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2024-2025学年内蒙古呼伦贝尔市鄂伦春旗九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.把图中的风车图案绕着中心O旋转，旋转后的图案与原来的图案重合，旋转角的度数至少为（　　）
A. 60°
B. 72°
C. 90°
D. 180°
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=-ax+b的图象大致是（　　）
A. B. C. D.
3.下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
4.若点A（-1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y3＜y1
5.在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径15cm，圆心角120°的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是（　　）
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
6.某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请的参赛队数是（　　）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
7.已知m,n是一元二次方程x2+x-6=0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8.如图，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为（　　）
A. 3
B. 5
C. 6
D. 8
9.二次函数y=ax2+bx+c图象如图，①abc＞0；②4a-b=0；③b2＜4ac；④4a-2b+c＜0；⑤方程：ax2+bx+c=5无解.正确项的序号（　　）
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①⑤
10.若关于x的一元二次方程（k-1）x2+x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A. k≤ B. k＞ C. k＜且k≠1 D. k≤且k≠1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图，过点P（4，6）分别作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，PC、PD分别交反比例函数y=（x＞0）的图象于点A、B，则四边形BOAP的面积为 .
12.如图，⊙A，⊙B，⊙C的半径都是2cm,则图中三个扇形（即阴影部分）面积之和是______.
13.如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，则AO：OD=______．
14.有一个亭子的地基如图所示，它是一个半径为4m的正六边形，它的面积是______（保留根号）．
15.如图△ABC中，BC=12cm,高AD=8cm,正方形PQMN如图所示，则正方形边长PQ= ______.
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE于点D，AC平分∠DAB.
（1）求证：直线CE是⊙O的切线；
（2）若AB=10，AD=6，求BC的长.
17.(本小题8分)
如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接BC，已知点C（2，0），BD=3，S△BCD=3.
（1）求点B坐标及反比例函数解析式；
（2）若AB所在直线的解析式为y2=ax+b（a≠0），根据图象，请直接写出不等式的解集.
18.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC=∠ACB=90°.
（1）求证：AC2=AB AD；
（2）若BC=3，AB=5，求CD的长.
19.(本小题8分)
如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀．
（1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表法（或树状图）说明理由（纸牌用A、B、C、D表示）．
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点都在格点上，坐标分别为A（2，4），B（1，2），C（5，3）.
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，写出B2点坐标.
（3）在x轴上找一点P，使PB+PC的和最小，求出P点坐标.
21.(本小题8分)
2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件.
（1）求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率.
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
22.(本小题8分)
已知：如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3BO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】16
12.【答案】2πcm2
13.【答案】4：3
14.【答案】24m2
15.【答案】4.8cm
16.【答案】（1）证明：连接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAD=∠CAB，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DE，
∴OC⊥DE，
∵OC是半径，
∴直线CE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴=，
即=
∴AC=2，
∴BC===2．
17.【答案】解：（1）点A，B是反比例函数图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，点C（2，0），
∴点，
∵BD=3，
∴，
即点，
∵，
∴CD=2，
即，
解得，k=12，
∴反比例函数解析式为，
∴A（2，6），B（4，3），
∴点B的坐标为（4，3），反比例函数解析式为；
（2）已知点A（2，6），B（4，3），
∴由图象可知，当0＜x≤2时，，
即；
当x≥4时，，
即；
综上所述，当0＜x≤2时或当x≥4时，．
18.【答案】证明见解答；

19.【答案】解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，所以摸到正面是中心对称图形的纸牌的概率是；
（2）列表得：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌都是轴对称图形的有6种，
∴P（两张都是轴对称图形）=，因此这个游戏公平．
20.【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，B2（2，-1）；
（3）作点B关于x轴的对称点B3，再连接B3C与x轴的交点即为所求点P，
由题意可得B3（1，-2），C（5，3），
设直线B3C解析式为y=kx+b,代入得：
，
解得，
∴直线B3C解析式为，
令得，
∴．
21.【答案】解：（1）设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x,
根据题意得：256（1+x）2=400，
解得：x1=0.25=25%，x2=-2.25（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为25%；
（2）设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为（68-45-m）元，月销售量为（400+20m）件，
根据题意得：（68-45-m）（400+20m）=8400，
整理得：m2-3m-40=0，
解得：m1=8，m2=-5 （不符合题意，舍去），
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元．
22.【答案】解：（1）∵B（1，0），
∴OB=1；
∵OC=3BO，
∴C（0，-3）；
∵y=ax2+3ax+c过B（1，0）、C（0，-3），
∴；
解这个方程组，得
∴抛物线的解析式为：
（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N
在中，令y=0，
得方程
解这个方程，得x1=-4，x2=1
∴A（-4，0）
设直线AC的解析式为y=kx+b
∴
解这个方程组，得
∴AC的解析式为：
∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC
=
=
设，
当x=-2时，DM有最大值3
此时四边形ABCD面积有最大值
（3）如图所示，
①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，
∵C（0，-3）
∴设P1（x，-3）
∴
解得x1=0，x2=-3
∴P1（-3，-3）；
②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵C（0，-3）
∴设P（x，3），
∴，
x2+3x-8=0
解得或，
此时存在点和
综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P1（-3，-3），，．

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