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4.1.1　根式
【课程标准要求】　1.理解n次方根及根式的概念,达成数学抽象的核心素养.2.正确运用根式运算性质进行运算,培养数学运算的核心素养.
1.n次方根
[思考] 当n>1,n∈N*时,根据n次方根的定义,当n为奇数时,是否对任意实数a都存在n次方根 n为偶数呢
【提示】 当n为奇数时,对任意实数a,都存在n次方根,可表示为,但当n为偶数时不是,因为当a<0时,a没有n次方根;当a>0时,a有n次方根,可表示为±.
2.根式
[做一做] 化简(x>).
【解】 因为x>,所以1-2x<0,所以=|1-2x|=2x-1.
探究点一　根式的意义
[例1] (1)27的立方根是　　　　　;16的4次方根是　　　　　.
(2)若81的平方根为a,-8的立方根为b,则a+b=　　　 　.
(3)若有意义,则实数x的取值范围是　　　　 　.
【答案】 (1)3　±2　(2)7或-11　(3)[-3,+∞)
【解析】 (1)27的立方根是3;16的4次方根是±2.
(2)81的平方根为-9或9,即a=-9或9,
-8的立方根为-2,即b=-2,所以a+b=-11或7.
(3)要使有意义,则需要x+3≥0,即x≥-3.所以实数x的取值范围是[-3,+∞).
根式意义问题应关注的两点
(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数.
(2)n为奇数时,a的正负决定着n次方根的符号.
[针对训练] (1)已知a∈R,n∈N*,给出下列4个式子:
①;②;③;④.其中无意义的有(　　)
[A]1个 [B]2个
[C]3个 [D]0个
(2)若+有意义,求实数m的取值集合.
(1)【答案】 A
【解析】 ①中(-3)2n>0,所以有意义,②中根指数为5,有意义,③中(-5)2n+1<0,因此无意义,④中根指数为9,有意义.故选A.
(2)【解】 由根式有意义,得
解得m=,
故实数m的取值集合为{}.
探究点二　直接利用根式的性质化简
[例2] 化简下列各式:
(1);(2);
(3)+()5.
【解】 (1)=-7.
(2)=|-9|=9.
(3)+()5=(-2)+(-2)=-4.
[变式探究1] 化简+(a1,n∈N*).
【解】 当n是奇数时,原式=(a-b)+(a+b)=2a;
当n是偶数时,因为a综上所述,+=
[变式探究2] 求+的值.
【解】+=+
=+=+1+-1=2.
根式化简的思想和注意点
(1)根式化简的思想是将根式有理化,利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式),将所求代数式通过恰当的变形,达到化繁为简的目的.
(2)化简根式易出现的问题是混淆与()n,尤其是当n为偶数时,误认为=a而失误.解决此类问题的关键是准确记忆相关性质,依据n为奇数还是偶数以及a的取值进行分类.
探究点三　有条件根式的化简
[例3] 设-3【解】 -=-=|x-1|-|x+3|,
当-3当1≤x<3时,-=(x-1)-(x+3)=-4.
综上所述,-=
[变式探究] 将本例的条件“-3【解】 -=-=|x-1|-|x+3|,
当x≤-3时,x-1<0,x+3≤0,
所以原式=-(x-1)-[-(x+3)]=4,
当x≥3时,x-1>0,x+3>0,
所以原式=(x-1)-(x+3)=-4.
综上所述,-=
为使开偶次方后不出现符号错误,第一步先用绝对值表示开方的结果,第二步再去掉绝对值符号,化简时要结合条件进行分类讨论.
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知x7=8,则x等于(　　)
[A]2 [B] [C]- [D]±
【答案】 B
【解析】 因为7为奇数,8的7次方根只有一个.故选B.
2. 若代数式+(x-5)0有意义,则x的取值范围是(　　)
[A][2,+∞)
[B](-∞,-5)∪(5,+∞)
[C][2,5)∪(5,+∞)
[D](2,5)∪(5,+∞)
【答案】 C
【解析】 由得x≥2且x≠5.故选C.
3.(多选)若xn=a(x≠0,n>1,n∈N*),则下列说法正确的是(　　)
[A]当n为奇数时,x的n次方根为a
[B]当n为奇数时,a的n次方根为x
[C]当n为偶数时,x的n次方根为±a
[D]当n为偶数时,a的n次方根为±x
【答案】 BD
【解析】 当n为奇数时,a的n次方根只有x;
当n为偶数时,由于(±x)n=xn=a,所以a的n次方根有 2个,为±x.故选BD.
4.(多选)若n∈N,a∈R,则下列四个式子中有意义的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 AC
【解析】 因为n∈N,所以4n为偶数,(-7)4n≥0,所以有意义,故A正确;
取n=1,则(-7)3<0,所以无意义,故B错误;
因为的根指数为奇数,所以有意义,故C正确;
若a<0,则a3<0,所以无意义,故D错误.故选AC.
