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(共29张PPT)
4.2　对数
4.2.1　对数的
概念
1.理解对数的概念,明确对数与指数的互化关系,促进数学抽象的核心素养.
2.掌握对数的基本性质,并能应用性质解决相关问题,发展数学运算的核心素养.3.通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.
【课程标准要求】
1.对数的概念
(1)如果ab=N(a>0,a≠1),那么就称b是以a为底N的对数,记作logaN=b,其中, 叫作对数的底数, 叫作真数.
(2)常用对数:通常将以 为底的对数称为常用对数,并把log10N简记为 .
(3)自然对数:在科学技术中,常常使用以e为底的对数,这种对数称为自然对
数.e=2.718 28…是一个无理数.正数N的自然对数logeN一般简记为 .
(4)对数与指数的关系.
当a>0,a≠1时,ax=N x= .
a
N
10
lg N
ln N
logaN
[思考1] 在对数的定义中为什么不能取a≤0及a=1呢
②若a=0,当N≠0时,不存在实数x使ax=N,无法定义logaN;当N=0时,任意非零实数x,有ax=N成立,logaN不确定.
③若a=1,当N≠1时,logaN不存在;当N=1时,logaN有无数个值,不能确定.
[思考2] 任何一个指数式都可以化为对数式吗
【提示】 不是,如(-3)2=9,不能写成log(-3)9=2.
[做一做1] (1)下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)
B
(2)使对数log(a-2)(7-2a)有意义的a的取值范围是　　 　　　　　　.
2.对数的基本性质
(1)负数和0没有对数.
(2)1的对数是0,即loga1=0(a>0,a≠1).
(3)底数的对数是1,即logaa=1(a>0,a≠1).
(4)如果把ax=N(a>0,a≠1)中的x写成logaN,则有=N(对数恒等式).
[做一做2] (多选)下列各式中正确的是(　 　)
①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若10=lg x,则x=10;④若e=ln x,则x=e2.
[A]① [B]②
[C]③ [D]④
AB
【解析】 根据对数的概念及一些特殊值的对数进行判断.①中lg 10=1,所以lg(lg 10)=0正确;②中ln e=1,所以lg(ln e)=0正确;③中10=lg x,则x=1010,故③不正确;④中e=ln x,则x=ee,故④不正确.故选AB.
探究点一　对数的概念
[例1] 求下列各式中x的取值范围.
(1)log(2x-1)(x+2);
[变式探究1] 在本例(2)中,若底数与真数中的式子互换,即log(-3x+8)(x2+1),则x的取值范围如何
[变式探究2] 将本例(2)中的对数式改为“log(x-2)(5-x)”,则x的取值范围如何
·方法总结·
要使对数logaN有意义,必须满足下面两个条件:
(1)底数大于0且不等于1.
(2)真数大于0.
因此求对数中参数的取值范围时,应根据对数中对底数和真数的要求列出不等式组,解出即可.
探究点二　指数式与对数式的互化
[例2] 将下列指数式与对数式互化.
(1)log216=4;
【解】 (1)因为log216=4,所以24=16.
·方法总结·
指数与对数运算是一对互逆运算,在解题过程中,往往利用ax=N x=logaN进行相互转化,在解题时要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置.如图.
[针对训练] 将下列指数式、对数式互化:
(1)43=64;
【解】 (1)因为43=64,所以log464=3.
(2)ln a=b;
【解】 (2)因为ln a=b,所以eb=a.
(4)lg 1 000=3.
【解】 (4)因为lg 1 000=3,所以103=1 000.
探究点三　对数的性质
[例3] 求下列各式中的x的值.
(1)log8[log7(log2x)]=0;
【解】(1)由log8[log7(log2x)]=0,得log7(log2x)=1,
即log2x=7,所以x=27=128.
(2)log2[log3(log2x)]=1.
【解】 (2)由log2[log3(log2x)]=1,得log3(log2x)=2,所以log2x=9,所以x=29=512.
·方法总结·
根据对数性质loga1=0,logaa=1(a>0,且a≠1)可知,若logax=0,则必有x=1,若logax=1,则必有x=a.
[针对训练] 求下列各式中x的值.
(1)lg(ln x)=1;
【解】(1)由lg(ln x)=1,得ln x=10,
所以x=e10.
(2)lg(ln x)=0.
【解】 (2)由lg(ln x)=0,得ln x=1,
所以x=e.
探究点四　对数恒等式及其应用
[例4] 求下列各式的值.
·方法总结·
[针对训练] 求下列各式的值.
(1)103lg 2×eln 2;
【解】 (1)103lg 2×eln 2=(10lg 2)3×2=23×2=16.4.2.1　对数的概念
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.将指数式=n化为对数式,其中正确的结果为(　　)
[A]e=n [B]logne=
[C]ln =n [D]ln n=
【答案】 D
【解析】 由=n得logen=,即ln n=.故选D.
