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专题限时集训(二十)　直线与圆锥曲线
一、单项选择题
1．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A． 　 B．6
C．12 　 D．7
2．(2024·辽宁葫芦岛一模)已知椭圆G：＋＝1，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线AP，BP的斜率之积为(　　)
A． 　 B．
C．－ 　 D．－
3．设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．2
4．(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　　)
A． 　 B．
C．－ 　 D．－
5．(2024·广东肇庆一模)已知直线l：x－y＋3＝0与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，点P(1，4)是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x 　 B．y＝±2x
C．y＝±x 　 D．y＝±4x
6．(2024·江苏南通二模)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限的交点为M，N，且|FM|＝3|FN|，则直线MN的斜率为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
二、多项选择题
7．(2024·福建厦门一模)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C交于A，B两点，若＝2，且△ABF2的周长为8，则(　　)
A．a＝2
B．C的离心率为
C．|AB|可以为π
D．∠BAF2可以为直角
8．(2024·新高考Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B．则(　　)
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
三、填空题
9．(2024·北京高考)若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为________．
10．(2024·河北衡水三模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为6，点M(1，1)，直线MF2与C交于A，B两点，且M为AB的中点，则△AF1B的周长为________．
四、解答题
11．已知等轴双曲线C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，点M，N在双曲线C上，当直线MN过C的右焦点且斜率为2时，|MN|＝．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若线段MN的垂直平分线与y轴交于点Q，且|OQ|＝|MQ|，求O到直线MN的距离．
12．(2024·浙江金华模拟)设抛物线C：y2＝2px( p>0)，直线x＝－1是抛物线C的准线，且与x轴交于点B，过点B的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，A(1，n)是不在直线l上的一点，直线AM，AN分别与准线交于P，Q两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明：|BP|＝|BQ|；
(3)记△AMN，△APQ的面积分别为S1，S2，若S1＝2S2，求直线l的方程．
1 / 1专题限时集训(二十)
1．C　[由题意，得F.因为k＝tan 30°＝，故直线AB的方程为y＝，与抛物线y2＝3x联立，得16x2－168x＋9＝0，Δ＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义得，|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12.故选C．]
2．C　[设P(x0，y0)，则有＋＝1，即－3＝－，
由椭圆方程不妨设短轴端点A，B的坐标分别为，则kAP·kBP＝·＝＝＝－．故选C．]
3．A　[设点P(x0，y0)，由题意知B(0，1)，＝1，所以|PB|2＝＋(y0－1)2＝＋(y0－1)2＝－2y0＋6＝－4＋，
而－1≤y0≤1，所以当y0＝－时，|PB|取得最大值为．
故选A．]
4．C　[将直线方程与椭圆方程联立得消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0．
因为直线与椭圆相交于A，B两点，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)>0，解得－2设F1到直线AB的距离为d1，F2到直线AB的距离为d2，易知F1，F2，
则d1＝，d2＝，
＝＝＝2，
解得m＝－或m＝－3(舍去)．故选C．
]
5．B　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得－＝1，－＝1，
两式相减可得＝，
因为点P(1，4)是弦AB的中点，且直线l：x－y＋3＝0，
可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝8，y1－y2＝x1－x2，
即有b2＝4a2，即b＝2a，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.经验证此时直线与双曲线有两个交点，符合题意．
故选B．]
6．A　[根据题意可得抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，
则有A(－1，0)，设直线MN的方程为y＝k(x＋1)，k>0，
