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课件15张PPT。“调查先导”教学的思考与实践一、引发思考的两个案例
1. 关于函数最值概念的一些调查
缘起
调查及结果
另外一次调查及结果
对调查结果的初步反思
1.1 调查的缘起现实课堂中对“函数最值”内容的教学教师一般采用类型系统归纳讲解式的教学方法，如果说有什么变化的话，就是将“教师归纳讲解”任务让学生去归纳，去完成。
高三三角函数最值内容的复习，由于先前已经复习了函数最值内容，所以我一是让学生自己小结三角函数最值的基本类型和基本方法，二是给出一个综合性的最值题让学生完成（具体内容在后面分析）。
学生的小结完整而又不乏主见，完成得十分出色。布置的题目全班58个同学，用近十条途径求得了最值，但全对的，仅有11个同学，主要问题是解答过程不完整。
学生基本类型和方法归纳得这么完整，为什么在具体实践中却有这么多的问题，这些都不能简单地把原因归结为“粗心”，“学生不认真”，“学生笨”等等。所以我有了在学生中进行“函数最值概念”调查的想法。1.2 调查及结果调查形式和内容：班级共58人，每人发给一个小纸片，让学生根据自己的理解（不查阅资料），用自己的语言写出以下两个问题的答案：⑴ 什么是函数的最大值和最小值？ ⑵ 你求函数最大值、最小值的依据是什么？
对于第一个问题，以下是学生写上来的部分结果：⑴ x取什么值时，y有最大或最小；⑵ x的最大范围；⑶ 函数的顶点；⑷ x在一定范围内，y取最大或最小；⑸ 在函数的图象中，表示最低点或最高点相应的y值；⑹ 导数为零的y值最大或最小；⑺ x在某一范围内变化时y的最大值和最小值；⑻ 在函数中，x为某一值，y有最大值；⑼ 二次函数中，顶点的纵坐标即为函数的最大值；⑽ 值域中的最大值和最小值；⑾ 如果f(x)小于等于A，则A是最大值；⑿函数在一定范围内存在的最大（小）的数，这个数就是函数的最大（小）值；⒀ 最大值、最小值是指函数在定义域内所有极值中的最大值与最小值；⒁ 在给定区间内，在直角坐标系中所能找到的最高的点；⒂ 函数在定义域内可达到最大值与最小值……。
对于第二个问题，学生绝大部分从求最值方法的角度来回答，如回答：图像法、比较法、求导、作图、由单调性判断……。
1.3 在高一学生中的调查
在高一涉及函数最值问题教学时，我也进行了一个简单的调查，问题是：请大家讲讲什么是函数的最大值和最小值？下面是学生的回答：①x的最大范围；②函数的顶点；③x在一定范围内，y取最大或最小；④在函数的图象中，表示最低点或最高点相应的y值；⑤在函数中，当a<0时y的最大值；⑥在二次函数中，当a<0时y有最大值；在函数中，当a<0时，x为某一值，y有最大值；⑦二次函数中，顶点的纵坐标即为函数的最大值；⑧二次函数中，图象的顶点纵坐标即为函数的最大值。
1.4 对调查结果的思考这一调查结果，首先是让人大吃一惊，学生对最值概念认识会如此肤浅。其次，从调查中我们可以发现，对很多高三学生而言，他们求最值的策略是“机械模仿”，说得难听点就是闭着眼睛套方法。第三，很多高一学生没有建立起正确的二次函数最值概念，即使有正确的二次函数最值概念，也没有实现对一般函数最值概念的迁移。在这样的事实下，我们传统的“类型系统归纳讲解式”教学方法是否存在一定的不足值得我们反思。2. 题“已知函数y=logm(x2+ax+1)的值域为R，试求实数a的取值范围”背后的一些调查和事实。
问题背景
一些事实
学生的疑惑2.1 背景简介与上述题目类似的问题散见于各类高中数学课外资料之中，但大部分学生特别是高一的学生难以独立解答这类问题，面对详细的解答过程，学生也不易理解，即使教师给予多次一般性的解释，学生也常常是似懂非懂，疑惑不断，重复错误不断。每一届学生都如此。
