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2025-2026学年山西省太原五中龙城校区高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数 ( ) = 1(4 5)的定义域为( )
3
A. ( 54 , + ∞) B. ( ∞,
5
4 ) C. (
5 , 3 5 34 2 ] D. ( 4 , 2 )
2.“不等式 2 + + 4 > 0 在 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A. > 1 B. 0 < < 14 4 C. >
1 1
8 D. < 8
3.已知定义在 上的函数 ( )满足 (2 ) = ( ) > ≥ 1 ( 2) ( )，且当 2 1 时，恒有 1 < 0，则不等式 ( 2 1
1) > (2 + 1)的解集为( )
A. ( 2,0) B. ( 2, 23 )
C. ( ∞, 2) ∪ ( 23 , + ∞) D. ( ∞, 2) ∪ (0, + ∞)
4.设函数 ( ) = ln|2 + 1| ln|2 1|，则 ( )( )
A. 1 1 1是偶函数，且在( 2 , + ∞)单调递增 B.是奇函数，且在( 2 , 2 )单调递减
C.是偶函数，且在( ∞, 1 ) 12 单调递增 D.是奇函数，且在( ∞, 2 )单调递减
5 cos( .若 6 ) =
3
5，则 sin(2 + 6 ) =( )
A. 24 7 7 2425 B. 25 C. 25 D. 25
6 1 .把函数 = ( )图像上所有点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3个单位长度，

得到函数 = sin( 4 )的图像，则 ( ) =( )
A. sin( 7 2 12 ) B. sin(2 +

12 ) C. sin(2
7
12 ) D. sin(

2+ 12 )
7.已知非零向量 ， 满足| | = 2| |，且( ) ⊥ ，则 与 的夹角为( )
A. 6 B.

3 C.
2
3 D.
5
6
8.如图，已知正四棱锥 的所有棱长均为 2， 为棱 的中点，则异面
直线 与 所成角的余弦值为( )
A. 63 B.
6
3
C. 33 D.
3
3
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若 = (2,0)， = (1, 3)，则( )
A. = 2 B. | + | = | |
C. 1与 的夹角为 6 D. 在 方向上的投影向量为2
10.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1，则下列四个命题正确的是( )
A.直线 与平面 1

1所成的角等于4
B.点 到面 1
2
1的距离为 2
C. 两条异面直线 1 和 1所成的角为4
D. 3二面角 1 的平面角的余弦值为 3
11.如图，在边长为 2 的正方形 中， ， 分别是 ， 的中点， 是 的中点，将△ ，△
分别沿 ， 折起，使 ， 两点重合于 ，下列说法正确的是( )
A.若把△ 沿 继续折起， 与 恰好重合
B. ⊥
C.四面体 的外接球体积为 6
D.点 在面 上的射影为△ 的重心
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 △ = 3 = 1.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， 6，△ 的周长为 7，则边长
为______．
13.从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中不放回地随机抽取 3 张，则抽到的 3 张卡片上的数字之和不
小于 10 的概率为______．
14.抽样统计某位射击运动员 10 次的训练成绩分别为 86，85，88，86，91，89，88，87，85，92，则该
运动员这 10 次成绩的 80%分位数为______．
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四、解答题：本题共 2小题，共 27分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，sin( ) = ．
(1)求角 ；
(2)若△ 2 6外接圆的半径为 3 ，求△ 面积的最大值．
16.(本小题 14 分)
如图，三棱台 中，平面 ⊥平面 ，∠ = ∠ = 45°， = 2 ．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.25
14.90
15.解：(1)在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，sin( ) = ，
由 sin( ) = 得，sin( ) = sin( + ) ，
所以 = sin( + ) sin( ) = 2 ，
又 0 < < ，所以 > 0，
= 1所以 2，
因为 0 < < ，所以 = 3；
(2) △ 2 6 4 6由 外接圆的半径为 3 ，则得 = 3 = 2 2，
2+ 2 2
由余弦定理得， = 2 22 ，即 + = + 8，
所以 2 + 2 = + 8 ≥ 2 ，解得 ≤ 8，
= 1所以 △ 2 ≤ 2 3，
故△ 面积的最大值为 2 3．
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16.
第 5页，共 5页

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