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3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1　从函数观点看
一元二次方程
1.理解二次函数的零点与一元二次方程的根之间的联系,凝练数学抽象的核心素养.2.理解二次函数的零点与二次函数的图象之间的联系,培养直观想象的核心素养.3.能利用二次函数的图象和性质解决与二次函数零点有关的问题,强化逻辑推理的核心素养.
【课程标准要求】
1.二次函数的零点定义
一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值,即二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标,也称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点.
[思考1]二次函数的零点是点吗
【提示】 不是.是二次函数相对应的一元二次方程的实数根,是抛物线与x轴交点的横坐标.
2.当a>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函数y=ax2+bx+c的图象、二次函数y=ax2+bx+c的零点之间的关系如表所示:
[思考2]当a<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函数y=ax2+bx+c的图象、二次函数y=ax2+bx+c的零点之间的关系是什么
【提示】 当a<0时.
[做一做] (1)若b2-4ac=0,则二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)零点的个数为(　　)
[A]0 [B]1
[C]2 [D]无法确定
B
【解析】 (1)因为b2-4ac=0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,所以二次函数y=ax2+bx+c有一个零点.故选B.
(2)二次函数y=2x2+x-1的零点是(　　)
A
探究点一　求二次函数的零点
[例1] 求下列函数的零点.
(1)y=3x2-2x-1;
(2)y=ax2-x-a-1(a∈R);
(3)y=ax2+bx+c,其图象如图所示.
【解】(3)因为函数的图象与x轴的交点的横坐标为-1和3,所以该函数的零点为-1和3.
·方法总结·
求二次函数y=ax2+bx+c零点的常用方法
(1)转化为求一元二次方程的实数根:令y=0,得方程ax2+bx+c=0,解方程,得二次函数y=ax2+bx+c的零点.
(2)转化为求抛物线与x轴交点的横坐标:画出抛物线y=ax2+bx+c,找到抛物线与x轴交点的横坐标,得二次函数y=ax2+bx+c的零点.
[针对训练] 函数y=x2-2x-8的零点是(　　)
[A]2和-4
[B]-2和4
[C](2,0)和(-4,0)
[D](-2,0)和(4,0)
B
【解析】 因为函数的零点是方程y=0的根,所以函数y=x2-2x-8的零点是-2和4.故选B.
探究点二　由二次函数零点个数求参数
[例2] 若函数y=ax2-x-1仅有一个零点,求实数a的值.
【解】 (1)若a=0,则y=-x-1为一次函数,易知函数只有一个零点.
·方法总结·
由二次函数y=ax2+bx+c零点的个数求参数取值范围的一般思路:
计算判别式Δ=b2-4ac,由二次函数y=ax2+bx+c零点的个数,建立关于Δ的不等式,解不等式,便得参数的取值范围.
[针对训练] 若二次函数y=ax2+2x-1无零点,则a的取值范围是(　　)
[A](-1,+∞)
[B](-∞,-1)
[C][-1,+∞)
[D](-1,0)∪(0,+∞)
B
【解析】 当a≠0时,只需Δ=4+4a<0,解得a<-1.故a∈(-∞,-1).故选B.
探究点三　判断二次函数在某区间内是否存在零点
[例3] 求证:二次函数y=x2-3x+1有两个零点,且在区间(2,3)上存在零点.
·方法总结·
判断二次函数y=ax2+bx+c在区间内是否存在零点的方法技巧:
解方程ax2+bx+c=0,得方程的实数根,将实数根与所给区间的端点作比较,就可判断出二次函数y=ax2+bx+c在区间内是否存在零点.
[针对训练] 下列函数在区间(0,1)上存在零点的是(　　)
[A]y=x2-3x+3
[B]y=-2x2+x+1
[C]y=ax2-x(0[D]y=4x2-3
D3.3.1　从函数观点看一元二次方程
【课程标准要求】　1.理解二次函数的零点与一元二次方程的根之间的联系,凝练数学抽象的核心素养.2.理解二次函数的零点与二次函数的图象之间的联系,培养直观想象的核心素养.3.能利用二次函数的图象和性质解决与二次函数零点有关的问题,强化逻辑推理的核心素养.
1.二次函数的零点定义
一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值,即二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标,也称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点.
[思考1]二次函数的零点是点吗
【提示】 不是.是二次函数相对应的一元二次方程的实数根,是抛物线与x轴交点的横
坐标.