面对上述情况，教师一般有两种态度：一是责备学生不认真，多次讲解仍不会；二是教师反思自己教学，然后精心准备，为学生排难解惑。2.2 一个事实
同样的题目给高三的学生做，错误率会大大降低，而且对老师的解释也较为容易理解。这又是为什么呢？2.3 学生的疑惑在简单的问答调查中发现，学生对解答最大的不理解是：为什么不用考虑定义域？
上述调查结果为后续的教学决策提供了第一手资料和事实依据。二、几个数学教学中的事实
1.一个公认的客观事实及常见处理
事实：好教案并不能保证一定有一堂好课。
原因：“好教案并不能保证一定有一堂好课”因素很多，但较为一致的观点是不同的教师水平和学生基础。
措施：如果学生基础差，则在原教案的基础上，降低题目难度，减少题目数量；如果学生基础好，则在原教案的基础上，增加题目难度，增加题目数量。教案改进的重心：题的难度与数量。
2. 一个教学中普遍存在的矛盾现象
矛盾现象：一方面大家都知道同一教案，不同老师在不同班级上课，效果差异会很大。另一方面，现在各个学校都在积极倡导统一备课，统一教案，有的老师甚至几年用同一教案。对数学学科而言，基本包括了例题的统一。
主张“统一”目的：第一，这种统一从教师群体看，是优秀教案的传承，是经典教案的共享，如数学归纳法教案，函数的最值教案，实际是一代代教师经验的积累；从教师个体看，是教师不断自我完善过程中一个时期暂时的不变，查看一个老师历年的教案，你会发现其中的变化及不同时期的特点和特征。第二，这种统一也是备课组集体智慧的结晶，是智慧火花的生成。从中，我们不难看出，这种“统一”其实是教案质量不断提高的过程。
主张“统一”信念：大家这么努力做着对教案的改进和“统一”工作的背后，其实还有一个信念，那就是，好的教案是教学高效的前提。 三、“调查先导”教学的确立正是几年前的一些实践和实践中的思考，再联系前面提到的一些事实，我们认为：我们在备课过程中对于备学生的工作往往停留在经验上，虽然有很多经验确实对教学有很大的帮助，但一些过时的、肤浅的、甚至是错误的经验，同样对有效教学起着阻碍作用，所以我们需要在掌握学生第一手资料的前提下来决策教学，实施教案。我们这里提出并多年实践的“调查先导”教学正是立足上述不足而提出的。基本含义包括两部分：一是通过一些调查就某些教学内容（例题）适合在哪个时期对学生进行教学进行思考，即教学内容的适合性问题；二是通过一些简单的问题，了解学生对于要教学内容的学习基础，确定教学的侧重点，即教学的有效性问题。四、“调查先导”教学的实践类型和案例
1．学生基础确定

2．可行性思考
3. 情境设计的有效性思考 结束语：教学不足的发现来自于对学生现实的细致观察和调查，而对不足的改进则要立足于教师深入持久的思考。“调查先导”教学的实践与思考
一、二个案例
1. 关于函数最值概念的一些调查
1. 1 在高三学生中的一次最值概念调查
1.1.1 调查的缘起
高三三角函数最值一节的复习前，由于先前已经复习了函数的最值，所以我事先布置了两个任务给学生：一是自己小结三角函数最值的基本类型和基本方法；二是给出一个题目让学生先做一下（具体内容在后面分析）。
结果很多同学借助于网络资源和其它资料，小结完整而又不乏主见，完成得十分出色。布置的题目全班58个同学，用近十条途径求得了最值（十条途径是对整个班而言，一个学生基本只用到一种方法），但真正做完整或者说全对的58个同学中仅有11个，主要是答案正确，但解答过程不完整。
学生基本类型和方法归纳得这么完整，为什么在具体实践中却有这么多的问题，这些都不能简单地把原因归结为“粗心”，“学生不认真”，“学生笨”等等。所以我想到了在学生中进行“函数最值概念”等的调查。