5.化简a的结果是(　　)
[A] [B]
[C]- [D]-
【答案】 D
【解析】 由题意,要使有意义,需a<0,所以a=-|a|=-=-.故选D.
6.若+=0,则x2 025+y2 026的值为(　　)
[A]0 [B]1 [C]-1 [D]2
【答案】 D
【解析】 由题意得,x-1=0,x+y=0,解得x=1,y=-1,所以12 025+(-1)2 026=1+1=2.故选D.
7.(5分)若x<0,则|x|-+=　　 　　.
【答案】 1
【解析】 因为x<0,所以原式=-x-(-x)+=-x+x+1=1.
8.(5分)若 =,则实数a的取值范围为　　　　　.
【答案】 [,+∞)
【解析】 因为 =|5-4a|,=4a-5,所以|5-4a|=4a-5,即5-4a≤0,所以a≥.
9.(13分)化简:
(1);
(2);
(3);
(4)()2++.
【解】 (1)=-2.
(2)==.
(3)=|3-π|=π-3.
(4)由题意知,a-1≥0,即a≥1.原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1+a-1+1-a=a-1.
10.(14分)化简:
(1);
(2)-+.
(3)-(n【解】 (1)=|x-y|,
当x≥y时,=x-y;
当x综上,=
(2)原式=-+=+-(2-)+2-=2.
(3)原式=|m+n|-|m-n|,
因为n0,
所以原式=-(m+n)-(m-n)=-2m.
11.(多选)下列各式中正确的是(　　)
[A](-)4=a-b
[B]()4=a+b
[C]-=a-b
[D]=|a+b|
【答案】 BD
【解析】 对于A,可令a=16,b=81,则=2,=3,式子左边为(2-3)4=1,右边为16-81=-65,左边≠右边,不成立;对于B,由n次方根的定义,可知()n=a,则()4=a+b恒成立,故B正确;对于C,可令a=-2,b=-3,则=2,=3,式子左边为2-3=-1,右边为(-2)-(-3)=
1,左边≠右边,不成立;对于D,由n次方根的性质可知,当n为偶数时,=|a|,当n为奇数时,
=a,则=|a+b|,故D正确.故选BD.
12.(5分)已知2,5,m是某三角形三边的长,则+=　　　　.
【答案】 4
【解析】 因为2,5,m是某三角形三边的长,所以5-2所以+=|m-3|+|m-7|=m-3-m+7=4.
13.(15分)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,求的值.
【解】 法一　因为a,b是方程x2-6x+4=0的两根,
所以()2====,
因为a>b>0,所以>,所以==.
法二　因为a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b,
而由x2-6x+4=0,得x1=3+,x2=3-,
所以a=3+,b=3-,
所以=====.
14.(5分)使得等式=成立的实数a的值为　　　　.
【答案】 8
【解析】 由题意可得,≥0,所以≥1,故≥1.
设=t,则a=t3(t≥1).
= =t 1+=t2 =t2-1
1+t3= 1+t3=t4-2t2+1 t4-t3-2t2=0 t2(t2-t-2)=0 t2(t-2)(t+1)=0.
解得t=2或t=0(舍去)或t=-1(舍去).
所以=t=2,所以a=8.
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4.1　指数
4.1.1　根式
第4章　指数与对数
1.理解n次方根及根式的概念,达成数学抽象的核心素养.2.正确运用根式运算性质进行运算,培养数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
1.n次方根
x
n次方根
[思考] 当n>1,n∈N*时,根据n次方根的定义,当n为奇数时,是否对任意实数a都存在n次方根 n为偶数呢
2.根式
根指数
被开方数
探究点一　根式的意义
[例1] (1)27的立方根是　　　　　;16的4次方根是　　　　　.
3
±2
【解析】 (1)27的立方根是3;16的4次方根是±2.
(2)若81的平方根为a,-8的立方根为b,则a+b=　　 　　.
7或-11
【解析】 (2)81的平方根为-9或9,即a=-9或9,
-8的立方根为-2,即b=-2,所以a+b=-11或7.
[-3,+∞)
·方法总结·
根式意义问题应关注的两点
(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数.
(2)n为奇数时,a的正负决定着n次方根的符号.
[针对训练] (1)已知a∈R,n∈N*,给出下列4个式子:
[A]1个 [B]2个
[C]3个 [D]0个
A
探究点二　直接利用根式的性质化简
[例2] 化简下列各式:
·方法总结·
根式化简的思想和注意点
(1)根式化简的思想是将根式有理化,利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式),将所求代数式通过恰当的变形,达到化繁为简的目的.