2.已知lo81=x,则x等于(　　)
[A]-8 [B]8 [C]4 [D]-4
【答案】 B
【解析】 由题意得()x=81,即=34,则x=8.故选B.
3.若对数log(x-1)(4x-5)有意义,则x的取值范围是(　　)
[A][,2) [B](,2)
[C](,2)∪(2,+∞) [D](,+∞)
【答案】 C
【解析】 由题意得解得所以x的取值范围是(,2)∪(2,+∞).故选C.
4.(多选)下列指数式与对数式互化正确的是(　　)
[A]e0=1与ln 1=0
[B]log39=2与=3
[C]=与log8=-
[D]log77=1与71=7
【答案】 ACD
【解析】 对于A,e0=1可化为0=ln 1,所以A正确;
对于B,log39=2可化为32=9,所以B不正确;
对于C,=可化为log8=-,所以C正确;
对于D,log77=1可化为71=7,所以D正确.故选ACD.
5.若log3(log2x)=log2(log3y)=0,则x+y的值为(　　)
[A]2 [B]3 [C]5 [D]6
【答案】 C
【解析】 由log3(log2x)=log2(log3y)=0,所以log2x=log3y=1,所以x=2,y=3,所以x+y=5.
故选C.
6.已知ax=4,loga3=y,则ax+y等于(　　)
[A]5 [B]6 [C]7 [D]12
【答案】 D
【解析】 由loga3=y,得ay=3,
故ax+y=ax·ay=4×3=12.故选D.
7.(5分)方程=的解是　　　　.
【答案】
【解析】 因为=3-3,所以log2x=-3,所以x=2-3=.
8.(5分)计算log3[log3(log28)]=　　 　　.
【答案】 0
【解析】 令log28=x,则2x=8,所以x=3.
所以log3[log3(log28)]=log3(log33)=log31=0.
9.(13分)将下列指数式、对数式互化.
(1)3-5=;
(2)2-5=;
(3)log2128=7;
(4)logxy=z(x>0,x≠1,y>0).
【解】 (1)log3=-5.
(2)log2=-5.
(3)27=128.
(4)xz=y.
10.(15分)若lox=m,loy=m+2,求的值.
【解】 因为lox=m,所以()m=x,x2=()2m.
因为loy=m+2,所以()m+2=y,y=()2m+4.
所以==()2m-(2m+4)=()-4=16.
11.已知正实数a,b满足ab=ba,且 logab=2,a≠1,则ab等于(　　)
[A] [B]2 [C]4 [D]8
【答案】 D
【解析】 因为正实数a,b满足 logab=2,a≠1,所以a2=b,又ab=ba,所以=(a2)a=a2a,即a2=2a,解得a=2或a=0(舍去),所以b=4,故ab=8.故选D.
12.(5分)若x满足(log2x)2-2log2x-3=0,则x=　　　　　　　.
【答案】 8或
【解析】 设t=log2x,则原方程可化为t2-2t-3=0,
解得t=3或t=-1,所以log2x=3或log2x=-1,所以x=23=8或x==.
13.(16分)若log2[ lo(log2x)]=log3[lo(log3y)]=log5[lo(log5z)]=0,试确定x,y,z的大小关系.
【解】 由log3[lo(log3y)]=0,
得lo(log3y)=1,log3y=,y=(310.
由log2[lo(log2x)]=0,
得lo(log2x)=1,log2x=,x==(215.
由log5(log5z)]=0,
得lo(log5z)=1,log5z=,z==(56,
因为310>215>56,所以y>x>z.
14.(5分)方程4x-4×2x+3=0的解x=　　 　　.
【答案】 0或log23
【解析】 令t=2x,则由方程4x-4×2x+3=0可得t2-4t+3=0,解得t=1或t=3,所以t=2x=1或t=2x=3,解得x=0或x=log23.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)4.2.1　对数的概念
【课程标准要求】　1.理解对数的概念,明确对数与指数的互化关系,促进数学抽象的核心素养.2.掌握对数的基本性质,并能应用性质解决相关问题,发展数学运算的核心素养.3.通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.
1.对数的概念
(1)如果ab=N(a>0,a≠1),那么就称b是以a为底N的对数,记作logaN=b,其中,a叫作对数的底数,N叫作真数.
(2)常用对数:通常将以10为底的对数称为常用对数,并把log10N简记为lg N.
(3)自然对数:在科学技术中,常常使用以e为底的对数,这种对数称为自然对数.e=
2.718 28…是一个无理数.正数N的自然对数logeN一般简记为 ln N.
(4)对数与指数的关系.
当a>0,a≠1时,ax=N x=logaN.
