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2025-2026学年浙江省浙南名校联盟高二上学期返校联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则等于( )
A. B. C. D.
2.众数、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关如图的分布形态中，，，分别表示众数、平均数、中位数，则( )
A. B. C. D.
3.“点在函数图像上”是“点在函数图像上”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在中，为中点，为的中点，则( )
A. B. C. D.
5.根据以往考试统计，某学生数学考试不及格的概率为，英语考试不及格的概率为，而他数学或英语考试至少有一门不及格的概率为，则他数学和英语两门都不及格的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知，为异面直线，，为两个不同平面，，，且直线，，，，则下列结论可能正确是( )
A. ，且与相交 B. ，且与垂直
C. 与相交，且交线垂直 D. 与相交，且交线平行
7.四棱锥，平面平面，四边形为正方形，，，则四棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知实数，满足，则( )
A. B. C. 的最大值为 D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则，
B. 的最大值为
C. 存在，使得
D. 存在，使得在上的投影向量为
10.在图书馆的借书抽奖活动中，工作人员准备了编号为、、、的个神秘书签，书签除编号外完全相同小张依次不放回地抽取两张书签，依次抽出后记录编号( )
A. 小张不可能两次都抽出编号为的书签
B. “两书签编号之和为”的概率是
C. “抽到第一张书签编号为奇数”与“两书签编号和为”相互独立
D. “抽到第一张书签编号为奇数或两书签编号和为”的概率为
11.已知函数和的定义域均为，且，，若函数关于直线对称，则下列各式正确的是( )
A. B. 函数周期为
C. 关于对称 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为虚数单位，则 ．
13.已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为 ．
14.在三棱锥中，平面平面，，为棱上的点若平面与平面所成角的余弦值为，记三棱锥、三棱锥体积分别记作、，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，若从条件，条件，条件中选择一个作为已知条件条件条件条件B.
求的大小
若，求面积的最大值．
16.本小题分
设函数，且．
若在上单调递减，求的取值范围
当时，在上恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
为筹备“浙江省城市篮球联赛浙”城市争霸赛，某市级联队面向社会公开选拔战术助理教练，选拔流程包括两轮测试，重点考察选手的篮球知识储备与临场战术应对能力：第一轮为战术理解测试：从道经典战术分析题中任选题作答，若两题均答对得分，其余情况得分第二轮为实战应变测试：从道实战应变题中任选题作答，每答对题得分，答错得分若两轮总成绩不低于分，选手将获得面试资格，且进入正式教练团队备选名单现有两位候选人甲与乙参加此次测试，甲对两轮题目中每道题的答对概率均为乙第一轮测试题仅掌握其中题掌握的题必答对，未掌握的题必答错，乙第二轮每题答对的概率为所有测试中，每项成功与否互不影响．
求甲两轮测试总分为分的概率
求乙在第一轮测试中得分的概率
试判断谁更有可能进入正式教练团队备选名单
18.本小题分
如图，在矩形中，，，为线段上的点，且，将沿折起，点翻折至位置，连接，，形成四棱锥．
若为棱的点，且满足平面，求的值
若二面角的平面角大小为，求到平面的距离
求直线与平面所成角的正切值取值范围．
19.本小题分
人教版必修教材第页阐述一个数学定理代数基本定理：，任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根，且在复数集中可以分解为个一次因式的乘积比如：，
写出方程的复数根
下面我们探究的立方根和四次方根的几何性质我们知道的立方根有个，可分别表示成，，，它们对应点将单位圆三等分的四方根有四个，可以分别表示成，，，．
(ⅰ)根据上述探究，请你猜想并证明的次方根
提示：若，，则
(ⅱ)求的值用表示．
参考答案
1.
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4.
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8.
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12.
13.
14.
15.解：选择条件：因为，
由正弦定理可知，
因为，所以，
即，且，所以
选择条件：由正弦定理得
即
所以
所以
又，得，因为，所以
选择条件：由和正弦定理可得，
又，
故，
因此，由于，
故，即，由于，故B；
由余弦定理可得，
由于，
故，当且仅当时取到等号，
故面积为，
故面积的最大值为．
16.解：且，在上单调递增，又在上单调递减，
由复合函数单调性可知，
解得；
当时，，则在上单调递减，
所以对上恒成立，且对上恒成立，
令，则，
且
即对上恒成立，
在上单调递增，
则当时，，
可得．
17.解：设“甲两轮总分得分”为事件，
“甲第一轮答错一题得分，第二轮答对一题得分”为事件
“甲当第一轮答错两题得分，第二轮答对一题得分”为事件，
则，
，
所以；
对第一轮的个问题进行编号：，，，，，第一轮从个问题中任选两题作答，
则有，，，，，，，，，共种，
设乙只能答对个问题的编号为：，，，，
则乙在第一轮得分，有，，，，，共种，
则乙在第一轮得分的概率为：
由知，乙在第一轮得分的概率为，
则乙在第一轮得分的概率为：，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总分不低于分，
当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时，
甲和乙晋级复赛的概率分别为：
当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时，甲和乙获得面试资格的概率分别为：
当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时，甲和乙获得面试资格的概率分别为：
当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时，甲获得面试资格的概率分别为：
，
甲获得面试资格的概率为：
乙获得面试资格的概率为：
，
，
乙更有机会获得面试资格，进入正式教练团队备选名单．
18.解：在中，，，，
则，，
在线段上截取，
由，可得四边形为平行四边形，
则，
又平面，平面，
则平面，
因为平面，
又，平面，
则平面平面，
因为平面平面，平面平面，
所以，
又，，
则
过点作，垂足为，则，
为二面角的平面角的补角，
，
又，故B到平面的距离为
连接，在中，，，
则，
又在中，，，
则，
故B、、三点共线，
易得平面，
又平面，
平面平面，
则即直线与平面所成角，
由题可知，在以为圆心，为半径的圆上，
则当直线与圆相切时，取得最大值，
此时，，
故直线与平面所成角的正切值取值范围为
19.解：，，，；
的次方根为，，
，，，
易知是方程的根，
由提示，，则是方程的根，
依次类推均为的五次方根，命题得证．
由诱导公式，原式化简为，
由易证：若，则，，，均为方程的根．
由代数基本定理可知，
所以，
所以
又，，，均为方程的根，，
所以，
则等于，
因为，
所以
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