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专题限时集训(二十三)
1．B　[ f ′(x)＝ex－1，
当x<0时，f ′(x)<0，当x>0时，f ′(x)>0，
故f (x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝e－1－2<0，f (2)＝e2－4>0，f (0)＝－1<0．
根据零点存在定理及函数的单调性可得函数f (x)在(1，2)内有零点，故选B．]
2．C　[ f (3)＝ln(3－2)＝ln 1＝0，可知函数f (x)的零点为3，可知A，B正确；
f (x)＝ln (x－2)中，由x－2>0，解得x>2，
故函数的定义域为(2，＋∞)，且函数在(2，＋∞)上单调递增，故C错误，D正确．故选C．]
3．A　[函数f (x)＝x的定义域为{x|x≠0}，由f (x)是偶函数，得f (－x)＝f (x)，即－x＝x，整理得＝－2，所以m＝－2.故选A．]
4．C　[因为函数f (x)＝ln (x2－ax)在区间(2，5)上单调递增，即y＝x2－ax在(2，5)上单调递增且函数值大于0，由函数y＝－，则故a≤2，则a的取值范围是(－∞，2].故选C．]
5．B　[因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3<0<0.3，
所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3，
所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1，
所以log4.20.2所以b>a>c.故选B．]
6．D　[当x＝0时，y＝loga＝－1，
则当0当a>1时，函数图象过第一、第三、第四象限；
所以函数y＝loga的图象一定经过第三、第四象限．故选D．]
7．D　[由题意知r0＝2.25 g/m3，r1＝2.21 g/m3，
当n＝1时，r1＝r0＋(r1－r0)×30.25+t，故30.25+t＝1，
解得t＝－0.25，
所以rn＝2.25－0.04×30.25(n-1)．
由rn≤0.65，得30.25(n-1)≥40，即0.25(n－1)≥，
得n≥＋1≈14.33，又n∈N*，
所以n≥15，
故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为15．
故选D．]
8．C　[作出函数f (x)的图象如图，
不妨设x1当x≤0时，－x2－x－m＝0，得x2＋x＋m＝0，则x1·x2＝m，
当x>0时，ln x3＝m，x3＝em，则x1·x2·x3＝mem，
设h(m)＝mem，则h′(m)＝(m＋1)em>0，
所以h(m)在上单调递增，
所以h(m)∈，即x1·x2·x3的取值范围是.故选C．]
9．ACD　[对于函数f (x)＝＋a，令2x－1≠0，解得x≠0，
所以f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A正确；
因为2x>0，当2x－1>0时，>0，所以＋a>a，
当－1<2x－1<0时，<－2，所以＋a<－2＋a，
综上可得f (x)的值域为(－∞，－2＋a)∪(a，＋∞)，故B错误；
当a＝1时，f (x)＝＋1＝，则f (－x)＝＝－＝－f (x)，
所以f (x)＝＋1为奇函数，故C正确；
当a＝2时，f (x)＝＋2＝＋1，
则f (－x)＋f (x)＝＋1＋＋1＝2，
故D正确．故选ACD．]
10．BC　[因为函数f (x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，
所以f (x)＝log2x，h(x)＝log2(1－|x|)，
1－|x|＞0，－1＜x＜1，h(x)的定义域为(－1，1)，
因为h(－x)＝log2(1－|－x|)＝h(x)，
所以h(x)是偶函数，不是奇函数，A错误，B正确，
因为1－|x|≤1，所以h(x)＝log2(1－|x|)≤log21＝0，h(x)的最大值为0，C正确，
因为h(x)是偶函数，所以D错误．故选BC．]
11．AC　[因为log2a＋b>0，
所以log2a>log2b，又y＝log2x为增函数，故a>b>0，
对于A，因为y＝为减函数，所以<，故A正确；
对于B，当a＝4，b＝2时，loga2＝对于C，0<<1<，故C正确；
对于D，当a＝4，b＝2时，且y＝2x与y＝3x均为增函数，所以2a－2b＝24－22>0，3-4－3-2<0，此时2a－2b>3－a－3－b，故D错误．故选AC．]
12．64　[－＝－log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，
则log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，所以log2a＝6，故a＝26＝64．]
13．[－1，2)　[当x≤0时，f (x)＝x2＋2x，其在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，且f ′(x)＝2x＋2，则f ′(0)＝2；
当0作出f (x)的图象，如图，设过点(0，0)和f (x)＝x2＋2x(x≤0)相切的直线为l1，
设切点为＋2x0)，