2.当a>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函数y=ax2+bx+c的图象、二次函数y=ax2+bx+c的零点之间的关系如表所示:
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
方程ax2+bx+c=0 的根 有两个相异的实数根 x1,2= 有两个相等的实数 根 x1=x2=- 没有实数根
二次函数y=ax2+bx+c 的图象
二次函数y=ax2+bx+c 的零点 有两个零点 x1,2= 有一个零点x=- 无零点
[思考2]当a<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函数y=ax2+bx+c的图象、二次函数y=ax2+bx+c的零点之间的关系是什么
【提示】 当a<0时.
判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
方程 ax2+bx+c=0 的根 有两个相异的实数根 x1,2= 有两个相等的实数根 x1=x2=- 没有实数根
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象
二次函数 y=ax2+bx+c 的零点 有两个零点 x1,2= 有一个零点x=- 无零点
[做一做] (1)若b2-4ac=0,则二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)零点的个数为(　　)
[A]0 [B]1
[C]2 [D]无法确定
(2)二次函数y=2x2+x-1的零点是(　　)
[A],-1 [B]-,1
[C](-,0),(1,0) [D](,0),(-1,0)
【答案】 (1)B　(2)A
【解析】 (1)因为b2-4ac=0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,所以二次函数y=ax2+bx+c有一个零点.故选B.
(2)二次函数y=2x2+x-1的零点就是2x2+x-1=0的解,解得x=或x=-1.故选A.
探究点一　求二次函数的零点
[例1] 求下列函数的零点.
(1)y=3x2-2x-1;
(2)y=ax2-x-a-1(a∈R);
(3)y=ax2+bx+c,其图象如图所示.
【解】 (1)由3x2-2x-1=0解得x1=1,x2=-,所以函数y=3x2-2x-1的零点为1和-.
(2)(ⅰ)当a=0时,y=-x-1,由-x-1=0得x=-1,所以函数的零点为-1.
(ⅱ)当a≠0时,由ax2-x-a-1=0,得(ax-a-1)(x+1)=0,
解得x1=,x2=-1.
又-(-1)=,
①当a=-时,x1=x2=-1,函数有唯一的零点-1;
②当a≠-且a≠0时,x1≠x2,函数有两个零点-1和.
综上,当a=0或-时,函数的零点为-1;
当a≠-且a≠0时,函数有两个零点-1和.
(3)因为函数的图象与x轴的交点的横坐标为-1和3,所以该函数的零点为-1和3.
求二次函数y=ax2+bx+c零点的常用方法
(1)转化为求一元二次方程的实数根:令y=0,得方程ax2+bx+c=0,解方程,得二次函数y=ax2+bx+c的零点.
(2)转化为求抛物线与x轴交点的横坐标:画出抛物线y=ax2+bx+c,找到抛物线与x轴交点的横坐标,得二次函数y=ax2+bx+c的零点.
[针对训练] 函数y=x2-2x-8的零点是(　　)
[A]2和-4
[B]-2和4
[C](2,0)和(-4,0)
[D](-2,0)和(4,0)
【答案】 B
【解析】 因为函数的零点是方程y=0的根,所以函数y=x2-2x-8的零点是-2和4.故选B.
探究点二　由二次函数零点个数求参数
[例2] 若函数y=ax2-x-1仅有一个零点,求实数a的值.
【解】 (1)若a=0,则y=-x-1为一次函数,易知函数只有一个零点.
(2)若a≠0,则函数为二次函数,若其只有一个零点,则方程ax2-x-1=0仅有一个实数根,故判别式Δ=1+4a=0,得a=-.
综上所述,当a=0或a=-时,函数仅有一个零点.
由二次函数y=ax2+bx+c零点的个数求参数取值范围的一般思路:
计算判别式Δ=b2-4ac,由二次函数y=ax2+bx+c零点的个数,建立关于Δ的不等式,解不等式,便得参数的取值范围.
[针对训练] 若二次函数y=ax2+2x-1无零点,则a的取值范围是(　　)
[A](-1,+∞)
[B](-∞,-1)
[C][-1,+∞)
[D](-1,0)∪(0,+∞)
【答案】 B
【解析】 当a≠0时,只需Δ=4+4a<0,解得a<-1.故a∈(-∞,-1).故选B.
探究点三　判断二次函数在某区间内是否存在零点
[例3] 求证:二次函数y=x2-3x+1有两个零点,且在区间(2,3)上存在零点.
