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2025-2026 学年重庆市南开中学高一（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 ， ， 或 ，则 ( )
A. B. C. D.
2.若集合 ， ，且 ，则实数 的值( )
A. B. C. 或 D. 或 或
3.关于 的一元二次方程 有实数根，则实数 的取值范围是( )
A. 且 B. C. 且 D.
4.如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度 随行时间 的变化
情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为( )
A.
B.
C.
D.
5.用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第 个图案中有 个正方形，第 个图案中有 个正方形，第
个图案中有 个正方形，第 个图案中有 个正方形，此规律排列下去，则第 个图案中正方形的个数
为( )
A. B. C. D.
6.估计 的值应在( )
A. 和 之间 B. 和 之间 C. 和 之间 D. 和 之间
7.有三支股票 ， ， ， 位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有 股票
的人中，持有 股票的人数是持有 股票的人数的 倍．在持有 股票的人中，只持有 股票的人数比除
了持有 股票外，同时还持有其它股票的人数多 在只持有一支股票的人中，有一半持有 股票．则只持
有 股票的股民人数是( )
A. B. C. D.
8.方程 的实根的个数为( )
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A. B. C. D.
二、多选题：本题共 4 小题，共 24 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 为全集，下列选项中能推出 的有( )
A. B. C. D.
10.定义一个集合 的所有子集组成的集合叫做集合 的幂集，记为 ，用 表示有限集 的元素
个数，则下列命题中正确的是( )
A.对于任意集合 ，都有
B.若 ，则
C.若 ，则
D.若 ，则
11.已知 ， ， ，则 的取值不可能是( )
A. B. C. D.
12.有 个依次排列的整式：第 项是 ，用第 项乘以 ，所得之积记为 ，将第 项加上
得到第 项，再将第 项乘以 得到 ，将第 项加上 得到第 项，以此类推；下列
说法正确的是( )
A.第 项为 B.
C.若第 项的值为 ，则 D.当 时，第 项的值为
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.如图，已知全集 ，集合 ， 或 ，
则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为______．
14.对于任意集合 ， ，定义： ，且 已知集合 ，
，则 ______．
15.A、 、 、 、 五个队进行单循环赛 单循环赛制是指所有参赛队在竞赛中均能相遇一次 ，胜一
场得 分，负一场得 分，平局各得 分 若 队 胜 负， 队得 分， 队得 分， 队胜了 队，则
队得分为______．
16.已知有限集合 ，定义集合 中的元素个数为
集合 的“容量”，记为 若集合 ，则 ______；若集合
，且 ，则正整数 的值是______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 66 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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17. 本小题 分
解下列各题：
化简： ；
因式分解： ；
计算： ．
18. 本小题 分
已知关于 的方程 有两个实数根 ， ．
若 ，求 的值；
若 ，求实数 的值．
19. 本小题 分
已知集合 或 ， ．
若 ，求 的取值范围；
若 ，且 ，求 的取值范围．
20. 本小题 分
已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ， ．
求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
根据函数图象，直接写出不等式 的解集；
若点 是点 关于 轴的对称点，连接 ， ，求 的面积．
21. 本小题 分
若一个四位数 的个位数字与十位数字的平方和恰好是 去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四
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位数 为“勾股和数”．
例如： ， ， 是“勾股和数”；
又如： ， ， ， 不是“勾股和数”．
判断 ， 是否是“勾股和数”，并说明理由；
一个“勾股和数” 的千位数字为 ，百位数字为 ，十位数字为 ，个位数字为 ，记 ，
当 ， 均是整数时，求出所有满足条件的 ．
22. 本小题 分
设集合 为 元数集，若 的 个非空子集 ， 满足： ， ，则称 ， 为 的
一个二阶划分 记 中所有元素之和为 ， 中所有元素之和为 ．
Ⅰ 若 ，求 的一个二阶划分，使得 ；
Ⅱ 若 求证：不存在 的二阶划分 ， 满足 ；
Ⅲ 若 ， ， ， 为 的一个二阶划分，满足： 若 ，则 ；
若 ，则 ．
记 为符合条件的 的个数，求 的解析式．
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参考答案
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17.解： 原式 ；
原式 ；
原式 ．
18.解： 当 时，原方程为 ，判别式 ，
， ，
；
根据题意， ，解得 ，
， ，
由 ，得 ，
解得 舍去 ，或 ，
所以实数 的值为 ．
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19.解： 集合 或 ， ．
．
， A.
当 时， ，得 ，符合题意．
当 时， ，解得 ．
的取值范围为 ；
由题意得 ，由 可知 ，得 ．
当 ，即 时， ，
，得 ， ．
当 时，即 时， ，
，得 ， ．
当 ，即 时， ，不符合题意．
故 的取值范围为 ．
20.解： 依题意， ， ，
解得 ， ，
， ，
一次函数 的图象过 点和 点，
，解得 ，
一次函数的表达式为 ，描点作图如下图；
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由 中的图象可得，不等式 的解集为： 或 ；
由题意作图如下图：
由图知 中 边上的高为 ， ，
．
21.解： ， ，
不是“勾股和数”，
，
是“勾股和数”；
为“勾股和数”，
，
，
为整数，
，
为整数，
为 的倍数，
为 的倍数，
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
当 ， 时， ，
当 ， 时， ．
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22.解： Ⅰ 因为 ，
所以 ，
所以 ，即可知 ，
因为 ， ，
所以 ；
Ⅱ 证明：假设存在符合条件的一个二阶划分 ， 满足 ，
则 ，从而 是 的倍数，
又 ，所以 ，
因为 不能被 整除，所以 不是 的倍数，
所以假设不成立，
所以不存在 的二阶划分 ， 满足 ；
Ⅲ 任取偶数 ，将 除以 ，若商仍为偶数，再除以 ， ，经过 次以后，
商必为奇数，此时记商为 ，即 ，其中 为奇数，
因为 ，则 ，即 ，
所以若 ， 为奇数时， ，即 ；当 为偶数时， ，
所以 中的任意一个偶数 的位置都是确定的，且与 的位零相关，
所以可知 是由 中的奇数 ， ， ， 的位置确定，
设 表示 中所有的奇数的集合，则 等于 的子集的个数，
当 是偶数时， 中的奇数个数有 个，此时 的子集个数有 个，即 ，
当 是奇数时， 中的奇数个数有 个，此时 的子集个数有 个，即 ，
所以 ．
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