1.1.2 调查及结果
调查形式和内容很简单，一个班共58人，每人发给一个小纸片，让学生根据自己的理解（不查阅资料），用自己的语言写出以下两个问题的答案：⑴ 什么是函数的最大值和最小值？ ⑵ 你求函数最大值、最小值的依据是什么？
对于第一个问题，以下是学生写上来的部分结果：⑴ x取什么值时，y有最大或最小；⑵ x的最大范围；⑶ 函数的顶点；⑷ x在一定范围内，y取最大或最小；⑸ 在函数的图象中，表示最低点或最高点相应的y值；⑹ 导数为零的y值最大或最小；⑺ x在某一范围内变化时y的最大值和最小值；⑻ 在函数中，x为某一值，y有最大值；⑼ 二次函数中，顶点的纵坐标即为函数的最大值；⑽ 值域中的最大值和最小值；⑾ 如果f(x)A，则A是最大值；⑿函数在一定范围内存在的最大（小）的数，这个数就是函数的最大（小）值；⒀ 最大值、最小值是指函数在定义域内所有极值中的最大值与最小值；⒁ 在给定区间内，在直角坐标系中所能找到的最高的点；⒂ 函数在定义域内可达到最大值与最小值……。
对于第二个问题，学生绝大部分从求值域方法的角度来回答，如回答：图像法、比较法、求导、作图、由单调性判断……。
1.2 在高一学生中的调查
在高一涉及函数最值问题教学时，我也进行了一个简单的调查，问题是：请大家讲讲什么是函数的最大值和最小值？下面是学生的回答：①x的最大范围；②函数的顶点；③x在一定范围内，y取最大或最小；④在函数的图象中，表示最低点或最高点相应的y值；⑤在函数中，当a<0时y的最大值；⑥在二次函数中，当a<0时y有最大值；在函数中，当a<0时，x为某一值，y有最大值；⑦二次函数中，顶点的纵坐标即为函数的最大值；⑧二次函数中，图象的顶点纵坐标即为函数的最大值。
1.3 对调查结果的初步分析
这一调查结果，首先是让人大吃一惊，学生对最值概念认识会如此肤浅（后来我了解到，其实我们和多老师自己也不是很完整）。其次，从调查中可以发现，对很多高三学生而言，他们求最值的策略是“机械模仿”，说得难听点是闭着眼睛套方法。第三，对高一学生而言，我们常用的系统方法归类式的教学方法是否是最佳教学法值得我们反思。当然，仁者见仁，智者见智，对调查结果还会有更多的启示，下面我们会有更深入的分析。
2. 题“已知函数y=logm(x2+ax+1)的值域为R，试求实数a的取值范围”背后的一些问题及思考。
2.1背景简介：与上述题目类似的问题散见于各类高中数学课外资料之中，但大部分学生特别是高一的学生难以独立解答这类问题，面对详细的解答过程，学生也不易理解，即使教师给予多次一般性的解释，学生也常常是似懂非懂，疑惑不断，重复错误不断。每一届学生都如此。
面对上述情况，教师的两种态度：一是责备学生不认真，多次讲解仍不会；二是教师反思自己教学，然后精心准备，为学生排难解惑。
2.2这里有另外一个事实：同样的题目给高三的学生做，错误率会大大降低，而且对老师的解释也较为容易理解。一致的观点是：高三学生能力提高了，那么是什么能力？解题能力还是什么？这些对于我们的数学教学又有怎样的启示？
二、几个数学教学中的事实
1. 一个公认的客观事实及常见处理
事实：好教案并不能保证一定有一堂好课。
原因：“好教案并不能保证一定有一堂好课”因素很多，但较为一致的观点是不同的教师水平和学生基础。
措施：如果学生基础差，则在原教案的基础上，降低题目难度，减少题目数量；如果学生基础好，则在原教案的基础上，增加题目难度，增加题目数量。教案改进的重心：题的难度与数量。
2. 一个教学中普遍存在的矛盾现象
矛盾现象：一方面大家都知道同一教案，不同老师在不同班级上课，效果差异会很大。另一方面，现在各个学校都在积极倡导统一备课，统一教案，有的老师甚至几年用同一教案。对数学学科而言，基本包括了例题的统一。
