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四川省内江市第六中学2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 选择题（满分58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，B＝，则＝( )
A. B. C. D.
2. “”是“函数在区间上单调递减”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
4. 在的展开式中，的系数等于（ ）
A. 6 B. 12
C. 18 D. 24
5. 已知公比为正数的等比数列前n项和为，且，，则（ ）
A. 或 B. C. D.
6 若，，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知随机变量满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知正实数，满足，则（ ）
A. 2 B. C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 袋子里有大小和形状完全相同的5个小球，其中红球2个，蓝球3个，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．记“第一次摸出蓝球”为事件，“第二次摸出红球”为事件，则下列说法正确的是（ ）
A.
B
C.
D. 摸球两次，恰有一个是红球的概率为
10. 若，则（ ）
A. B.
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11. 已知定义在R上的函数满足关于对称，且满足，则（ ）.
A. 的图象关于直线对称
B. 是以4为周期的周期函数
C. 的图象关于点对称
D.
第Ⅱ卷 非选择题（满分92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 甲、乙等个人排成一列，则甲不在排头的排法种数是______．
13. 已知为奇函数，则____________.
14. 已知函数，则最大值是________．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知是公差为的等差数列，其前项和是，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和；
16. 为了解高中学生数学成绩与物理成绩的关联性，现从某高中学校抽取100人，得到如下信息：数学成绩与物理成绩都优秀的有10人，都不优秀的有65人.
（1）依据上述信息完善下列列联表，并根据小概率的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联；
数学成绩 物理成绩 合计
优秀 不优秀
优秀 20
不优秀
合计 100
（2）从数学成绩优秀的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，若从这6人中随机抽2人、记为物理成绩优秀的学生人数，求的分布列及数学期望.
附：，.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3841 6.635 7.879 10.828
17. 已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐、面食套餐和西餐套餐三种选择．已知某同学开学第一天选择的是米饭套餐，从第二天起，每天中午会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复．
（1）求该同学第4天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为；
①求；
②当时，恒成立，求的取值范围．
19. 已知函数，．
（1）若，求曲线在点处切线方程；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，，若存在，使得．证明：．
参考答案
1-8
【答案】A
【答案】A
【答案】B
【答案】D
【答案】C
【答案】C
【答案】D
【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】BC
12.【答案】96
13.【答案】##0.5
14.【答案】
15.（1）由题意，，解得，
∴.
（2）由，
∴.
16.【小问1】
由题可得列联表如下：
数学成绩 物理成绩
合计
优秀 不优秀
优秀 10 20 30
不优秀 5 65 70
合计 15 85 100
零假设数学成绩与物理成绩无关联，
由表格得，
所以根据小概率的独立性检验，没有充分依据推断成立，即推断不成立，
所以根据小概率的独立性检验，认为数学成绩与物理成绩有关联.
【小问2】
由（1）可得从数学成绩优秀的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，
则物理成绩优秀的学生有2人，物理成绩不优秀的有4人，
所以若从这6人中随机抽2人则的取值有，
且，
所以的分布列为
0 1 2
所以的数学期望.
17.【小问1】
由题意，，
由①，可得 ，②，
联立①和②，解得，，；
【小问2】
由，将（1）结论代入可得，（*），
设，则，因时，是增函数，故得，
此时（*）为，即，
依题意，不等式在上恒成立.
而函数在上单调递减，在上单调递增，
故，即时，取得最小值为4，
故，即.
18.【小问1】
设为“第4天中午选择米饭套餐”，
根据每天与前一天选择不一样的套餐，且第一天选择米饭套餐，接下来的三天中每天都只有两种选择，
因此样本空间包含个样本点，
若第一天选择米饭套餐，第4天选择米饭套餐，则第二天有两种选择，第三天和前后两天都不能相同，仅有一种选择，
即事件中包含个样本点，
所以，
所以第4天中午选择米饭套餐的概率
【小问2】
①设为“第天选择米饭套餐”，为“第天选择面食套餐”，为“第天选择西餐套餐”
根据题意，，，，
由全概率公式得：
，
∴，
因为
∴
因此，因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以
②由①可得，
当为大于1的奇数时，
当为正偶数时，
因此，当时，，所以．
19.【小问1】
当时，，
∴
又∴
∴切线方程为；
小问2】
方法一：
设
只需在时恒成立即可
又，且
所以要使当时，，
必须满足，即．
下面证明时满足题意：
①当时，由，，
令，
由（1）知，在上单调递增，
所以，
所以当时，，即；
②当时，，
令，，则，
所以在上单调递增，
又，当时，，
所以存在，使得，
当时，，即在上单调递减，
当时，，
所以当时，不恒成立．
综上所述，实数的取值范围是．
方法二：
设，
则，
令，则，
当时，，
，在上单调递增，
即在上单调递增，
所以所以在上单调递增，
所以，
所以符合题意；
当时，令得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，即在上恒成立，
所以，
所以符合题意；
当时，在上恒成立，
在上单调递增，
即在上单调递增，又因为
当时，，
所以存在，使得，
当时，，即在上单调递减，
当时，
综上所述，实数的取值范围是．
方法三：参变分离得：
令，，
∵，∴
∴在区间上单调递减
∴
∴
∴在区间上单调递减
∴
∴
∴在区间上单调递减
∴
由洛必达法则可得：
综上所述，实数的取值范围是．
【小问3】
由函数，
可得，
设，由，
可得，
则，
又由，可得，
∴函数为单调递增函数，
∴，即，
∴，
由（2）知，当时，，，
∴，
即，
∴，
代入可得：
，
则，
∴，
又因为时，，
所以，
所以.

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