知A正确.故选A.
2.在一次数学实验中,某同学运用图形计算器采集到如下一组数据:
x 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
y -2.0 -1.0 0 1.00 2.0 3.0
在下列四个函数模型(a,b为待定系数)中,最能反映x,y函数关系的是(　　)
[A]y=a+bx [B]y=a+bx
[C]y=a+logbx [D]y=a+
【答案】 C
【解析】 由题意,作出散点图如图所示,
由散点图可知,散点图和对数函数图象接近,可选择y=a+logb x反映x,y的函数关系.
故选C.
3.用二分法求方程f(x)=0在区间(1,2)上的唯一实数解x0时,经计算得f(1)=,f(2)=-5,
f() =9,则下列结论正确的是(　　)
[A]x0∈(1,) [B]x0=-
[C]x0∈(,2) [D]x0=1
【答案】 C
【解析】 由于f()·f(2)<0,则x0∈(,2).故选C.
4.设函数f(x)=ln x-x2+1(x>0),则函数y=f(x)(　　)
[A]在区间(0,1),(1,2)上均有零点
[B]在区间(0,1)上有零点,在区间(1,2)上无零点
[C]在区间(0,1),(1,2)上均无零点
[D]在区间(0,1)上无零点,在区间(1,2)上有零点
【答案】 A
【解析】 f()=ln -×()2+1<0,f(1)=ln 1-+1>0,f(2)=ln 2-2+1<0.故选A.
5.已知一种放射性物质不断变化为其他物质,且每经过一年,剩留的物质约是原来的.若经过x年,剩留的物质是原来的,则x为(　　)
[A]2 [B]3 [C]4 [D]5
【答案】 B
【解析】 先求剩留量y随时间x(单位:年)变化的函数关系式,设物质最初的质量为1,则经过1年,y=1×=,经过2年,y=×=()2,…,那么经过x年,y=()x.依题意得()x=,解得x=3.故选B.
6.在固定电压差(电压为常数)的前提下,当电流通过圆柱形的电线时,其电流强度I与电线半径r的三次方成正比.若已知电流通过半径为4 mm的电线时,电流强度为320 A,则电流通过半径为3 mm的电线时,电流强度为(　　)
[A]60 A [B]240 A [C]75 A [D]135 A
【答案】 D
【解析】 由已知,设比例常数为k,则I=k·r3.当r=4 mm时,I=320 A,故有320=k×43,解得k==5,所以I=5r3.故当r=3 mm时,I=5×33=135(A).故选D.
7.某机构对一种病毒在特定环境下进行观测,每隔单位时间T进行一次记录,用x(x∈N*)表示经过的单位时间数,用y表示病毒感染人数,得到的观测数据如下表:
x 1 2 3 4 5 6 …
y … 6 … 36 … 216 …
若y与x的关系有两个函数模型可供选择:①y=mx2+n;②y=k·ax(k>0,a>1).若经过M个单位时间,该病毒的感染人数不少于1万人,则M的最小值为(参考数据:≈1.41,≈1.73,lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)(　　)
[A]9 [B]10 [C]11 [D]12
【答案】 C
【解析】 若选y=mx2+n,将和代入得解得所以y=x2-4,代入x=6得y=86≠216,不符合题意.若选y=k·ax(k>0,a>1),将和代入得
解得所以y=,代入x=6得y=216,符合题意.依题意可得≥10 000,即M lg ≥4,则M(lg 2+lg 3)≥8,又lg 2≈0.30,lg 3≈0.48,所以M≥≈10.256,因为M∈N*,所以M的最小值为11.故选C.
8.已知f(x)=若x1[A](0,2] [B](0,]
[C][0,8] [D](0,64]
【答案】 C
【解析】 f(x)=其图象如图所示.
设f(x1)=f(x2)=f(x3)=a,则a∈(0,4],
且x1=-,x2=-,x3=,
所以=a·≥0,=a·≤=8,
当且仅当a=,即a=2时,等号成立,
所以∈[0,8].故选C.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列函数中,是奇函数且存在零点的有(　　)
[A]y=x3+x [B]y=log2x
[C]y=2x2-3 [D]y=x|x|
【答案】 AD
【解析】 A中,y=x3+x为奇函数,且存在零点x=0,与题意相符;B中,y=log2x为非奇非偶函数,与题意不符;C中,y=2x2-3为偶函数,与题意不符;D中,y=x|x|是奇函数,且存在零点x=0,与题意相符.故选AD.
10.假设某市2024年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元的年份可能是(参考数据:lg 1.2≈0.079,lg 2≈0.301)(　　)
[A]2028年 [B]2029年
[C]2030年 [D]2031年
【答案】 CD
【解析】 设经过n年之后该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元,则投入的资金为y=5 000×(1+20%)n,由题意可得y=5 000×(1+20%)n>12 800,即1.2n>2.56,所以nlg 1.2>
lg 2.56=lg 28-2,所以n>≈≈5.16,因为n∈Z,所以n≥6,即从2030年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元.故选CD.
11.已知函数f(x)=下列是关于函数y=f(f(x))+1的零点个数的四个判断,其中正确的是(　　)
[A]当k>0时,有3个零点
[B]当k<0时,有2个零点
[C]当k>0时,有4个零点
[D]当k<0时,有1个零点
【答案】 CD
【解析】 由y=f(f(x))+1=0,得f(f(x))=-1,设f(x)=t,则方程f(f(x))=-1等价于f(t)=-1.
若k>0,作出函数f(x)的图象如图(1)所示,此时方程f(t)=-1有两个根,其中t2<0,t1=.由f(x)=t2<0,知此时x有两解,由f(x)=t1=,知此时x有两解,此时共有4个解,即函数y=f(f(x))+1有4个零点.
若k<0,作出函数f(x)的图象如图(2)所示.此时方程f(t)=-1有一个根t3,且t3=,由f(x)=t3=,知此时x只有1个解,即函数y=f(f(x))+1有1个零点.故选CD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间(2,4)上的实数根时,取中点x1=3,则下一个有根区间是　　　　.