探究点三　有条件根式的化简
·方法总结·
为使开偶次方后不出现符号错误,第一步先用绝对值表示开方的结果,第二步再去掉绝对值符号,化简时要结合条件进行分类讨论.4.1.1　根式
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知x7=8,则x等于(　　)
[A]2 [B] [C]- [D]±
【答案】 B
【解析】 因为7为奇数,8的7次方根只有一个.故选B.
2. 若代数式+(x-5)0有意义,则x的取值范围是(　　)
[A][2,+∞)
[B](-∞,-5)∪(5,+∞)
[C][2,5)∪(5,+∞)
[D](2,5)∪(5,+∞)
【答案】 C
【解析】 由得x≥2且x≠5.故选C.
3.(多选)若xn=a(x≠0,n>1,n∈N*),则下列说法正确的是(　　)
[A]当n为奇数时,x的n次方根为a
[B]当n为奇数时,a的n次方根为x
[C]当n为偶数时,x的n次方根为±a
[D]当n为偶数时,a的n次方根为±x
【答案】 BD
【解析】 当n为奇数时,a的n次方根只有x;
当n为偶数时,由于(±x)n=xn=a,所以a的n次方根有 2个,为±x.故选BD.
4.(多选)若n∈N,a∈R,则下列四个式子中有意义的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 AC
【解析】 因为n∈N,所以4n为偶数,(-7)4n≥0,所以有意义,故A正确;
取n=1,则(-7)3<0,所以无意义,故B错误;
因为的根指数为奇数,所以有意义,故C正确;
若a<0,则a3<0,所以无意义,故D错误.故选AC.
5.化简a的结果是(　　)
[A] [B]
[C]- [D]-
【答案】 D
【解析】 由题意,要使有意义,需a<0,所以a=-|a|=-=-.故选D.
6.若+=0,则x2 025+y2 026的值为(　　)
[A]0 [B]1 [C]-1 [D]2
【答案】 D
【解析】 由题意得,x-1=0,x+y=0,解得x=1,y=-1,所以12 025+(-1)2 026=1+1=2.故选D.
7.(5分)若x<0,则|x|-+=　　 　　.
【答案】 1
【解析】 因为x<0,所以原式=-x-(-x)+=-x+x+1=1.
8.(5分)若 =,则实数a的取值范围为　　　　　.
【答案】 [,+∞)
【解析】 因为 =|5-4a|,=4a-5,所以|5-4a|=4a-5,即5-4a≤0,所以a≥.
9.(13分)化简:
(1);
(2);
(3);
(4)()2++.
【解】 (1)=-2.
(2)==.
(3)=|3-π|=π-3.
(4)由题意知,a-1≥0,即a≥1.原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1+a-1+1-a=a-1.
10.(14分)化简:
(1);
(2)-+.
(3)-(n【解】 (1)=|x-y|,
当x≥y时,=x-y;
当x综上,=
(2)原式=-+=+-(2-)+2-=2.
(3)原式=|m+n|-|m-n|,
因为n0,
所以原式=-(m+n)-(m-n)=-2m.
11.(多选)下列各式中正确的是(　　)
[A](-)4=a-b
[B]()4=a+b
[C]-=a-b
[D]=|a+b|
【答案】 BD
【解析】 对于A,可令a=16,b=81,则=2,=3,式子左边为(2-3)4=1,右边为16-81=-65,左边≠右边,不成立;对于B,由n次方根的定义,可知()n=a,则()4=a+b恒成立,故B正确;对于C,可令a=-2,b=-3,则=2,=3,式子左边为2-3=-1,右边为(-2)-(-3)=
1,左边≠右边,不成立;对于D,由n次方根的性质可知,当n为偶数时,=|a|,当n为奇数时,
=a,则=|a+b|,故D正确.故选BD.
12.(5分)已知2,5,m是某三角形三边的长,则+=　　　　.
【答案】 4
【解析】 因为2,5,m是某三角形三边的长,所以5-2所以+=|m-3|+|m-7|=m-3-m+7=4.
13.(15分)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,求的值.
【解】 法一　因为a,b是方程x2-6x+4=0的两根,
所以()2====,
因为a>b>0,所以>,所以==.
法二　因为a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b,
而由x2-6x+4=0,得x1=3+,x2=3-,
所以a=3+,b=3-,
所以=====.
14.(5分)使得等式=成立的实数a的值为　　　　.
【答案】 8
【解析】 由题意可得,≥0,所以≥1,故≥1.
设=t,则a=t3(t≥1).
= =t 1+=t2 =t2-1
1+t3= 1+t3=t4-2t2+1 t4-t3-2t2=0 t2(t2-t-2)=0 t2(t-2)(t+1)=0.
解得t=2或t=0(舍去)或t=-1(舍去).
所以=t=2,所以a=8.
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