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彭山一中27届高二上开学考数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知为虚数单位，复数，则　　
A. B. C. D.
2. 用按比例分配的分层随机抽样方法，从某学校的600名男生和800名女生中选取14人参与某项研学活动，则女生比男生多选取（ ）
A. 8 人 B. 6人 C. 4人 D. 2人
3．已知两条直线若平面，，则与平面的位置关系是（ ）
A． 平面 B．⊥平面或 平面
C．∥平面 D．∥平面或 平面
4.收集一组数据：10，20，30，70，80，90，100，110，则该组数据的第75百分位数是（ ）
A. 85 B. 90 C. 95 D. 100
5．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是（ ）
A． B． C．64π D．
6．若（ ）
A． B． C． D．
7. 甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（ ）
A. 甲：平均数为，中位数为 B. 乙：中位数为，众数为
C. 丙：平均数为，方差为 D. 丁：中位数为，方差为
8. 已知函数，则（ ）
A. 若函数相邻两条对称轴的距离为，则
B. 当，时，的值域为
C. 当时，是的对称中心
D. 若在内有且仅有两个零点，则
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是
A．复数的虚部为 B．
C． D．若是实数，是纯虚数，则
10．如图所示，在四面体中，，，平面平面，则下列结论错误的是
A． B．
C．与平面所成的角为 D．四面体的体积为
11．在中，角的对边分别为，的面积为，且，下列选项正确的是
A． B．的最大值为
C．若有两解，则取值范围是
D．若 ，O为的外心，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，且‖，则__________.
13. 已知，，则______．
14. 在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面，若，，则这个四棱锥的外接球表面积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （13分）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知点，点，点
（1）求夹角的余弦值
（2）当是以角为直角的三角形时，求的值
16.（15分）某校高一年级共名学生参加某次数学考试后，学校随机抽取了若干份试卷对其得分（满分分）进行统计，按照，，，，分成组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值；
（2）试估计本次数学考试分数中位数（保留一位小数）；
（3）试估计本次数学考试分数不低于的人数．
17.（15分） 如图，为菱形平面外一点，且，为线段上的动点．
（1）求证：平面平面；
（2）是否存在点E使得平面，若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由．
18．（17分）在中，角的对边分别为，且．
（1） 求角的大小；
（2） 若，的平分线与交于点且，求线段的
长.
19．（17分）如图1，在矩形中，已知，为的中点，将沿向上翻折，得到四棱锥（图2）.
（1）若为的中点，求证：;
（2）求证：;
（3）在翻折过程中，当二面角为时；在平面内有一动点满足：直线与底面所成角正弦值为，求动点的轨迹长度.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D D C A B C B
二、多选题（每个6分，共18分。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
题号 9 10 11
答案 CD ABD ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 13. 14. .
四、解答题（本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16、17题15分，
第18、19题17分)
15.解：(1)， ...................................................................( 2分）
， ...................................................................( 4分）
所以 ...................................................................( 6分）
(2)
因为是以角C为直角的三角形，所以...........................( 9分）
即
，..........................( 12分）
综上所述：.........................................................( 13分）
16.（1）
由频率分布直方图可得，
所以；........................................................(4分）
（2）
因为，，
所以本次数学考试分数的中位数在这一组，
设本次数学考试分数的中位数为，则，
解得，
所以估计本次数学考试分数的中位数为；........................................................( 10分）
（3）
由频率分布直方图可得数学分数不低于的频率为，
用样本估计总体，可以估计数学分数不低于的人数为，
所以估计本次数学考试分数不低于的人数为．................................................( 15分）
17.（1）
取的交点为，连接，如下图所示：
因为菱形，所以，且为的中点，....................................( 2分）
又，可得，........................................................( 4分）
又平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；........................................................( 7分）
（2）
存在，为线段的中点，满足平面；....................................( 9分）
连接，
因为分别为的中点，所以，................................( 11分）
因为平面，平面，
所以平面；..............................................................................( 14分）
因此存在点，当为线段的中点时，满足平面....................( 15分）
18．解：（1） 由正弦定理
可得....................................(2分）
所以
所以.............................................................(5分）
因为，所以 ，即..............(7分）
因为 所以.........................................(8分）
（2）在中，由面积分割可得：
即
所以.............................................................(11分）
由余弦定理
所以，...............................................(13分）
即 ①
由角平分线的性质有 ②...................................................(15分）
由①②可得，.............................................................(17分）
19.证明：（1）取的中点，连接，因为分别为的中点，，.........................1分
因为四边形为矩形，所以,
又因为为的中点，所以;所以
所以四边形为平行四边形。..........................3分
；
.........................4分
（2）
在图（1）中，连接，所以
又因为;同理:
........................6分；
由翻折性质得：
.........................9分
（3）解：过作垂足为;
由（2）知：，
所以;
过作垂足为，连接
.
.........................12分
由题意，知：
在
.......................15分
,
，且
所以动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆；
所以动点R的轨迹长度为....................17分

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