【答案】 (2,3)
【解析】 设f(x)=x3-2x-5,则f(2)<0,f(3)>0,f(4)>0,有f(2)·f(3)<0,则下一个有根区间是(2,3).
13.若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a的取值范围是　　　　.
【答案】 [-,2]
【解析】 因为函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,
所以方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解,
即方程a=4x-2x在[-1,1]上有解.
方程a=4x-2x可变形为a=(2x-)2-,
因为x∈[-1,1],所以2x∈[,2],
所以(2x-)2-∈[-,2].
所以实数a的取值范围是[-,2].
14.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是　　　　.
【答案】 (1,2)
【解析】 关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,等价于函数f(x)与函数y=k的图象有两个不同的交点,作出函数的图象如图所示,由图可知实数k的取值范围是(1,2).
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
设函数f(x)=求函数g(x)=f(x)-的零点.
【解】 求函数g(x)=f(x)-的零点,
即求方程f(x)-=0的根.
当x≥1时,由2x-2-=0得x=;
当x<1时,由x2-2x-=0得x=(舍去)或x=.
所以函数g(x)=f(x)-的零点是和.
16.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=ax2+2x-2-a(a≤0).
(1)若a=-1,求函数的零点;
(2)若函数在区间(0,1]上恰有一个零点,求a的取值范围.
【解】 (1)当a=-1时,f(x)=-x2+2x-1,
令f(x)=-x2+2x-1=0,解得x=1,
所以当a=-1时,函数f(x)的零点是1.
(2)①当a=0时,2x-2=0得x=1,符合题意.
②当a<0时,f(x)=ax2+2x-2-a=a(x-1)·(x+)=0,则x1=1,x2=-,
由于函数在区间(0,1]上恰有一个零点,
则-≥1或-≤0,
解得-1≤a<0或a≤-2.
综上可得,a的取值范围为(-∞,-2]∪[-1,0].
17.(本小题满分15分)
某科研单位在研发钨合金产品的过程中发现了一种新合金材料,由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新合金材料的含量x(单位:g)的关系为:当0≤x<6时,y是x的二次函数;当x≥6时,y=()x-t.测得数据如下表(部分).
x/g 0 1 2 9 …
y 0 3 …
(1)求y关于x的函数关系式y=f(x);
(2)求函数f(x)的最大值.
【解】 (1)当0≤x<6时,
由题意,设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由题中表格数据可得
解得
所以当0≤x<6时,
f(x)=-x2+2x.
当x≥6时,f(x)=()x-t,
由题中表格数据可得,
f(9)=()9-t=,解得t=7,
所以当x≥6时,f(x)=()x-7.
综上,f(x)=
(2)当0≤x<6时,
f(x)=-x2+2x=-(x-4)2+4,
所以当x=4时,函数f(x)取得最大值4;
当x≥6时,f(x)=()x-7单调递减,
所以f(x)的最大值为f(6)=()6-7=3,
因为4>3,
所以函数f(x)的最大值为4.
18.(本小题满分17分)
某化工厂一天中污水污染指数f(x)与时刻x(单位:时)的函数关系为f(x)=|log25(x+1)-a|+
2a+1,x∈[0,24],其中a为污水治理调节参数,且a∈(0,1).
(1)若a=,求一天中哪个时刻污水污染指数最低.
(2)规定一天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数,要使该厂每天的污水污染指数不超过3,则调节参数a应控制在什么范围内
【解】 (1)因为a=,
所以f(x)=|log25(x+1)-|+2≥2.
当f(x)=2时,log25(x+1)-=0,
得x+1=2=5,即x=4.
所以一天中早上4时该厂的污水污染指数最低.
(2)设t=log25(x+1),则当0≤x≤24时,0≤t≤1.
设g(t)=|t-a|+2a+1,t∈[0,1],
则g(t)=
显然g(t)在[0,a]上单调递减,在(a,1]上单调递增,
则f(x)max=max{g(0),g(1)},
因为g(0)=3a+1,g(1)=a+2,
所以有
解得a≤,
又a∈(0,1),故调节参数a应控制在(0,]内.
19.(本小题满分17分)
已知f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且满足f(x)-g(x)=21-x.
(1)求f(x),g(x);
(2)若h(x)=|[f(x)+g(x)]-1|,且方程[h(x)]2-2k·h(x)+k-=0有三个解,求实数k的取值范围.
【解】 (1)因为f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
由f(x)-g(x)=21-x,①
得f(-x)-g(-x)=21+x,即f(x)+g(x)=21+x,②
①+②可得f(x)=2x+2-x,
①-②可得g(x)=2x-2-x.
(2)由(1)得h(x)=|[f(x)+g(x)]-1|=|2x-1|,
方程[h(x)]2-2k·h(x)+k-=[h(x)-][h(x)-2(k-)]=0,
可得h(x)=或h(x)=2(k-),
即|2x-1|=或|2x-1|=2(k-).
当|2x-1|=时,由图可得y=|2x-1|与y=的图象有两个交点,
所以要使方程[h(x)]2-2k·h(x)+k-=0有三个解,
只需|2x-1|=2(k-)有一解即可,
即y=|2x-1|与y=2(k-)的图象只有一个交点即可,
由图象可得y=2(k-)≥1或y=2(k-)=0,
解得k≥或k=.
综上,实数k的取值范围为{k|k≥或k=}.(共30张PPT)
章末复习提升
主干知识回顾
『网络构建』
『知识辨析』
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
1.若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为(x1,0),(x2,0).
(　 　)
2.在闭区间[a,b]上连续的曲线y=f(x),若f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内仅有一个零点.(　 　)
3.二分法所求出的方程的解都是近似解.(　 　)
4.函数f(x)=|x|可以用二分法求零点.(　 　)
×
×
×
×
5.函数y=log2x比y=2x增长的速度更快一些.(　 　)
6.当a>1,n>0时,在区间(0,+∞)上,对任意的x,总有logax8.在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.(　 　)
×
×
√
√
核心题型突破
题型一　函数零点及其所在区间的判断
[A](0,1) [B](1,2)
[C](2,3) [D](3,4)
C
·规律方法·
判断函数零点所在区间的方法
(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程.