主张“统一”目的：第一，这种统一从教师群体看，是优秀教案的传承，是经典教案的共享，如数学归纳法教案，函数的最值教案，实际是一代代教师经验的积累；从教师个体看，是教师不断自我完善过程中一个时期暂时的不变，查看一个老师历年的教案，你会发现其中的变化及不同时期的特点和特征。第二，这种统一也是备课组集体智慧的结晶，是智慧火花的生成。从中，我们不难看出，这种“统一”其实是教案质量不断提高的过程。
主张“统一”信念：大家这么努力做着对教案的改进和“统一”工作的背后，其实还有一个信念，那就是，好的教案是教学高效的前提。
3. 教案的课堂实施事实
在实际课堂教学中，一般教师会结合自身拥有的经验（默会知识）开展教学，如学生在这里可能会出错，学生这个知识点可能会出现理解上的问题等等。其中的经验主要来自两个方面：自身实践和同行交流。
但教师很少会有意识深入去调查、了解以下情况：我们所讲的例题，所要教学的内容目前是否适合学生；如果适合，学生又对要学习的内容了解或掌握了多少。
三、“调查先导”教学的确立
正是几年前的一些实践和实践中的思考，再联系前面提到的一些事实，我们认为：我们在备课过程中对于备学生的工作往往停留在经验上，虽然有很多经验确实对教学有很大的帮助，但一些过时的、肤浅的、甚至是错误的经验，同样对有效教学起着阻碍作用，所以我们需要在掌握学生第一手资料的前提下来决策教学，实施教案。我们这里提出并多年实践的“调查先导”教学正是立足上述不足而提出的。基本含义包括两部分：一是通过一些调查就某些教学内容（例题）适合在哪个时期对学生进行教学进行思考，即教学内容的适合性问题；二是通过一些简单的问题，了解学生对于要教学内容的学习基础，确定教学的侧重点，即教学的有效性问题。
四、“调查先导”教学的实践类型和案例
1．学生基础确定。学生现有的基础决定了教学的起点，这种基础应包括知识水平和能力水平两部分。我们在某一内容的教学开始前，对学生的基础进行简单但有效的调查，并将调查的结果与教案内容有机结合，实践中这一行动取得很好的效果。
我们以最值的有关调查和根据调查对课堂教学的改进案例来加以具体说明。
1.1 传统的函数最值教案和课堂教学实录片断
1.1.1 教案片断
例1：观察函数y=x2－2x－3在下列范围内时的图象特征，并求出其最值。
⑴x∈[－4, －1] ⑵x∈[－4,5] ⑶x∈[4,6] ⑷x∈[a,b]
归纳总结：一元二次函数在指定区间求最值的方法：
⑴ 对称轴不过指定区间，利用函数单调性求最值。
⑵ 对称轴过指定区间，在顶点处求到一个最值，另一最值只须比较端点处函数值的大小。
练习（略）
例2：求函数的最值。
归纳总结：用判别式法——若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的的值。
练习（略）
1.1.2 教学过程片断
⑴学生试做；⑵教师讲解；⑶共同归纳小结；⑷练习巩固。
1.2 根据调查结果对上述教案和课堂教学不足的分析
上述教学过程有着明显的让学生模仿着解题的痕迹。结合前面提到的对高一学生最值概念的调查，我们认为：⑴ 高一最值教学中，传统课堂上简单归类式教学，会无意识强化学生“机械模仿”学习方式；⑵ 要帮助学生构筑起最值的上位概念，确立学生求最值的基本策略，提高学生自我判断和解题时的决策能力；⑶ 系统归类和“变式”练习要注意时机和针对性，达到有利巩固、有效巩固的目的。
1.3 改进后的课堂教学片断和教案
1.3.1 改进后的课堂教学片断
⑴ 学生试做；⑵ 教师讲解；⑶ 寻找解题依据（可以让独立完成的同学自己讲讲依据）；⑷ 总结解题的策略，并根据解题实践经验，归纳函数最值概念；⑸ 归纳解题步骤；⑹ 变式练习。