【证明】 考查一元二次方程x2-3x+1=0.
因为Δ=(-3)2-4×1×1=5>0,所以方程x2-3x+1=0有两个不相等的实数根,
因此二次函数y=x2-3x+1有两个零点.
又因为方程x2-3x+1=0的两个实数根分别为x1=,x2=,其中2<<3,
因此二次函数y=x2-3x+1在区间(2,3)上存在零点.
判断二次函数y=ax2+bx+c在区间内是否存在零点的方法技巧:
解方程ax2+bx+c=0,得方程的实数根,将实数根与所给区间的端点作比较,就可判断出二次函数y=ax2+bx+c在区间内是否存在零点.
[针对训练] 下列函数在区间(0,1)上存在零点的是(　　)
[A]y=x2-3x+3
[B]y=-2x2+x+1
[C]y=ax2-x(0[D]y=4x2-3
【答案】 D
【解析】 函数y=x2-3x+3没有零点,函数y=-2x2+x+1的零点为1,-,函数y=ax2-x(01,故A,B,C选项中函数均不存在区间(0,1)上的零点;
函数y=4x2-3的零点为±,其中0<<1.故选D.
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.函数y=x2-(a+1)x+a的零点个数为(　　)
[A]1 [B]2
[C]1或2 [D]0
【答案】 C
【解析】 由x2-(a+1)x+a=0得x1=a,x2=1,当a=1时,函数的零点有1个;当a≠1时,函数的零点有2个,所以该函数的零点个数是1或2. 故选C.
2.已知二次函数y=ax2+bx-2a有零点,若其中一个零点为1,则另一个零点为(　　)
[A]1 [B]2 [C]-1 [D]-2
【答案】 D
【解析】 因为1为二次函数y=ax2+bx-2a的零点,
显然a≠0,且x1x2=-2,不妨令x1=1,则x2=-2,
此时a=b≠0,函数可化为y=a(x2+x-2),经检验符合题意,
即函数y=ax2+bx-2a的另一个零点为-2.故选D.
3.二次函数y=x2-2的一个零点所在的区间为(　　)
[A](0,1)　　 [B](1,2)
[C](2,3) [D](3,4)
【答案】 B
【解析】 解方程x2-2=0得,x=±,其中1<<2.故选B.
4.若函数y=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围为(　　)
[A](-∞,1)　　 [B](1,+∞)
[C](0,1) [D](0,+∞)
【答案】 B
【解析】 函数y=x2+2x+a没有零点,
即方程x2+2x+a=0没有实数解,
所以Δ=4-4a<0,即a>1.故选B.
5.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,则函数的零点个数是(　　)
[A]1 [B]2
[C]0 [D]无法确定
【答案】 B
【解析】 因为y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,
所以a<0,c>0,故Δ=b2-4ac>0,因此函数有两个零点.故选B.
6.已知函数y1=ax2+bx+c(a≠0)的零点为-2和3,a<0,那么函数y2=cx2-bx+a的零点为(　　)
[A]-和 [B]和-
[C]-3和2 [D]无法确定
【答案】 A
【解析】 由题意知,-2+3=-,-2×3=,所以b=-a,c=-6a,由cx2-bx+a=0得-6ax2+ax+a=0,即6x2-x-1=0,解得x1=-,x2=.故选A.
7.(5分)已知二次函数y=x2-mx+m+1,m∈(-∞,2-2)∪(2+2,+∞)的两个零点为x1,x2,且+=1,则实数m的值为　　　 　.
【答案】 -1
【解析】 令y=0,则一元二次方程x2-mx+m+1=0的两个实根为x1,x2,
x1+x2=m,x1x2=m+1,
又因为+=1,可得+=(x1+x2)2-2x1x2=m2-2(m+1)=1,
整理得m2-2m-3=0,解得m=-1或m=3(舍去),
所以实数m的值为-1.
8.(5分)若函数y=x2-3x+a在区间(1,3)上有零点,则实数a的取值范围是　　 　　.
【答案】 (0,]
【解析】 函数y=x2-3x+a图象的对称轴为直线x=,
则要使函数y=x2-3x+a在区间(1,3)上有零点,需满足解得09.(13分)求证:函数y=x2-ax-a-2(a∈R)一定有两个零点.
【证明】 法一　对于一元二次方程x2-ax-a-2=0,Δ=a2+4a+8=(a+2)2+4>0,
所以函数y=x2-ax-a-2(a∈R)一定有两个零点.