(2)利用函数零点存在定理求解.
(3)数形结合法,画出相应函数图象,观察与x轴的交点来判断,或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断.
[跟踪训练] (1)若a[A](a,b)和(b,c)内
[B](-∞,a)和(a,b)内
[C](b,c)和(c,+∞)内
[D](-∞,a)和(c,+∞)内
A
【解析】 (1)因为a0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=
(c-a)·(c-b)>0,由函数零点存在定理可知,在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点,因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内.故选A.
[A]x2[C]x1B
题型二　函数零点个数的判断与应用
D
(1)函数零点个数的判断.
对于一般函数的零点个数的判断问题,不仅要用函数零点存在定理来判断区间[a,b]上是否有f(a)·f(b)<0,还需要结合函数的图象和单调性来判断零点个数.
①若函数f(x)在[a,b]上单调,且f(a)·f(b)<0,则f(x)存在零点,且在(a,b)上只有1个零点;
②若通过构造函数f(x)=g(x)-h(x),且g(x),h(x)图象容易作出,则f(x)的零点个数就是g(x)与h(x)图象交点个数,通过作图容易得到f(x)的零点个数.
·规律方法·
(2)已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路.
①直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围;
②分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域的问题加以解决;
③数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.
·规律方法·
D
(2)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是　　　　.
题型三　函数的实际应用
(1)求该火箭的最大速度y与燃料质量x之间的函数关系式;
(2)已知该火箭的起飞质量M是479.8 t,则应装载多少吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s (结果保留一位有效数字)(参考数据:e≈2.718)
(1)建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤.
①对实际问题进行抽象概括,确定变量之间的主被动关系,并用x,y分别表示;
②建立函数模型,将变量y表示为x的函数,此时要注意函数的定义域;
③求解函数模型,并还原为实际问题的解.
·规律方法·
(2)建立函数模型应遵循的三个原则.
①简化原则:建立函数模型,原型一定要简化,抓主要因素,主要变量,尽量建立较低阶、较简便的模型;
②可推演原则:建立模型,一定要有意义,既能作理论分析,又能计算、推理,且能得出正确结论;
③反映性原则:建立模型,应与原型具有“相似性”,所得模型的解应具有说明问题的功能,能回到具体问题中解决问题.
·规律方法·
[跟踪训练]某种洗衣机在洗涤衣服时,需经过进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程,假设进水时水量匀速增加,清洗时水量保持不变.已知进水时间为4 min,清洗时间为12 min,排水时间为2 min,脱水时间为2 min,洗衣机中的水量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如下表:
x 0 2 4 16 16.5 17 18 …
y 0 20 40 40 29.5 20 2 …
请根据表中提供的信息解答下列问题:
(1)试写出当x∈[0,16]时,y关于x的函数解析式,并画出该函数的图象;
(3)请问(2)中求出的两个函数哪一个更接近实际情况 (写出必要的步骤)
y2=2.923(x-20)2-6.308.
得y1≈39.6,y2=40.46,
题表中的实际情况为当x=16时,y=40.
|40-39.6|=0.4<|40-40.46|=0.46.章末复习提升
网络构建
知识辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
1.若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为(x1,0),(x2,0).(　×　)
2.在闭区间[a,b]上连续的曲线y=f(x),若f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内仅有一个零点.(　×　)
3.二分法所求出的方程的解都是近似解.(　×　)
4.函数f(x)=|x|可以用二分法求零点.(　×　)
5.函数y=log2x比y=2x增长的速度更快一些.(　×　)
6.当a>1,n>0时,在区间(0,+∞)上,对任意的x,总有logax7.函数y=lox衰减的速度越来越慢.(　√　)
8.在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.(　√　)
题型一　函数零点及其所在区间的判断
[例1] 已知函数f(x)=ln x-() x-2的零点为x0,则x0所在的区间是(　　)
[A](0,1) [B](1,2)
[C](2,3) [D](3,4)
【答案】 C
【解析】 因为f(x)=ln x-() x-2在(0,+∞)上是增函数,又f(1)=ln 1-()-1=ln 1-2<0,f(2)=ln 2-
()0<0,f(3)=ln 3-()1>0,所以x0∈(2,3).故选C.
判断函数零点所在区间的方法
(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程.
(2)利用函数零点存在定理求解.
(3)数形结合法,画出相应函数图象,观察与x轴的交点来判断,或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断.
[跟踪训练] (1)若a[A](a,b)和(b,c)内
[B](-∞,a)和(a,b)内
[C](b,c)和(c,+∞)内
[D](-∞,a)和(c,+∞)内
(2)已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是(　　)
[A]x2[C]x1【答案】 (1)A　(2)B
【解析】 (1)因为a0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)·(c-b)>0,由函数零点存在定理可知,在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点,因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内.故选A.
(2)令y1=2x,y2=ln x,y3=--1,因为函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则y1=2x,y2=ln x,y3=--1的图象与直线y=-x的交点的横坐标分别为x1,x2,x3,在同一平面直角坐标系中分别作出函数y1=2x,y2=ln x,y3=--1及y=-x的图象如图所示,结合图象可得x1题型二　函数零点个数的判断与应用
[例2] 已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,则k的取值范围是(　　)
[A](-∞,-)∪(2,+∞)
[B](-∞,-)∪(0,2)
[C](-∞,0)∪(0,2)
[D](-∞,0)∪(2,+∞)
【答案】 D
【解析】 注意到g(0)=0,所以要使g(x)恰有4个零点,只需方程|kx-2|=恰有3个实根即可,令h(x)=,即y=|kx-2|与h(x)=的图象有3个不同的交点.