1.3.1 教案的改进
⑴ 增加了学生对最值概念，求最值策略等知识内容，与解题步骤、解题方法相比，这是两种不同层次的知识；
⑵ 增加了寻找解题依据过程。
打个比方来说明调查前后我在教学中作了哪些改进：很多老师都会打蓝球或打羽毛球，但很少有人把两者联系起来，为什么？因为一般我们是独立通过“简单模仿”获得单手投篮或挥拍技能的，但如果在告诉选手正确的动作要领的基础上，同时告诉选手为什么要这样（技能的上位概念），当选手们理解了用腰部带动大臂再带动小臂的发力原理后，会发现单手投篮发力和羽毛球挥拍发力原理是一样的，而且举一反三会发现网球等发力也一样。当然一定量的练习是不可少的。
调查前的教学：我们理所当然地认为最值概念学生应该是掌握的，会解题学生自然会掌握解题方法策略，就如模仿着学打篮球和打羽毛球；
调查后的教学：我们不但要学生模仿，还让学生理解道理，形成能力。
2．可行性思考
对于教学，也存在着不讲比讲好，滞后讲比先讲好的现象。
我们仍以具体的例子来说明
案例2 题“已知函数y=logm(x2+ax+1)的值域为R，试求实数a的取值范围”有关教学和调查分析
2.1 帮助学生克服解题困难的教学设计和教学过程（到目前较为认可的一个案例）：
2.2.1 特例铺垫
例1：试判断下列函数的定义域和值域是否为R，并进一步探究函数中定义域为R和值域为R之间的关系：①y=log2(x2+2)；②y=log0.5(x2+2)；③y=loga(x2+2)；④y=log2(x2+2x)；⑤y=loga(x2+2x).
设计目的：通过以上复合函数特例，让学生直观感悟以下两点：一是二次项系数为正数的二次函数与对数函数复合形成的函数中，定义域为R的复合函数的值域一定不为R，定义域不为R的复合函数的值域一定为R；二是复合函数的值域是否为R与底a的值是否大于1无关。以上两点也是针对学生解题中易被定义域和字母a干扰这一特点设计的。
2.2.2 正面分析
例2：函数y=logmu的值域为R，则u应满足怎样的条件？
例3（例2解答完成后给出）：函数u＝x2+ a x+1中，u要取到（0，+）内的所有值，则a的取值范围是什么？
说明：运用函数图象，借助数形结合分析。
设计目的：分散难点，层层推进。
2.2.3总结升华
结论一：二次项系数为正数的二次函数与对数函数复合形成的函数中，值域为R与定义域不为R等价；
结论二：二次项系数为正数的二次函数与对数函数复合形成的函数中，值域为R与对应二次函数的△≥0等价.
说明：结论一消除了部分学生对于解答中不用考虑定义域的疑惑，排除了定义域对解答的干扰；结论二给予了一个明确的问题解答结论.
2.2.4错解辩析
错解呈现：有同学从复合函数定义域角度出发思考，认为真数位置的x2+ax+1应大于0，所以答案应是△<0。请问这位同学的思考是否正确，如果你认为这位同学的解法是错误的，请简要说明错误原因。
设计目的：进一步消除学生“为什么不用考虑定义域”的疑惑。
2.2.5变式练习
题1：① 若函数y=logm(ax2+ a x+1) 的值域为R，试求实数a的取值范围；
② 若函数y=loga(ax2+ a x+1) 的值域为R，试求实数a的取值范围；
③ 若函数y=log2a-1(ax2+ a x+1) 的值域为R，试求实数a的取值范围；
设计目的：通过“形似题”的变式练习，在变与不变的辩析中，巩固此类问题解题方法，同时实现解法的举一反三。
2.2.6一般拓展
题2：讨论形如y=logg(a)[M(a)x2+N(a)x+P(a)]的函数值域为R时，g(a)，M(a)，N(a)和P(a)应满足的条件.