[思考1] 在对数的定义中为什么不能取a≤0及a=1呢
【提示】 ①若a<0,当N取某些值时,logaN不存在,如根据指数的运算性质可知,不存在实数x使(-)x=2成立,所以lo2不存在,所以a不能小于0.
②若a=0,当N≠0时,不存在实数x使ax=N,无法定义logaN;当N=0时,任意非零实数x,有ax=N成立,logaN不确定.
③若a=1,当N≠1时,logaN不存在;当N=1时,logaN有无数个值,不能确定.
[思考2] 任何一个指数式都可以化为对数式吗
【提示】 不是,如(-3)2=9,不能写成log(-3)9=2.
[做一做1] (1)下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)
[A]100=1与lg 1=0
[B]2=与log27=-3
[C]log39=2与32=9
[D]log55=1与51=5
(2)使对数log(a-2)(7-2a)有意义的a的取值范围是　　　　　　　　.
【答案】 (1)B　(2){a}
【解析】 (1)由2=知log27=-,故B不正确.故选B.
(2)依题意,得解得22.对数的基本性质
(1)负数和0没有对数.
(2)1的对数是0,即loga1=0(a>0,a≠1).
(3)底数的对数是1,即logaa=1(a>0,a≠1).
(4)如果把ax=N(a>0,a≠1)中的x写成logaN,则有=N(对数恒等式).
[做一做2] (多选)下列各式中正确的是(　　)
①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若10=lg x,则x=10;④若e=ln x,则x=e2.
[A]① [B]②
[C]③ [D]④
【答案】 AB
【解析】 根据对数的概念及一些特殊值的对数进行判断.①中lg 10=1,所以lg(lg 10)=0正确;②中ln e=1,所以lg(ln e)=0正确;③中10=lg x,则x=1010,故③不正确;④中e=ln x,则x=ee,故④不正确.故选AB.
探究点一　对数的概念
[例1] 求下列各式中x的取值范围.
(1)log(2x-1)(x+2);
(2)lo(-3x+8).
【解】 (1)由解得x>,且x≠1.
所以x的取值范围是{x}.
(2)因为底数x2+1≠1,所以x≠0.又-3x+8>0,所以x<.
所以x的取值范围是{x}.
[变式探究1] 在本例(2)中,若底数与真数中的式子互换,即log(-3x+8)(x2+1),则x的取值范围如何
【解】 因为底数-3x+8>0,且-3x+8≠1,所以x<,且x≠.又因为x2+1>0恒成立,
所以x的取值范围是{x}
[变式探究2] 将本例(2)中的对数式改为“log(x-2)(5-x)”,则x的取值范围如何
【解】 依据题意知,解得2要使对数logaN有意义,必须满足下面两个条件:
(1)底数大于0且不等于1.
(2)真数大于0.
因此求对数中参数的取值范围时,应根据对数中对底数和真数的要求列出不等式组,解出即可.
探究点二　指数式与对数式的互化
[例2] 将下列指数式与对数式互化.
(1)log216=4;(2)lo27=-3;(3)logx=6;
(4)3-2=;(5)()-2=16.
【解】 (1)因为log216=4,所以24=16.
(2)因为lo27=-3,所以()-3=27.
(3)因为lox=6,所以()6=x.
(4)因为3-2=,所以log3=-2.
(5)因为()-2=16,所以lo16=-2.
指数与对数运算是一对互逆运算,在解题过程中,往往利用ax=N x=logaN进行相互转化,在解题时要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置.如图.
[针对训练] 将下列指数式、对数式互化:
(1)43=64;(2)ln a=b;(3)()m=n;(4)lg 1 000=3.
【解】 (1)因为43=64,所以log464=3.
(2)因为ln a=b,所以eb=a.
(3)因为()m=n,所以lon=m.
(4)因为lg 1 000=3,所以103=1 000.
探究点三　对数的性质
[例3] 求下列各式中的x的值.
(1)log8[log7(log2x)]=0;
(2)log2[log3(log2x)]=1.
【解】(1)由log8[log7(log2x)]=0,得log7(log2x)=1,
即log2x=7,所以x=27=128.
(2)由log2[log3(log2x)]=1,得log3(log2x)=2,所以log2x=9,所以x=29=512.
根据对数性质loga1=0,logaa=1(a>0,且a≠1)可知,若logax=0,则必有x=1,若logax=1,则必有x=a.
[针对训练] 求下列各式中x的值.
(1)lg(ln x)=1;
(2)lg(ln x)=0.
【解】(1)由lg(ln x)=1,得ln x=10,
所以x=e10.
(2)由lg(ln x)=0,得ln x=1,
所以x=e.
探究点四　对数恒等式及其应用
[例4] 求下列各式的值.