因为h(x)==
当k=0时,此时y=|kx-2|=2,如图(1),y=2与h(x)=的图象有1个交点,不满足题意;
当k<0时,如图(2),此时y=|kx-2|与h(x)=的图象恒有3个不同的交点,满足题意;
当k>0时,如图(3),当y=kx-2与y=x2相切时,联立方程得x2-kx+2=0,
令Δ=0得k2-8=0,解得k=2(负值舍去),所以k>2.综上,k的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞).故选D.
(1)函数零点个数的判断.
对于一般函数的零点个数的判断问题,不仅要用函数零点存在定理来判断区间[a,b]上是否有f(a)·f(b)<0,还需要结合函数的图象和单调性来判断零点个数.
①若函数f(x)在[a,b]上单调,且f(a)·f(b)<0,则f(x)存在零点,且在(a,b)上只有1个零点;
②若通过构造函数f(x)=g(x)-h(x),且g(x),h(x)图象容易作出,则f(x)的零点个数就是g(x)与h(x)图象交点个数,通过作图容易得到f(x)的零点个数.
(2)已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路.
①直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值
范围;
②分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域的问题加以解决;
③数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.
[跟踪训练](1)已知函数f(x)=则函数 f(x)的零点的个数为(　　)
[A]0 [B]1 [C]2 [D]3
(2)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是　　　　.
【答案】 (1)D　(2)(,1)
【解析】 (1)由得x=0,由得x=,所以函数f(x)的零点的个数为3.故选D.
(2)画出函数f(x)的图象,如图所示.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数f(x),g(x)的图象有两个交点,由图可知题型三　函数的实际应用
[例3] 已知火箭的起飞质量M是箭体(包括搭载的飞行器)的质量m(单位:t)和燃料质量x(单位:t)之和.在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y(单位:km/s)关于燃料质量x(单位:t)的函数关系式为y=k[ln(m+x)-ln(m)]+4ln 2(其中k≠0).当燃料质量为(-1)m t时,该火箭的最大速度为4 km/s.
(1)求该火箭的最大速度y与燃料质量x之间的函数关系式;
(2)已知该火箭的起飞质量M是479.8 t,则应装载多少吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s (结果保留一位有效数字)(参考数据:e≈2.718)
【解】 (1)由题意得4=k{ln[m+(-1)m]-ln(m)}+4ln 2,
即4-4ln 2=k{ln[m+(-1)m]-ln(m)},
即4ln e-4ln 2=k[ln(m)-ln(m)],
化简得4ln =kln ,即ln()4=ln(),
所以k=4,解得k=8,
所以y=8[ln(m+x)-ln(m)]+4ln 2=8ln,x>0.
(2)由已知得M=m+x=479.8,则m=479.8-x,
又y=8,则8=8ln,解得x≈303.3.
故应装载大约303.3 t燃料,才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s.
(1)建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤.
①对实际问题进行抽象概括,确定变量之间的主被动关系,并用x,y分别表示;
②建立函数模型,将变量y表示为x的函数,此时要注意函数的定义域;
③求解函数模型,并还原为实际问题的解.
(2)建立函数模型应遵循的三个原则.
①简化原则:建立函数模型,原型一定要简化,抓主要因素,主要变量,尽量建立较低阶、较简便的模型;
②可推演原则:建立模型,一定要有意义,既能作理论分析,又能计算、推理,且能得出正确
结论;
③反映性原则:建立模型,应与原型具有“相似性”,所得模型的解应具有说明问题的功能,能回到具体问题中解决问题.
[跟踪训练]某种洗衣机在洗涤衣服时,需经过进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程,假设进水时水量匀速增加,清洗时水量保持不变.已知进水时间为4 min,清洗时间为12 min,排水时间为2 min,脱水时间为2 min,洗衣机中的水量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如下表:
x 0 2 4 16 16.5 17 18 …
y 0 20 40 40 29.5 20 2 …
请根据表中提供的信息解答下列问题:
(1)试写出当x∈[0,16]时,y关于x的函数解析式,并画出该函数的图象;
(2)根据排水阶段的2 min点(x,y)的分布情况,可选用y=+b或y=c(x-20)2+d(其中a,b,c,d为常数)作为在排水阶段的2 min内水量y与时间x之间关系的模拟函数,试分别求出这两个函数的解析式;
(3)请问(2)中求出的两个函数哪一个更接近实际情况 (写出必要的步骤)
【解】 (1)由题意,进水时水量匀速增加,设此时函数满足y=kx,
由表可知当x=2时,y=20,所以y=10x,
因为清洗时水量保持不变,
所以清洗的12 min,y=40,
故y=
函数图象如图所示.
(2)①设y=+b,由题表中的数据可得,
解得
所以函数的解析式为y=-293.5,16②设y=c(x-20)2+d,由题表中的数据可得
解得
所以函数的解析式为y=2.923(x-20)2-6.308,16(3)将x=18分别代入y1=-293.5,
y2=2.923(x-20)2-6.308
得y1≈2.6,y2=5.384;
题表中的实际情况为当x=18时,y=2,|2-2.6|=0.6<|2-5.384|=3.384,
显然函数y=-293.5更接近实际情况.
(或将x=16分别代入y1=-293.5,
y2=2.923(x-20)2-6.308.
得y1≈39.6,y2=40.46,
题表中的实际情况为当x=16时,y=40.
|40-39.6|=0.4<|40-40.46|=0.46.
所以y=-293.5更接近实际情况.)
第8章　检测试题
(限时:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知下列四个函数图象,其中能用二分法求出函数零点的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 由二分法的定义易知A正确.故选A.
2.在一次数学实验中,某同学运用图形计算器采集到如下一组数据:
x 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
y -2.0 -1.0 0 1.00 2.0 3.0
在下列四个函数模型(a,b为待定系数)中,最能反映x,y函数关系的是(　　)
[A]y=a+bx [B]y=a+bx
[C]y=a+logbx [D]y=a+
【答案】 C
【解析】 由题意,作出散点图如图所示,
由散点图可知,散点图和对数函数图象接近,可选择y=a+logb x反映x,y的函数关系.
故选C.