设计目的：对题的一般形式的拓展讨论，达到两个目的：一是提高学生归纳能力；二是形成结论，提高考试效率。
2.3 设计思路特点归纳
案例中的题目，学生最多的错解是“用△<0去求a的取值范围”，最大的疑惑是“正解用△≥0求a的取值范围，为什么不用考虑定义域”。所以上述设计思路正是立足于学生解题时的疑点和难点，以教师多年的教学经验积累为基础，按照题目的知识结构（见右图），层层展开，有效地帮助学生建立了这一类型题目的程式化运算，具体有以下设计特点：
2.3.1运用辩析，正本清源
“辩析”是中学数学教学中教师常用的教学手段，教学过程中设计者连续运用了“对比辩析”和“错解辩析”。
针对学生“正解用△≥0求a的取值范围，为什么不用考虑定义域”的疑惑，设计者设计了“特例铺垫”这一过程，通过对比让学生认识到“二次项系数为正数的二次函数与对数函数复合形成的函数中，定义域为R的复合函数的值域一定不为R，定义域不为R的复合函数的值域一定为R”这一事实，为后续的正解排疑解惑做好了铺垫工作。
针对学生“用△<0去求a的取值范围”这一常见错误，设计者设计了“错解辩析”这一教学过程，进一步消除学生“为什么不用考虑定义域”的疑惑。
两个辩析设计，立足教师对学生常见错误的了解（这也正是我们教师的优点所在），为学生认清错误，回归正途起到了积极的作用。
2.3.2分散难点，层层推进
与国外同层次的中学数学教师相比，我们的数学教师的解题能力更为突出，对题本身的知识结构的了解也更为深入，正是基于这一点，我们的数学教师运用“分散难点，层层推进”的教学方法往往会显得比较得心应手。
对于案例所给出的题目，正解主要涉及以下推理过程和依据：⑴ 要使复合函数值域为R，u应取得到（0，+）内的所有值，即函数u＝x2+ax+1的值域应包含所有正实数，主要依据为：对数函数y=logmu的定义域为（0，+），值域为全体实数，且函数在定义域内为单调函数；⑵ 要使函数u＝x2+ax+1的值域应包含所有正实数，所以△≥0，主要依据为：函数u＝x2+ax+1的图象与x轴至少应有一交点。设计者正是立足以上知识结构，结合学生疑点，各个击破，层层推进。
2.3.3变式巩固，凸现主旨
变式练习的其中一个作用是在变与不变中凸现某类问题的主要解决方法，促成学生对这种方法的掌握，并提醒学生在掌握主要方法的同时注意其它的影响因素，从而实现学生对这类问题解决方法的全面掌握。上述“变式练习”这一环节也是基于这一点的一个设计，也是教学中普遍运用的一种教学方法。
2.3.4适度拓展，形成结论
由于对考试的关注，在解题教学中，教师一般最终都会针对某一类题的题目，形成一个总结性的结论。我们先不论这种做法的优劣，单从考试的角度看，这确实是一种行之有效的方法，也是我们学生考试成绩优秀的原因之一。上述设计也没有回避这一点，在“一般拓展”这一环节中，通过对案例中给出题目的一般情形的讨论，使学生对此类问题的不同情形有了对应的固定结论。在考试中，学生只要背出结论，就会得到正确的答案，即使不理解也无关紧要，就如我们会操作计算机，但并不懂计算机的工作原理一般。
上述四个设计特点，是我们中学一线数学教师在解题教学中普遍使用的教学方法，是教师集体智慧的结晶，符合张奠宙教授提出的“记忆通向理解，速度赢得效率，严谨形成理性，重复依靠变式”4个方面的双基数学教学理论特征[5]，是双基数学教学理论在实践中的具体化。
2.4 对设计和教学过程的再思考
调查中发现，每届学生都会对这类问题产生理解上的困难，但高三却相对容易理解。
2.4.1 函数概念的二重性问题
