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北京市广渠门中学2025-2026学年度第一学期试卷
高三年级 数学 学科
时间：120分钟 满分：150分 2025.8
一、选择题
1. 设集合，集合，则（ ）
A B. C. D.
2. 下列函数中，图像关于轴对称的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则
A. a2=2b2 B. 3a2=4b2 C. a=2b D. 3a=4b
4. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减
C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减
5. 已知四个数，，，，其中最小是（ ）
A. B.
C. D.
6. 海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为（ ）
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
7. 已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，则“”是“存在，使得”（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 记地球与太阳的平均距离为R，地球公转周期为T，万有引力常量为G，根据万有引力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量.已知，由上面的数据可以计算出太阳的质量约为（ ）
A. B. C. D.
10. 设集合，，那么集合中满足的元素的个数为（ ）
A. 144 B. 184 C. 232 D. 252
二、填空题
11. 函数的定义域为______．
12. 若，则____________，____________；（用数字作答）
13. 在中，，则的取值范围是______．
14. 若函数的最小值为，则常数的一个取值为______．
15. 已知函数，给出下列结论，其中所有正确结论的序号是______．
①在区间上单调递增；
②函数的极大值点是1；
③当时，方程有两个不相等的实根；
④在上没有零点．
三、解答题
16. 已知函数的图象过原点.
（1）求的值及的最小正周期；
（2）若函数在区间上单调递增，求正数的最大值.
17. 在中，．
（1）若，求；
（2）若，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使存在.求的面积
条件①：； 条件②：
18. 某校为了解该校学生对篮球及羽毛球的喜爱情况，对学生进行简单随机抽样；获得的数据如下表：（单位：人）
球类 男生 女生
喜欢 不喜欢 喜欢 不喜欢
篮球 400 100 200 100
羽毛球 350 150 250 50
假设所有学生对篮球及羽毛球是否喜爱相互独立，用频率估计概率．
（1）分别估计该校男生喜欢篮球的概率、该校女生喜欢篮球的概率；
（2）从该校全体男生和女生中各随机抽取1名，设为这2名学生中喜欢篮球的人数，估计的数学期望；
（3）将该校学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，假设该校高一年级有500名男生和400名女生，除高一年级外其他年级学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）
19. 已知椭圆，其中，点在椭圆上．
（1）求椭圆方程及上顶点的坐标；
（2）过点的直线交椭圆于两点，直线与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点．
20. 已知函数，．
（1）求在点处的切线方程；
（2）求证：当时，；
（3）求零点个数．
21. 已知为给定的正整数，．数列，，若对于任意的，，都有，则称互为逆序数列．
（1）已知，分别判断下面数列是否为的逆序数列，并说明理由．
①；②．
（2）若，数列为等差数列，其前项和为，，．数列与数列互为逆序数列，求数列的公差的取值范围；
（3）对于固定的正整数，，总有，，且数列互为逆序数列，求的最大值．
北京市广渠门中学2025-2026学年度第一学期试卷
高三年级 数学 学科
时间：120分钟 满分：150分 2025.8
一、选择题
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】D
【9题答案】
【答案】A
【10题答案】
【答案】C
二、填空题
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】 ①. ②.
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】（答案不唯一）
【15题答案】
【答案】①③④
三、解答题
【16题答案】
【答案】（1），
（2）
【17题答案】
【答案】（1）；
（2）
【18题答案】
【答案】（1）该校男生喜欢篮球的概率约为，女生喜欢篮球的概率约为.
（2）
（3），理由见解析
【19题答案】
【答案】（1），；
（2）证明见解析.
【20题答案】
【答案】（1）
（2）见详细解析 （3）2
【21题答案】
【答案】（1）数列不是的逆序数列，数列是的逆序数列.
（2）.
（3）

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