3.用二分法求方程f(x)=0在区间(1,2)上的唯一实数解x0时,经计算得f(1)=,f(2)=-5,
f() =9,则下列结论正确的是(　　)
[A]x0∈(1,) [B]x0=-
[C]x0∈(,2) [D]x0=1
【答案】 C
【解析】 由于f()·f(2)<0,则x0∈(,2).故选C.
4.设函数f(x)=ln x-x2+1(x>0),则函数y=f(x)(　　)
[A]在区间(0,1),(1,2)上均有零点
[B]在区间(0,1)上有零点,在区间(1,2)上无零点
[C]在区间(0,1),(1,2)上均无零点
[D]在区间(0,1)上无零点,在区间(1,2)上有零点
【答案】 A
【解析】 f()=ln -×()2+1<0,f(1)=ln 1-+1>0,f(2)=ln 2-2+1<0.故选A.
5.已知一种放射性物质不断变化为其他物质,且每经过一年,剩留的物质约是原来的.若经过x年,剩留的物质是原来的,则x为(　　)
[A]2 [B]3 [C]4 [D]5
【答案】 B
【解析】 先求剩留量y随时间x(单位:年)变化的函数关系式,设物质最初的质量为1,则经过1年,y=1×=,经过2年,y=×=()2,…,那么经过x年,y=()x.依题意得()x=,解得x=3.故选B.
6.在固定电压差(电压为常数)的前提下,当电流通过圆柱形的电线时,其电流强度I与电线半径r的三次方成正比.若已知电流通过半径为4 mm的电线时,电流强度为320 A,则电流通过半径为3 mm的电线时,电流强度为(　　)
[A]60 A [B]240 A [C]75 A [D]135 A
【答案】 D
【解析】 由已知,设比例常数为k,则I=k·r3.当r=4 mm时,I=320 A,故有320=k×43,解得k==5,所以I=5r3.故当r=3 mm时,I=5×33=135(A).故选D.
7.某机构对一种病毒在特定环境下进行观测,每隔单位时间T进行一次记录,用x(x∈N*)表示经过的单位时间数,用y表示病毒感染人数,得到的观测数据如下表:
x 1 2 3 4 5 6 …
y … 6 … 36 … 216 …
若y与x的关系有两个函数模型可供选择:①y=mx2+n;②y=k·ax(k>0,a>1).若经过M个单位时间,该病毒的感染人数不少于1万人,则M的最小值为(参考数据:≈1.41,≈1.73,lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)(　　)
[A]9 [B]10 [C]11 [D]12
【答案】 C
【解析】 若选y=mx2+n,将和代入得解得所以y=x2-4,代入x=6得y=86≠216,不符合题意.若选y=k·ax(k>0,a>1),将和代入得
解得所以y=,代入x=6得y=216,符合题意.依题意可得≥10 000,即M lg ≥4,则M(lg 2+lg 3)≥8,又lg 2≈0.30,lg 3≈0.48,所以M≥≈10.256,因为M∈N*,所以M的最小值为11.故选C.
8.已知f(x)=若x1[A](0,2] [B](0,]
[C][0,8] [D](0,64]
【答案】 C
【解析】 f(x)=其图象如图所示.
设f(x1)=f(x2)=f(x3)=a,则a∈(0,4],
且x1=-,x2=-,x3=,
所以=a·≥0,=a·≤=8,
当且仅当a=,即a=2时,等号成立,
所以∈[0,8].故选C.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列函数中,是奇函数且存在零点的有(　　)
[A]y=x3+x [B]y=log2x
[C]y=2x2-3 [D]y=x|x|
【答案】 AD
【解析】 A中,y=x3+x为奇函数,且存在零点x=0,与题意相符;B中,y=log2x为非奇非偶函数,与题意不符;C中,y=2x2-3为偶函数,与题意不符;D中,y=x|x|是奇函数,且存在零点x=0,与题意相符.故选AD.
10.假设某市2024年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元的年份可能是(参考数据:lg 1.2≈0.079,lg 2≈0.301)(　　)
[A]2028年 [B]2029年
[C]2030年 [D]2031年
【答案】 CD
【解析】 设经过n年之后该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元,则投入的资金为y=5 000×(1+20%)n,由题意可得y=5 000×(1+20%)n>12 800,即1.2n>2.56,所以nlg 1.2>
lg 2.56=lg 28-2,所以n>≈≈5.16,因为n∈Z,所以n≥6,即从2030年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元.故选CD.
11.已知函数f(x)=下列是关于函数y=f(f(x))+1的零点个数的四个判断,其中正确的是(　　)
[A]当k>0时,有3个零点
[B]当k<0时,有2个零点
[C]当k>0时,有4个零点
[D]当k<0时,有1个零点
【答案】 CD
【解析】 由y=f(f(x))+1=0,得f(f(x))=-1,设f(x)=t,则方程f(f(x))=-1等价于f(t)=-1.
若k>0,作出函数f(x)的图象如图(1)所示,此时方程f(t)=-1有两个根,其中t2<0,t1=.由f(x)=t2<0,知此时x有两解,由f(x)=t1=,知此时x有两解,此时共有4个解,即函数y=f(f(x))+1有4个零点.
若k<0,作出函数f(x)的图象如图(2)所示.此时方程f(t)=-1有一个根t3,且t3=,由f(x)=t3=,知此时x只有1个解,即函数y=f(f(x))+1有1个零点.故选CD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间(2,4)上的实数根时,取中点x1=3,则下一个有根区间是　　　　.
【答案】 (2,3)
【解析】 设f(x)=x3-2x-5,则f(2)<0,f(3)>0,f(4)>0,有f(2)·f(3)<0,则下一个有根区间是(2,3).
13.若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a的取值范围是　　　　.
【答案】 [-,2]
【解析】 因为函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,
所以方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解,
即方程a=4x-2x在[-1,1]上有解.
方程a=4x-2x可变形为a=(2x-)2-,
因为x∈[-1,1],所以2x∈[,2],
所以(2x-)2-∈[-,2].
所以实数a的取值范围是[-,2].
14.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是　　　　.
