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2025-2026学年广西来宾高级中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.一个样本，，，的平均数是，且、是方程的两根，则这个样本的方差是( )
A. B. C. D.
3.如图，为的边上的中线，且，那么为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知在中，，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
5.某同学统计了自年以来，中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下不含中国香港、中国台湾：，，，，，，，则这组数据的分位数为( )
A. B. C. D.
6.从、、、这四个数中一次随机取两个，则取出的这两数字之和为偶数的概率是( )
A. B. C. D.
7.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
8.已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下关于统计学中数字特征的说法，正确的是( )
A. 若一组数据，，，，的平均数为，给这组数据中的每个数都加上一个常数，新数据的平均数为
B. 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，若数据，，，，的方差为，则，，，，为非零常数的方差为
C. 众数是一组数据中出现次数最多的数．对于数据，，，，，，，众数是
D. 数据，，，，，，中位数是；对于数据，，，，，中位数是
10.已知的内角，，的对边分别为，，，则如下判断正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则为等腰三角形或直角三角形
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，，，则符合条件的有两个
11.如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则( )
A. 直线与是异面直线
B. 直线与所成的角是
C. 直线平面
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某单位有男职工人，女职工人，若根据性别采取分层抽样的方法，从中抽取一个容量为的样本，则女职工应抽取的人数为______．
13.甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是，，那么两人都解错的概率是______．
14.锐角的内角，，的对边分别为，，，，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，，．
求与的夹角的正弦值；
若在上的投影向量是，求实数．
16.本小题分
记的内角、、的对边分别为、、，已知．
求；
若，，求的面积．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，，分别是，的中点．
求证：平面；
求证：平面；
求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试已知此次考试共有名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示同一组中的数据以该区间的中点值为代表．
求的值；
估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数结果保留两位小数；
估计该校学生的数学成绩的第百分位数结果保留两位小数．
19.本小题分
某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为、、；在实验考核中合格的概率分别为、、所有考核是否合格相互之间没有影响．
Ⅰ求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
Ⅱ求这三人该课程考核都合格的概率结果保留三位小数．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，，，
所以，，
所以，
所以，
即与的夹角的正弦值为；
由题意知，，
所以，
，
因为在上的投影向量是，
所以，
则，解得．
16.根据题意可知，及正弦定理可得，
即，由余弦定理可得，
因为，故；
因为，即，
所以的面积为．
17.证明：若为的中点，连接，，又，分别是，的中点，
所以且，而底面是正方形，
则且，
所以，，故EFGD为平行四边形，即，
由平面，平面，则平面；
证明：由及，则，而，故FG，
由底面，底面，则，
所以，
由底面是正方形，则，
所以，是的中点，则，
由且都在面平面内，故FG平面；
解：由底面，，底面，则，，
又，，，
所以，
则，
令棱锥的高为，又，
所以，
即，解得，
又，
故GA与平面所成角的正弦值为．
18.解：由评论分布直方图的性质可得，解得．
由频率分布直方图知：众数为，
，，
故中位数位于内，设中位数为，
则有，解得．
中位数为．
平均数为．
成绩小于分所占的比例为，
成绩小于分所占的比例为，
第百分位数在内，
第百分位数为．
19.记“甲理论考核合格”为事件；
“乙理论考核合格”为事件；“丙理论考核合格”为事件；
记为的对立事件，，，；记“甲实验考核合格”为事件；
“乙实验考核合格”为事件；“丙实验考核合格”为事件；
Ⅰ记“理论考核中至少有两人合格”为事件，
理论考核中至少有两人合格的概率为
Ⅱ记“三人该课程考核都合格”为事件
这三人该课程考核都合格的概率为
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