法二　因为函数y=x2-ax-a-2(a∈R)的图象为开口向上的抛物线,无论a为何值,当x=-1时,
y=(-1)2+a-a-2=-1,即函数的图象始终经过点M(-1,-1),所以函数y=x2-ax-a-2(a∈R)一定有两个零点.
10.(15分)求下列函数的零点:
(1)y=x-2-3;
(2)y=x2-(3a-1)x+(2a2-2).
【解】 (1)由x-2-3=0得(+1)(-3)=0,
又 ≥0,所以=3,即x=9,
所以函数y=x-2-3的零点为9.
(2)由x2-(3a-1)x+(2a2-2)=0得[x-(a+1)][x-2(a-1)]=0,
①当a+1=2(a-1),即a=3时,函数有唯一零点4;
②当a+1≠2(a-1),即a≠3时,函数有两个零点a+1和2(a-1).
综上,当a=3时,函数有唯一零点4;当a≠3时,函数有两个零点a+1和2(a-1).
11.(多选)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且对称轴为直线x=1,点B的坐标为(-1,0),则下列结论正确的是(　　)
[A]2a+b=0
[B]8a+c<0
[C]b2-4ac>0
[D]a<0,b<0,c>0
【答案】 ABC
【解析】 因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴为直线x=1,
所以x=-=1得2a+b=0,故A正确;
当x=-2时,y=4a-2b+c<0,把A选项代入得8a+c<0,故B正确;
该函数图象与x轴有两个交点,则b2-4ac>0,故C正确;
因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向下,所以a<0,又由选项A可得b>0,当x=0时,y=c>0,故D错误.故选ABC.
12.(5分)若m,n是函数y=x2+2 026x-1的两个零点,则m2n+mn2-mn=　　　　.
【答案】 2 027
【解析】 由题意m,n是方程x2+2 026x-1=0的两个实数根,
所以m+n=-2 026,mn=-1,
所以原式=mn(m+n-1)=-1×(-2 026-1)=-1×(-2 027)=2 027.
13.(16分)若函数y=x2-2ax+a2-1的两个零点分别为m,n,且m<-1,n>,求实数a的取值范围.
【解】 因为函数y=x2-2ax+a2-1的两个零点分别为m,n,
又x2-2ax+a2-1=0的两个实数根分别为a-1,a+1,
所以解得-14.(5分)对于方程x2-2|x|+2=m,如果方程实根的个数恰为3个,则m的值为　　　　.
【答案】 2
【解析】 由题设可知(|x|-1)2=m-1恰有3个实根,则
其中,|x|有一个值为0,另一个不为0,显然1+>0,
所以1-=0,故m=2,则1+=2,
此时|x|=0或|x|=2,即x∈{-2,0,2}满足题设,所以m=2.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.3.1　从函数观点看一元二次方程
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.函数y=x2-(a+1)x+a的零点个数为(　　)
[A]1 [B]2
[C]1或2 [D]0
【答案】 C
【解析】 由x2-(a+1)x+a=0得x1=a,x2=1,当a=1时,函数的零点有1个;当a≠1时,函数的零点有2个,所以该函数的零点个数是1或2. 故选C.
2.已知二次函数y=ax2+bx-2a有零点,若其中一个零点为1,则另一个零点为(　　)
[A]1 [B]2 [C]-1 [D]-2
【答案】 D
【解析】 因为1为二次函数y=ax2+bx-2a的零点,
显然a≠0,且x1x2=-2,不妨令x1=1,则x2=-2,
此时a=b≠0,函数可化为y=a(x2+x-2),经检验符合题意,
即函数y=ax2+bx-2a的另一个零点为-2.故选D.
3.二次函数y=x2-2的一个零点所在的区间为(　　)
[A](0,1)　　 [B](1,2)
[C](2,3) [D](3,4)
【答案】 B
【解析】 解方程x2-2=0得,x=±,其中1<<2.故选B.
4.若函数y=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围为(　　)
[A](-∞,1)　　 [B](1,+∞)
[C](0,1) [D](0,+∞)
【答案】 B
【解析】 函数y=x2+2x+a没有零点,
即方程x2+2x+a=0没有实数解,
所以Δ=4-4a<0,即a>1.故选B.
5.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,则函数的零点个数是(　　)
[A]1 [B]2
[C]0 [D]无法确定
【答案】 B
【解析】 因为y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,
所以a<0,c>0,故Δ=b2-4ac>0,因此函数有两个零点.故选B.