【答案】 (1,2)
【解析】 关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,等价于函数f(x)与函数y=k的图象有两个不同的交点,作出函数的图象如图所示,由图可知实数k的取值范围是(1,2).
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
设函数f(x)=求函数g(x)=f(x)-的零点.
【解】 求函数g(x)=f(x)-的零点,
即求方程f(x)-=0的根.
当x≥1时,由2x-2-=0得x=;
当x<1时,由x2-2x-=0得x=(舍去)或x=.
所以函数g(x)=f(x)-的零点是和.
16.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=ax2+2x-2-a(a≤0).
(1)若a=-1,求函数的零点;
(2)若函数在区间(0,1]上恰有一个零点,求a的取值范围.
【解】 (1)当a=-1时,f(x)=-x2+2x-1,
令f(x)=-x2+2x-1=0,解得x=1,
所以当a=-1时,函数f(x)的零点是1.
(2)①当a=0时,2x-2=0得x=1,符合题意.
②当a<0时,f(x)=ax2+2x-2-a=a(x-1)·(x+)=0,则x1=1,x2=-,
由于函数在区间(0,1]上恰有一个零点,
则-≥1或-≤0,
解得-1≤a<0或a≤-2.
综上可得,a的取值范围为(-∞,-2]∪[-1,0].
17.(本小题满分15分)
某科研单位在研发钨合金产品的过程中发现了一种新合金材料,由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新合金材料的含量x(单位:g)的关系为:当0≤x<6时,y是x的二次函数;当x≥6时,y=()x-t.测得数据如下表(部分).
x/g 0 1 2 9 …
y 0 3 …
(1)求y关于x的函数关系式y=f(x);
(2)求函数f(x)的最大值.
【解】 (1)当0≤x<6时,
由题意,设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由题中表格数据可得
解得
所以当0≤x<6时,
f(x)=-x2+2x.
当x≥6时,f(x)=()x-t,
由题中表格数据可得,
f(9)=()9-t=,解得t=7,
所以当x≥6时,f(x)=()x-7.
综上,f(x)=
(2)当0≤x<6时,
f(x)=-x2+2x=-(x-4)2+4,
所以当x=4时,函数f(x)取得最大值4;
当x≥6时,f(x)=()x-7单调递减,
所以f(x)的最大值为f(6)=()6-7=3,
因为4>3,
所以函数f(x)的最大值为4.
18.(本小题满分17分)
某化工厂一天中污水污染指数f(x)与时刻x(单位:时)的函数关系为f(x)=|log25(x+1)-a|+
2a+1,x∈[0,24],其中a为污水治理调节参数,且a∈(0,1).
(1)若a=,求一天中哪个时刻污水污染指数最低.
(2)规定一天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数,要使该厂每天的污水污染指数不超过3,则调节参数a应控制在什么范围内
【解】 (1)因为a=,
所以f(x)=|log25(x+1)-|+2≥2.
当f(x)=2时,log25(x+1)-=0,
得x+1=2=5,即x=4.
所以一天中早上4时该厂的污水污染指数最低.
(2)设t=log25(x+1),则当0≤x≤24时,0≤t≤1.
设g(t)=|t-a|+2a+1,t∈[0,1],
则g(t)=
显然g(t)在[0,a]上单调递减,在(a,1]上单调递增,
则f(x)max=max{g(0),g(1)},
因为g(0)=3a+1,g(1)=a+2,
所以有
解得a≤,
又a∈(0,1),故调节参数a应控制在(0,]内.
19.(本小题满分17分)
已知f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且满足f(x)-g(x)=21-x.
(1)求f(x),g(x);
(2)若h(x)=|[f(x)+g(x)]-1|,且方程[h(x)]2-2k·h(x)+k-=0有三个解,求实数k的取值范围.
【解】 (1)因为f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
由f(x)-g(x)=21-x,①
得f(-x)-g(-x)=21+x,即f(x)+g(x)=21+x,②
①+②可得f(x)=2x+2-x,
①-②可得g(x)=2x-2-x.
(2)由(1)得h(x)=|[f(x)+g(x)]-1|=|2x-1|,
方程[h(x)]2-2k·h(x)+k-=[h(x)-][h(x)-2(k-)]=0,
可得h(x)=或h(x)=2(k-),
即|2x-1|=或|2x-1|=2(k-).
当|2x-1|=时,由图可得y=|2x-1|与y=的图象有两个交点,
所以要使方程[h(x)]2-2k·h(x)+k-=0有三个解,
只需|2x-1|=2(k-)有一解即可,
即y=|2x-1|与y=2(k-)的图象只有一个交点即可,
由图象可得y=2(k-)≥1或y=2(k-)=0,
解得k≥或k=.
综上,实数k的取值范围为{k|k≥或k=}.
综合测试题
(限时:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则A∪B等于(　　)
[A]{x|x<4} [B]{x|x≥2}
[C]{x|2≤x<4} [D]{x|3≤x<4}
【答案】 B
【解析】 解不等式3x-7≥8-2x可得x≥3,即B={x|x≥3},又A={x|2≤x<4},可得A∪B={x|x≥2}.故选B.
2.已知p:-2≤x≤5,q:2-2m≤x≤2+m(m>0),若p的充分且不必要条件是q,则实数m的取值范围为(　　)
[A](-∞,3] [B](0,3]
[C][2,+∞) [D](0,2]
【答案】 D
【解析】 设集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|2-2m≤x≤2+m}(m>0),因为p的充分且不必要条件是q,所以B是A的真子集,则解得03.若p>1,0[A]()p>1 [B]<
[C]m-plognp
【答案】 D
【解析】 对于选项A,由01,所以0<()p<1,故A不正确;对于选项B,由于p>1,0p-n>0,所以<等价于n(p-m)n-p,故C不正确;对于选项D,结合对数函数的图象(图略)可得当p>1,0logmp>lognp,故D正确.故选D.
4.已知函数f(x)=则f(-1)+f(log25)等于(　　)
[A]3 [B]4 [C]5 [D]6
【答案】 D
【解析】 因为f(-1)=1+log2(2-1)=1,f(log25)==5,所以f(-1)+f(log25)=6.故选D.
