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河北省秦皇岛市实验中学 2025 - 2026 学年度第一学期开学考试
高二数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一
符合题目要求的。
1. 已知集合，，则
A. B.
C. D.
2. 复数
A. B. C. D.
3. 已知，，且，则的最小值是( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
4. 下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
5. 已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6. 下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是( )
A. B. C. D.
7. 在正方体中，下列几种说法正确的是( )
A.
B.
C. 与平面成
D. 与成 角
8. 已知向量，，若，则向量与夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. 下列说法正确的是( )
A. ，
B. 是的充分不必要条件
C. 函数的零点为 1
D. 若的定义域为，则的定义域为
10. 下列选项中，值为的是( )
A. B.
C. D.
11. 给出下列说法，其中正确的是( )
A. 数据 0，1，1，2，2，2，3，4 的极差与众数之和为 6
B. 已知一组数据 1，2，，8，，9 的平均数为 6，则这组数据的中位数是 8
C. 已知某班共有 45 人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第 9 名，则小明成绩是全班数学成绩的第 20 百分位数
D. 一组不完全相同数据，，，的方差为 3，则数据 ，，，的方差为 12
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 不等式的解集是____
13. 设，，夹角为，则等于____
14. 如图，在棱长为 2cm 的正方体中，四面体的体积等于____
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. (本小题 13 分)
已知函数.
(1)判断函数的单调性,并证明:
(2)求函数在上的最大值和最小值
16. (本小题 15 分)
已知向量，，函数
(1)求函数的最小正周期;
(2)求函数的单调递减区间.
(3)求函数的对称轴方程与对称中心坐标。
17. (本小题 15 分)
在中，，。
(1)若点是线段的中点，，求边的值;
(2)若，求的面积.
答案和解析
1. 【答案】C
解：由已知，，
于是。
故选：C。
2. 【答案】C
解：。
故选 C
3. 【答案】C
解：根据题意，若，，且，
则，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是9。
故选：C。
4. 【答案】D
解：题目要求偶函数，排除A，B选项，C选项在区间上单调递减，故排除C选项，
D选项既是偶函数，又在区间上单调递增，
故选：D。
5. 【答案】D
解：，
，
，
所以
，，的大小关系。
故选 D。
6. 【答案】B
解：由于函数最小正周期为，函数的定义域为R，，则为偶函数，故A错误；
由于函数最小正周期为，函数的定义域为，，则为奇函数，故正确；
由于函数正周期为且为奇函数，故错误；
由于函数，它的最小正周期为且为奇函数，故错误，
故选．
7.【答案】
【解析】解：在正方体中，与是异面直线，所以错误；
在正方体中，连接，，，由题可知，平面，平面，所以，
又因为，，，平面，所以平面，平面，故，所以正确；
取的中点，连接，则可得为与平面所成的角，这个角不等于，所以不正确；
在正方体中，和所成的角为，所以不正确．
故选．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，因为，，，
所以，解得，
所以，，
所以向量与夹角的余弦值为：
．
故选：．
9.【答案】
解：对于.因为对恒成立，故错误;
对于.因为，所以是的充分不必要条件，故正确;
对于.因为由得，所以函数的零点为，故正确;
对于.因为函数的定义域为，所以，因此函数的定义域为，故错误．
10.【答案】BC
解：，故 A 错误；
，故 B 正确；
，故 C 正确；
，故 D 错误.
故选：BC.
11.【答案】AD
解：A.数据 0，1，1，2，2，2，3，4 的极差是 4，众数是 2，所以极差与众数之和为 6，故 A 正确；
B.∵ 数据 1，2，m，8，m + 1，9 的平均数为 6，故，
解得，故这组数据的中位数是，故 B 错误.
C.某班共有 45 人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第 9 名，即小明的成绩是全班成绩从小到大排列的第 37 个数，
由于 45×20％ = 9，则小明成绩不是第 20 百分位数，故 C 错误；
D.若样本数据，，…，的方差为 3，
则数据，，…，的方差为，故 D 正确.
故选：AD.
12.【答案】(-2,4)
解：原不等式等价于，
等价于，
解得，
所以不等式的解集为.
故答案为(-2,4).
13.【答案】
【解答】
解：由已知，，夹角为 60°，
则
故答案为.
14.【答案】
【解析】解：四面体的体积等于正方体体积减去四个小三棱锥体积
即.
故答案为：.
15.【答案】解：(1)函数在上单调递增; 证明如下:设任意的满足,
因为
因为,所以,因此,即,
所以函数在上单调递增.
(2)由(1)知函数在上单调递增,所以;
,因此函数在上的最大值为,最小值为.
16.【答案】解：(1)因为,所以
,所以,故函数的最小正周期是.
(2)由,得,解得:,
所以函数的单调递减区间为.
(3) 对称轴方程 对称中心坐标
17. (1)设 ,则 , ∴在 中, , ∴ ,整理得 ,解得 ( 舍去), ∴ ,即 为等边三角形,则 .
(2)由正弦定理知: ,由已知得 ,
∵ ,即 , ∴ ,而 ,
∴ .
18. 【答案】证明:
(1)取 的中点为 ,连接 、,
因为 平面 , 平面 ,故 ,而 为等边三角形, 为 的中点,所以
,又 、 分别为 、 所在棱的中点,所以 , .又 , ,所以 , ,故四边形 为平行四边形,所以 ,则 , ,又 ,所以 平面 .
(2)∵ 平面 , 平面 ∴ ,且 为直线 与平面 所成角,由题知
, , ,则 ,即直线 与平面 所成角的余弦值为 .
19. 【答案】解: (1)由频率分布表知: 数据在 的频数为17, ∴频率为0.17, ∴ ;
数据在 的频数为25, ∴频率为0.25, ∴ ;
(2)数据的平均数为: (小时);
(3)第60百分位数: .

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