6.已知函数y1=ax2+bx+c(a≠0)的零点为-2和3,a<0,那么函数y2=cx2-bx+a的零点为(　　)
[A]-和 [B]和-
[C]-3和2 [D]无法确定
【答案】 A
【解析】 由题意知,-2+3=-,-2×3=,所以b=-a,c=-6a,由cx2-bx+a=0得-6ax2+ax+a=0,即6x2-x-1=0,解得x1=-,x2=.故选A.
7.(5分)已知二次函数y=x2-mx+m+1,m∈(-∞,2-2)∪(2+2,+∞)的两个零点为x1,x2,且+=1,则实数m的值为　　　 　.
【答案】 -1
【解析】 令y=0,则一元二次方程x2-mx+m+1=0的两个实根为x1,x2,
x1+x2=m,x1x2=m+1,
又因为+=1,可得+=(x1+x2)2-2x1x2=m2-2(m+1)=1,
整理得m2-2m-3=0,解得m=-1或m=3(舍去),
所以实数m的值为-1.
8.(5分)若函数y=x2-3x+a在区间(1,3)上有零点,则实数a的取值范围是　　 　　.
【答案】 (0,]
【解析】 函数y=x2-3x+a图象的对称轴为直线x=,
则要使函数y=x2-3x+a在区间(1,3)上有零点,需满足解得09.(13分)求证:函数y=x2-ax-a-2(a∈R)一定有两个零点.
【证明】 法一　对于一元二次方程x2-ax-a-2=0,Δ=a2+4a+8=(a+2)2+4>0,
所以函数y=x2-ax-a-2(a∈R)一定有两个零点.
法二　因为函数y=x2-ax-a-2(a∈R)的图象为开口向上的抛物线,无论a为何值,当x=-1时,
y=(-1)2+a-a-2=-1,即函数的图象始终经过点M(-1,-1),所以函数y=x2-ax-a-2(a∈R)一定有两个零点.
10.(15分)求下列函数的零点:
(1)y=x-2-3;
(2)y=x2-(3a-1)x+(2a2-2).
【解】 (1)由x-2-3=0得(+1)(-3)=0,
又 ≥0,所以=3,即x=9,
所以函数y=x-2-3的零点为9.
(2)由x2-(3a-1)x+(2a2-2)=0得[x-(a+1)][x-2(a-1)]=0,
①当a+1=2(a-1),即a=3时,函数有唯一零点4;
②当a+1≠2(a-1),即a≠3时,函数有两个零点a+1和2(a-1).
综上,当a=3时,函数有唯一零点4;当a≠3时,函数有两个零点a+1和2(a-1).
11.(多选)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且对称轴为直线x=1,点B的坐标为(-1,0),则下列结论正确的是(　　)
[A]2a+b=0
[B]8a+c<0
[C]b2-4ac>0
[D]a<0,b<0,c>0
【答案】 ABC
【解析】 因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴为直线x=1,
所以x=-=1得2a+b=0,故A正确;
当x=-2时,y=4a-2b+c<0,把A选项代入得8a+c<0,故B正确;
该函数图象与x轴有两个交点,则b2-4ac>0,故C正确;
因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向下,所以a<0,又由选项A可得b>0,当x=0时,y=c>0,故D错误.故选ABC.
12.(5分)若m,n是函数y=x2+2 026x-1的两个零点,则m2n+mn2-mn=　　　　.
【答案】 2 027
【解析】 由题意m,n是方程x2+2 026x-1=0的两个实数根,
所以m+n=-2 026,mn=-1,
所以原式=mn(m+n-1)=-1×(-2 026-1)=-1×(-2 027)=2 027.
13.(16分)若函数y=x2-2ax+a2-1的两个零点分别为m,n,且m<-1,n>,求实数a的取值范围.
【解】 因为函数y=x2-2ax+a2-1的两个零点分别为m,n,
又x2-2ax+a2-1=0的两个实数根分别为a-1,a+1,
所以解得-14.(5分)对于方程x2-2|x|+2=m,如果方程实根的个数恰为3个,则m的值为　　　　.
【答案】 2
【解析】 由题设可知(|x|-1)2=m-1恰有3个实根,则
其中,|x|有一个值为0,另一个不为0,显然1+>0,
所以1-=0,故m=2,则1+=2,
此时|x|=0或|x|=2,即x∈{-2,0,2}满足题设,所以m=2.
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