5.函数y=loga(x+2)+2(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,且点A在角α的终边上,则cos α的值为(　　)
[A]- [B]- [C] [D]
【答案】 B
【解析】 当x+2=1,即x=-1时,y=loga1+2=2,
所以y=loga(x+2)+2的图象过定点A(-1,2).
由三角函数定义可得r==,cos α===-.故选B.
6.函数f(x)=ln[sin(2x-)]的增区间为(　　)
[A](+kπ,+kπ)(k∈Z)
[B](-+kπ,+kπ)(k∈Z)
[C](+kπ,+kπ)(k∈Z)
[D](+kπ,+kπ)(k∈Z)
【答案】 A
【解析】 设u=sin(2x-),则y=ln u,u>0.
由于y=ln u在(0,+∞)上单调递增,所以取u=sin(2x-)单调递增且u>0的区间,
所以2kπ<2x-<+2kπ(k∈Z),解得+kπ7.函数f(x)=的图象大致为(　　)
[A] [B]
[C]　　　 　 [D]
【答案】 A
【解析】 因为4x-1≠0,所以x≠0,函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
因为f(x)==,
所以f(-x)==-,
故f(x)=-f(-x),所以f(x)为奇函数,排除B;
当x>0时,2x>0,x2>0,4x-1>0,则f(x)>0,排除D;
由f(1)=,f() =,则f(1)>f(),排除C.故选A .
8.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2,都有>0成立,若a=f(log153·log155),b=f(cos),c=f(50.1),则(　　)
[A]a[C]c【答案】 A
【解析】 因为0所以0因为cos=cos(2π+) =cos=-,又函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,
所以b=f(cos)=f(-)=f();
而50.1>50=1,
所以0又因为对任意x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2,都有>0成立,
所以函数y=f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以a二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列函数中,最小值是4的有(　　)
[A]y=2x+ [B]y=ln x+
[C]y=|sin x|+ [D]y=x2+
【答案】 AD
【解析】 对于A选项,y=2x+≥2=4,
当且仅当2x=,即x=1时,等号成立,满足题意;
对于B选项,当0对于C选项,y=|sin x|+≥2=4,当且仅当|sin x|=,即|sin x|=2时,等号成立,又0≤|sin x|≤1,所以等号不成立,即y=|sin x|+的最小值不是4,不满足题意;
对于D选项,y=x2+≥2=4,
当且仅当x2=,即x=±时,等号成立,故y=x2+的最小值是4,满足题意.故选AD.
10.已知函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)的图象向左平移个单位长度后与原图象关于x轴对称,则下列结论一定正确的是(　　)
[A]f()=-
[B]f(x)的一个周期是π
[C]f(x-)是偶函数
[D]f(x)在(0,)上单调递减
【答案】 ABD
【解析】 函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到y=cos[ω(x+)+]的图象,
由题意得cos[ω(x+)+]=-cos(ωx+),即cos(ωx++)=-cos(ωx+),
所以=π+2kπ,k∈Z,所以ω=2+4k,k∈Z.由于ω>0,所以ω=2+4k,k∈N,
故f(x)=cos[(2+4k)x+],k∈N.
对于A,f()=cos[(2+4k)+]=cos(π+)=-,A正确;
对于B,f(x+π)=cos[(2+4k)(x+π)+]=cos[(2+4k)x+]=f(x),所以f(x)的一个周期是π,B正确;
对于C,f(x-)=cos[(2+4k)(x-)+]=cos[(2+4k)x-π+]=cos[(2+4k)x-],
不妨取k=1,此时f(x-)=cos(6x-),此时函数不是偶函数,所以f(x-)不是偶函数,C错误;
对于D,当x∈(0,)时,ωx∈(0,),ωx+∈(,),由于y=cos x在(,)上单调递减,所以f(x)在(0,)上单调递减,D正确.故选ABD.
11.已知函数f(x)=则下列结论正确的有(　　)
[A] x∈R,f(x)≥-3
[B]函数g(x)=f(x)-sin x+1有且仅有一个零点
[C]方程f(x)+f(-x)=0有4个解
[D]直线y=-x与函数f(x)的图象有2个交点
【答案】 BC
【解析】 由题意,A项,在f(x)= 中,作出函数图象如图(1)所示,
由图可知,f(x)≥f(2)=22-4×2+1=-3,故A正确;
B项,在g(x)=f(x)-sin x+1中,当g(x)=0时,f(x)=sin x-1,即函数f(x)与h(x)=sin x-1图象的交点,作出函数图象如图(2)所示,
可知函数g(x)=f(x)-sin x+1有且仅有2个零点,故B不正确;
C项,在f(x)= 中,-f(-x)=
作出两个函数的图象如图(3)所示,
所以两个函数的图象有4个交点,方程f(x)=-f(-x)有4个解,故C正确;
D项,由图(4)可知,直线y=-x与函数f(x)的图象有3个交点,故D不正确.故选AC.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知幂函数f(x)的图象过定点(2,8),且满足f(a2+1)+f(-5)>0,则a的取值范围为　　　　.
【答案】 (-∞,-2)∪(2,+∞)
【解析】 设f(x)=xα,则f(2)=2α=8,解得α=3,所以f(x)=x3,函数f(x)的定义域为R且为增函数,f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),f(x)为奇函数,所以f(a2+1)+f(-5)>0,即f(a2+1)>-f(-5)=f(5),所以a2+1>5,解得a>2或a<-2,故a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).
13.某节假日期间,一个小朋友买了一个体积为a的彩色大气球放在自己的房间内,由于气球密封性不好,经过t天后气球体积变为V=ae-kt.若经过15天后,气球体积变为原来的,则至少经过　　　　天后,气球体积不超过原来的.(lg 3≈0.48,lg 2≈0.3,结果保留整数)
【答案】 40
【解析】 由题意得,经过t天后气球体积变为V=ae-kt,经过15天后,气球体积变为原来的,即ae-15k=a,即e-15k=,则-15k=ln ,设t1天后体积变为原来的,即a=a,即=,则-kt1=ln ,两式相除可得=,即==lo==≈=0.375,所以t1≈40,则至少经过40天后,气球体积不超过原来的.