(1)×+;
(2)+102+lg 2+eln 3.
【解】 (1)因为=4,
==,
=24×=16×5=80.
所以,原式=4×+80=83.
(2)因为=5×=5×3=15,
102+lg 2=102×10lg 2=100×2=200,eln 3=3,
所以,原式=15+200+3=218.
形如的式子可直接利用对数恒等式=N求解(此处a>0,且a≠1,N>0).
[针对训练] 求下列各式的值.
(1)103lg 2×eln 2;
(2)+;
(3)++.
【解】 (1)103lg 2×eln 2=(10lg 2)3×2=23×2=16.
(2)+=23×+=23×3+=24+27=51.
(3)因为=(=(==2,
=(==3,=,
所以原式=2+3+=6.
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.将指数式=n化为对数式,其中正确的结果为(　　)
[A]e=n [B]logne=
[C]ln =n [D]ln n=
【答案】 D
【解析】 由=n得logen=,即ln n=.故选D.
2.已知lo81=x,则x等于(　　)
[A]-8 [B]8 [C]4 [D]-4
【答案】 B
【解析】 由题意得()x=81,即=34,则x=8.故选B.
3.若对数log(x-1)(4x-5)有意义,则x的取值范围是(　　)
[A][,2) [B](,2)
[C](,2)∪(2,+∞) [D](,+∞)
【答案】 C
【解析】 由题意得解得所以x的取值范围是(,2)∪(2,+∞).故选C.
4.(多选)下列指数式与对数式互化正确的是(　　)
[A]e0=1与ln 1=0
[B]log39=2与=3
[C]=与log8=-
[D]log77=1与71=7
【答案】 ACD
【解析】 对于A,e0=1可化为0=ln 1,所以A正确;
对于B,log39=2可化为32=9,所以B不正确;
对于C,=可化为log8=-,所以C正确;
对于D,log77=1可化为71=7,所以D正确.故选ACD.
5.若log3(log2x)=log2(log3y)=0,则x+y的值为(　　)
[A]2 [B]3 [C]5 [D]6
【答案】 C
【解析】 由log3(log2x)=log2(log3y)=0,所以log2x=log3y=1,所以x=2,y=3,所以x+y=5.
故选C.
6.已知ax=4,loga3=y,则ax+y等于(　　)
[A]5 [B]6 [C]7 [D]12
【答案】 D
【解析】 由loga3=y,得ay=3,
故ax+y=ax·ay=4×3=12.故选D.
7.(5分)方程=的解是　　　　.
【答案】
【解析】 因为=3-3,所以log2x=-3,所以x=2-3=.
8.(5分)计算log3[log3(log28)]=　　 　　.
【答案】 0
【解析】 令log28=x,则2x=8,所以x=3.
所以log3[log3(log28)]=log3(log33)=log31=0.
9.(13分)将下列指数式、对数式互化.
(1)3-5=;
(2)2-5=;
(3)log2128=7;
(4)logxy=z(x>0,x≠1,y>0).
【解】 (1)log3=-5.
(2)log2=-5.
(3)27=128.
(4)xz=y.
10.(15分)若lox=m,loy=m+2,求的值.
【解】 因为lox=m,所以()m=x,x2=()2m.
因为loy=m+2,所以()m+2=y,y=()2m+4.
所以==()2m-(2m+4)=()-4=16.
11.已知正实数a,b满足ab=ba,且 logab=2,a≠1,则ab等于(　　)
[A] [B]2 [C]4 [D]8
【答案】 D
【解析】 因为正实数a,b满足 logab=2,a≠1,所以a2=b,又ab=ba,所以=(a2)a=a2a,即a2=2a,解得a=2或a=0(舍去),所以b=4,故ab=8.故选D.
12.(5分)若x满足(log2x)2-2log2x-3=0,则x=　　　　　　　.
【答案】 8或
【解析】 设t=log2x,则原方程可化为t2-2t-3=0,
解得t=3或t=-1,所以log2x=3或log2x=-1,所以x=23=8或x==.
13.(16分)若log2[ lo(log2x)]=log3[lo(log3y)]=log5[lo(log5z)]=0,试确定x,y,z的大小关系.
【解】 由log3[lo(log3y)]=0,
得lo(log3y)=1,log3y=,y=(310.
由log2[lo(log2x)]=0,
得lo(log2x)=1,log2x=,x==(215.
由log5(log5z)]=0,
得lo(log5z)=1,log5z=,z==(56,
因为310>215>56,所以y>x>z.
14.(5分)方程4x-4×2x+3=0的解x=　　 　　.
【答案】 0或log23
【解析】 令t=2x,则由方程4x-4×2x+3=0可得t2-4t+3=0,解得t=1或t=3,所以t=2x=1或t=2x=3,解得x=0或x=log23.
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