联立可得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
则Δ＝(2k2－4)2－4k2·k2＝－16(k－1)(k＋1)>0，得－1设M(x1，y1)，N(x2，y2)，0如图，M到准线的距离为|MM′|，N到准线的距离为|NN′|，
又|FM|＝3|FN|，有|MM′|＝3|NN′|，即1＋x1＝3(1＋x2)，得x1＝2＋3x2，
∴x1x2＝(2＋3x2)x2＝1，又0∴x1＋x2＝＝3＋，又k>0，解得k＝．
故选A．]
7．AC　[由＝2c＝2 c＝1，△ABF2的周长为4a＝8 a＝2，故b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆离心率e＝，A正确，B错误；
当AB⊥x轴，即AB为通径时，|AB|min＝＝3，且|AB|<2a＝4，
所以3≤|AB|<4，故|AB|可以为π，C正确；
由椭圆性质知：当A为椭圆上、下顶点时∠BAF2最大，此时cos ∠BAF2＝＝，
且∠BAF2∈(0，π)，故(∠BAF2)max＝，
即∠BAF2不可能为直角，D错误．
故选AC．]
8．ABD　[A选项，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
⊙A的圆心(0，4)到直线x＝－1的距离显然是1，等于圆的半径，
故准线l与⊙A相切，A选项正确；
B选项，当P，A，B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标yP＝4，
由＝4xP，得到xP＝4，故P(4，4)，
此时切线长|PQ|＝＝＝，B选项正确；
C选项，当|PB|＝2时，xP＝1，此时＝4xP＝4，故P点的坐标为(1，2)或(1，－2)，
当P点的坐标为(1，2)时，A(0，4)，B(－1，2)，kPA＝＝－2，kAB＝＝2，
不满足kPAkAB＝－1；
当P点的坐标为(1，－2)时，A(0，4)，B(－1，－2)，kPA＝＝－6，kAB＝＝6，
不满足kPAkAB＝－1，
于是PA⊥AB不成立，C选项错误；
D选项，法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，|PB|＝|PF|，又F(1，0)，
于是|PA|＝|PB|时，P点的存在性问题转化成|PA|＝|PF|时P点的存在性问题，
A(0，4)，F(1，0)，AF中点为，AF中垂线的斜率为－＝，
于是AF中垂线的方程为y＝x＋，与抛物线方程y2＝4x联立，可得y2－16y＋30＝0，
Δ＝162－4×30＝136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点P，使得|PA|＝|PF|，D选项正确．
法二：设点直接求解
设P，由PB⊥l可得B(－1，t)，又A(0，4)，|PA|＝|PB|，
根据两点间的距离公式，得＝＋1，整理得t2－16t＋30＝0，
Δ＝162－4×30＝136>0，则关于t的方程有两个不同实数根，
即存在两个点P，使得|PA|＝|PB|，D选项正确．
故选ABD．]
9．　[由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k(x－3)过定点(3，0)．因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±．]
10．12　[由题意知F1(－3，0)，F2(3，0)，
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
∴＋＝1，＋＝1，
两式相减得＋＝0，
由题意M为AB的中点，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，代入整理得＝－．
即由题意知kAB＝＝＝－，
因此－＝－，所以a2＝2b2，c2＝b2，由焦距为6，解得a＝3．
由椭圆定义知△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝＋(|BF1＋|BF2|)＝4a＝12．]
11．解：(1)设双曲线C：x2－y2＝λ(λ>0)，
双曲线的右焦点为(c，0)(c>0)，
则直线MN的方程为y＝2(x－c)，其中c＝．
联立化简可得3x2－8cx＋＝0，Δ＞0．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝．|MN|＝·＝·＝·＝c＝，
解得c＝2，故λ＝2．
故双曲线C的方程为－＝1．
(2)易知直线MN一定不与坐标轴垂直，
设其方程为x＝my＋n(m≠0)．
联立整理得(m2－1)y2＋2mny＋n2－2＝0，
Δ＝4m2n2－4(m2－1)(n2－2)＞0且m2－1≠0，
∴2m2＋n2－2＞0，且m≠±1，则y1y2＝．
由于|OQ|＝|MQ|，|MQ|＝|NQ|，
故Q为△MNO的外接圆圆心，
可设外接圆方程为x2＋y2＋Ey＝0，
则
则＝，
即＋2)＝＋2)，
整理得2(y1y2－1)(y1－y2)＝0，
由题知y1≠y2，故y1y2＝1＝．
所以n2＝m2＋1，
故原点到直线MN的距离为＝1．
12．解：(1)因为x＝－1为抛物线的准线，
所以＝1，即2p＝4，
故抛物线C的方程为y2＝4x．
(2)证明：如图，
设直线l的方程为x＝ty－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立y2＝4x，消去x得y2－4ty＋4＝0，
则Δ＝16(t2－1)>0，t2＞1，且
又直线AM的方程为y－n＝(x－1)，
令x＝－1，得P，
同理可得Q，
所以yP＋yQ＝n－＋n－
＝2n－
＝2n－
＝2n－
＝2n－＝0，
故＝．
(3)设点A到直线MN，PQ的距离分别为d1，d2，易知d2＝2.由(2)可得d1＝，|MN|＝＝4，则S2＝|PQ|d2＝＝＝，
S1＝d1
＝×4·
＝|2|·，
由S1＝2S2，得t2－1＝2，
解得t＝±，
所以直线l的方程为x±y＋1＝0．
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