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四川省广安市友谊中学2025-2026学年高三上学期入学考试数学试卷
（满分：150分 考试时间：120分钟）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，集合，若全集，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知实数a，b，c，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 若，则等于（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，，，则（ ）
A. 5 B. C. 6 D.
7. 函数，若对，，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知偶函数的图像关于直线对称，当时，，则当时，（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的有（ ）
A. B. C. D.
10. 已知不等式的解集是，则（ ）
A. B.
C D.
11. 已知函数及其导函数定义域均为，记.若，均为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若“，”为假命题，则实数的最大值为____.
13. 已知，，，则的最小值为______.
14. 若函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.则的对称中心为______不等式的解集为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在新高考中，采用“3+1+2”模式.某校为了了解学生的选科情况，从高二年级的2000名学生（其中男生1100人，女生900人）中，采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查.
选物理 选历史 合计
男生 90
女生
30
合计
（1）已知抽取的名学生中含男生110人，求的值；
（2）在（1）的情况下对抽取到的名同学“选物理”和“选历史”进行问卷调查，得到下列2×2列联表.请将列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为选科与性别有关 并解释得到的结论.
参考公式：.
0.100 0.010 0.001
2.706 6.635 10.828
16. 已知等差数列和等比数列满足，，.
（1）求数列通项公式；
（2）求.
17. 如图，在正方体中，为中点，与平面交于点.
（1）求证：为中点；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18. 甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目，答题分两轮，第一轮为“选题答题环节”第二轮为“轮流坐庄答题环节”.首先进行第一轮“选题答题环节”，答题规则是：每位同学各自从备选的5道不同题中随机抽出3道题进行答题，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，已知甲能答对备选5道题中的每道题的概率都是，乙恰能答对备选5道题中的其中3道题；第一轮答题完毕后进行第二轮“轮流坐庄答题环节”，答题规则是：先确定一人坐庄答题，若答对，继续答下一题…，直到答错，则换人（换庄）答下一题…以此类推.例如若甲首先坐庄，则他答第1题，若答对继续答第2题，如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题，…直到乙答错再换成甲坐庄答题，依次类推两人共计答完20道题游戏结束，假设由第一轮答题得分期望高的同学在第二轮环节中最先开始作答，且记第道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为（），其中，已知供甲乙回答的20道题中，甲，乙两人答对其中每道题的概率都是，如果某位同学有机会答第道题且回答正确则该同学加10分，答错（不答视为答错）则减5分，甲乙答题相互独立；两轮答题完毕总得分高者胜出.回答下列问题
（1）请预测第二轮最先开始作答的是谁？并说明理由
（2）①求第二轮答题中，；
②求证为等比数列，并求（）的表达式.
19 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数有两个极值点，．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：．
参考答案
1-8
【答案】C
【答案】B
【答案】D
【答案】A
【答案】B
【答案】B
【答案】A
【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】BCD
11.【答案】BD
12.【答案】1
13.【答案】25
14.【答案】 ①. ②.
15.【小问1】
由题意得，解得（人）.
【小问2】
列联表：
选物理 选历史 合计
男生 90 20 110
女生 60 30 90
合计 150 50 200
因为
∴没有99%的把握认为选科与性别有关.
16.【小问1】
设等差数列的公差为，
由题可得：，解得，
；
【小问2】
设等比数列的公比为，则，
又，，
所以，又，解得，
即，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
.
17.【小问1】
依题意连接，如下图所示：
由正方体性质可得，又平面，平面，
可得平面，
因为与平面交于点，即平面平面，
可得，
因此，又为中点，
可得为的中点；
【小问2】
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
不妨设正方体的棱长为2，
可得，即；
设平面的一个法向量为，
则，令，可得，
即；
显然平面的一个法向量可以为，
因此平面与平面夹角的余弦值为；
可得平面与平面夹角的余弦值.
18.(1)设甲选出的3道题答对的道数为,则,
设甲第一轮答题的总得分为,则,
所以;
(或法二:设甲的第一轮答题的总得分为,则的所有可能取值为30,15,0,-15,
且,
,
,
,
故得分为的分布列为:
30 15 0 -15
;)
设乙的第一轮得分为,则的所有可能取值为30,15,0,
则,,,
故的分布列为:
30 15 0
故,
∵,所以第二轮最先开始答题的是甲.
(2)①依题意知,,,
②依题意有(),
∴(),
又,
所以是以为首项,为公比的等比数列,
∴,
∴().
19.【小问1】
由定义域为，且，
令得，或，
①当时，，，单调递增，
，，单调递减，
，，单调递增，
②当时，，在单调递增，
③当时，，，单调递增，
，，单调递减，
，，单调递增，
综上：
当时，的单调递增区间为、，的单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为、，的单调递减区间为.
【小问2】
（i）由已知，，则，
函数有两个极值点，，即在上有两个不等实根，
令，只需，故，
（ii）由（i）知，，，且，
，
要证，即证，只需证，
令，，则，
因为恒成立，所以在上单调递减，
又，，
由零点存在性定理得，使得，即，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
则，
∵在上显然单调递增，
∴，
∴，即，得证．

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