14.已知函数y=2sin(ωx-)(ω>0)在区间(0,)上有且仅有2个零点,则实数ω的取值范围是　　　　.
【答案】 (,]
【解析】 因为函数在x∈(0,),ωx-∈(-,-)上有且仅有2个零点,所以所以<ω≤.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知p:<1,q:x2-3ax+2a2<0(其中a为常数,且a≠0).
(1)若p为真命题,求x的取值范围;
(2)若p是q的必要且不充分条件,求a的取值范围.
【解】 (1)由<1,得x>1或x<0,
即当命题p是真命题时,x的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞).
(2)由x2-3ax+2a2<0得(x-a)(x-2a)<0,
若a>0,则a若a<0,则2a若p是q的必要且不充分条件,
则q对应的集合是p对应集合的真子集,
若a>0,则满足得a≥1,
若a<0,满足条件.
即实数a的取值范围是(-∞,0)∪[1,+∞).
16.(本小题满分15分)
如图,已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的图象过点A(0,1)和B(x0,-2)(x0>0),且满足|AB|=.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈[-,1]时,求函数f(x)的值域.
【解】 (1)由A(0,1),B(x0,-2)(x0>0),|AB|=,
得+9=13,又x0>0,则x0=2.
又f(0)=1,即sin φ=,由|φ|<得φ=,
由f(2)=-2,得sin(2ω+)=-1,
根据图象可知2ω+=,解得ω=,
所以f(x)=2sin(x+).
(2)因为x∈[-,1],所以x+∈[0,],故sin(x+)∈[0,1],
f(x)=2sin(x+)∈[0,2],即函数f(x)的值域为[0,2].
17.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=+1为奇函数.
(1)求a的值,并用函数单调性的定义证明函数f(x)在R上是增函数;
(2)求不等式f(4-x)+f(4-5×2-x)≤0的解集.
【解】 (1)因为f(x)=+1是奇函数,定义域为R,
所以f(0)=+1=0,
则a=-2,f(x)=+1,
所以f(-x)=+1=+1=+1=-1=-f(x),符合f(x)为奇函数,所以a=-2.
证明:任取x1,x2∈R,且x1则f(x1)-f(x2)=+1+-1=.
由x1则-<0,+1>0,+1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)在R上是增函数.
(2)因为函数f(x)在R上是奇函数,
所以f(4-x)≤-f(4-5×2-x)=f(5×2-x-4).
又函数f(x)在R上是增函数,
所以4-x≤5×2-x-4.
令2-x=t,则t2-5t+4≤0,
解得1≤t≤4,即-2≤x≤0,
所以不等式的解集为[-2,0].
18.(本小题满分17分)
某地铁线路为了提升市民的乘车体验感,准备通过调整发车时间间隔优化交通出行,已知地铁的发车时间间隔t(单位:min)满足3≤t≤18,t∈N*,通过调研,在某一时段,地铁载客量与发车时间间隔t相关,当10≤t≤18时,地铁可达到满载状态,载客量为1 250人,当3≤t<10时,载客量会减少,减少的人数与(11-t)的平方成正比,且发车时间间隔为3 min时载客量为610人,记地铁载客量为g(t).
(1)求g(t)的解析式.
(2)经过对该线路的数据分析,得出市民乘车体验感指数Q与发车时间间隔t之间的函数关系Q(t)=-360,体验感指数越高,乘车体验感就越好,问当发车时间间隔为多少时,市民乘车体验感最好
【解】 (1)由题意可设g(t)=
因为g(3)=1 250-k(11-3)2=1 250-64k=610,则k=10,
所以g(t)=
(2)由Q(t)=-360,结合(1)可得,
Q(t)=
整理得
Q(t)=
①当3≤t<10时,
Q(t)=840-60(t-1+)≤840-60×8=360,
当且仅当t=5时,等号成立,Q取最大值360;
②当10≤t≤18时,Q(t)=-360在[10,18]上单调递减,即当t=10时,Q取最大值200.
由①②可知,当发车时间间隔t=5 min时,市民乘车体验感指数最高,体验感最好.
19.(本小题满分17分)
已知函数f(x)=log2(x+a)(a>0),设 g(x)=f(4x).
(1)当a=1时,解关于x的不等式f(x)<-1;
(2)对任意的x∈(0,2),函数y=f(x)的图象总在函数y=g(x)的图象的下方,求正数a的取值
范围;
(3)设函数F(x)=f(x)-g(x),x∈(0,2),当a=1时,求|F(x)|的最大值.
【解】 (1)由f(x)<-1,a=1得log2(x+1)<-1=log2,则0(2)g(x)=f(4x)=log2(4x+a)(a>0).
对任意的x∈(0,2),函数f(x)的图象总在函数g(x)图象的下方,
则f(x)即log2(x+a)即2log2(x+a)即log2(x+a)2则(x+a)2<4x+a,即x2+(2a-4)x+a2-a<0在x∈(0,2)上恒成立.
设h(x)=x2+(2a-4)x+a2-a,
则只需要即可,
即
即得得0≤a≤1,
因为a>0,所以0即a的取值范围是(0,1].
(3)设函数F(x)=f(x)-g(x),x∈(0,2).
当a=1时,f(x)=log2(x+1),
g(x)=log2(4x+1),
由(2)知,f(x)则|F(x)|=|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)
=log2(4x+1)-log2(x+1)
=[log2(4x+1)-log2(x+1)2]
=log2.
令t===,
设m=4x+1,则x=,
则==(m++6),
因为x∈(0,2),所以m∈(1,9).
则m++6≥6+2=6+6=12,
当且仅当m=3时,等号成立,
即=(m++6)的最小值为 =,
则t=的最大值为,则|F(x)|的最大值为log2=1-log23.

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