则l1的方程为
＋2x0)＝(2x0＋2)(x－x0)，
代入(0，0)，解得x0＝0．
所以切线l1的斜率k1＝2；
同理可求得过点(0，0)且和y＝ln (1－x)(0＜x＜1)相切的直线l2的斜率k2＝－1，
而a表示过点(0，0)的直线的斜率．
由此可得a的取值范围是[－1，2)．]
14．875　[该企业每年利润为f (x)＝
当0＜x≤40时，f (x)＝－x2＋60x－25＝－(x－30)2＋875，当x＝30时，f (x)取得最大值875；
当x＞40时，f (x)＝920－≤920－2＝720(当且仅当x＝100时等号成立)，即当x＝100时， f (x)取得最大值720．
因为875＞720，所以该企业每年利润的最大值为875万元．]
1 / 1专题限时集训(二十三)　基本初等函数、函数的应用
一、单项选择题
1．(2024·广东茂名模拟)函数f (x)＝ex－x－2的一个零点所在的区间为(　　)
A．(0，1) 　 B．(1，2)
C．(2，3) 　 D．(3，4)
2．已知函数f (x)＝ln (x－2)，则下列结论错误的是(　　)
A．f (3)＝0
B．f (x)的零点为3
C．f (x)在(0，＋∞)上单调递增
D．f (x)的定义域为(2，＋∞)
3．若函数f (x)＝x是偶函数，则m＝(　　)
A．－2 　 B．－1
C．1 　 D．2
4．(2024·河南洛阳模拟)若函数f (x)＝ln(x2－ax)在区间(2，5)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，5] 　 B．(－∞，2)　
C．(－∞，2] 　 D．[5，＋∞)
5．(2024·天津高考)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c 　 B．b>a>c　
C．c>a>b 　 D．b>c>a
6．(2024·广东深圳二模)已知a>0，且a≠1，则函数y＝loga的图象一定经过(　　)
A．第一、第二象限 　 B．第一、第三象限
C．第二、第四象限 　 D．第三、第四象限
7．(2024·河北沧州模拟)某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为2.25 g/m3，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.21 g/m3，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn满足函数模型rn＝r0＋(r1－r0)·30.25n＋t(t∈R，n∈N*)，其中r0为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，r1为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过0.65 g/m3时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为(　　)
(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
A．12 　 B．13
C．14 　 D．15
8．(2024·云南昆明模拟)已知函数f (x)＝函数g(x)＝f (x)－m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1·x2·x3的取值范围是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．[0，e]
二、多项选择题
9．(2024·山东临沂一模)已知函数f (x)＝＋a，则(　　)
A．f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
B．f (x)的值域为R
C．当a＝1时，f (x)为奇函数
D．当a＝2时，f (－x)＋f (x)＝2
10．已知函数f (x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝f (1－|x|)，则关于函数h(x)有下列说法，其中正确的说法为(　　)
A．h(x)的图象关于原点对称
B．h(x)的图象关于y轴对称
C．h(x)的最大值为0
D．h(x)在区间(－1，1)上单调递增
11．(2024·重庆三模)已知实数a，b满足log2a＋b>0，则(　　)
A．＜ 　 B．loga2>logb2
C．< 　 D．2a－2b<3－a－3－b
三、填空题
12．(2024·全国甲卷)已知a>1且－＝－，则a＝________．
13．(2024·山东泰安三模)已知函数f (x)＝若曲线y＝f (x)与直线y＝ax恰有2个公共点，则a的取值范围是________．
14．某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一种智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本φ(x)万元，其中φ(x)＝若该公司一年内生产的该产品可以全部售完，每件的售价为70 元，则该企业每年利润的最大值为________万元．
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