Sfard(1991,1994)等人研究认为，数学中，特别是代数中，许多概念既表现为一种过程、算法、操作，又表现为对象、结果、结构。如函数，既代表定义域中的元素按对应法则与值域中元素作对应的过程，又代表特定对应的关系结构。学生形成一个概念，往往要经历由过程到对象的认知过程，而且只有当概念进入对象状态，呈现为静态结构时，一个完整的概念才在学生头脑中定型，并在适当的时机发挥作用。案例中的题目，绝大部分老师是在高一《对数函数》章节新课内容完成后，复习时让学生练习的题目。这一时段，大部分学生对函数概念的认知水平，正处在过程到对象的过渡时期，另一方面学生接触复合函数概念的时间也不长，这些上述分析表明，学生解题时的困难，除了知识和方法上的缺陷造成的困难，还存在由于认知水平不足造成的困难。
2.4.2 学生认知水平发展的局限性
Piaget的认知发展理论指出学生认知水平的发展组成几个不同的阶段，由低到高排列。也就是说学生思维发展具有阶段性，会随着年龄的不同而不同。如少年期（11，12～14，15岁），即初中生，主要是以经验型为主的抽象逻辑思维（简称经验型思维），也就是说，这时学生的抽象逻辑思维水平虽有很大的提高，但还需要具体形象或经验的直接支持，而且初一到初三年级的情况也很不相同，其中初二年级是一关键时期，这个时期的学生处于思维发展的转折点，表现为经验型思维向理论型思维转化。青年时期（14，15～17，18岁），即高中生，主要是以理论型为主的抽象逻辑思维（简称理论型思维），也就是说，这时学生的抽象逻辑思维，可以摆脱具体事实形象，具有较高的抽象概括水平，而且开始形成辩证思维。同时考虑到高一年级是学生由初中到高中的过渡时期，在许多方面高一学生与初三学生具有相似性。这一理论表明，教学应符合学生认知发展规律。
设函数y= x2+3x-a的值域为T，则以上问题解决另一个关键是要理解“（0,+）T”与“函数y=lg(x2+3x-a)的值域为R”的等价性，而这一步的抽象，具有难以描述的逻辑上的困难，而高一学生的思维还不能达到这一层次。
2.5 建议
这类题目高一可以不讲，在高三时，让学生去做。前面我们化了九牛二虎之力，帮助学生掌握这类题型的解法。其实就如我们用电脑，不懂原理，但仍可熟练运用。
3. 情境设计的有效性思考案例及分析
问题：为什么不用数学归纳法？
调查事实：高三综合卷中的数列问题，用数学归纳法证题的学生不多。不用的原因：用数学归纳法心理不踏实；好不好用没法判断，试用中效果也不好。
一个要值得注意的改变：随着教材内容的调整，数学归纳法这一方法的重心已经从“怎么用，高难度的用”向“意识到可用”转移，实际的应用技巧和难度已经大大降低。
如何促进学生对数学归纳法原理的理解是数学归纳法教学的重点也是一贯的一个难点.我国传统教学中主要采用两条途径：一是运用多米诺骨牌直观类比；二是通过变式练习，引导学生对数学归纳法原理进行自我反思，促进对原理的理解.这两条途径的优点是教师便于操作，学生易于接受，对促进学生对数学归纳法原理的初步理解和熟练运用有较大帮助，特别体现在学生对数学归纳法的使用技巧掌握上.因为以上两种途径都以学生的自我领悟为基础，特别是多米诺骨牌的直观呈现还是属于“顺序结构”，缺乏对数学归纳法内含的“循环结构”的本质体现，所以对很多同学而言，难以消除他们对“为什么可以假设P(k)成立”的疑惑，也难以促成他们对数学归纳法原理中“循环递推”本质的深层次理解，容易使学生对数学归纳法的应用停留在规范的低水平重复操作上，特别在怎样类型的题目适合用数学归纳法上，学生容易产生困难，也不易使学生创造性地使用数学归纳法.
美国的Dubinsky曾通过让学生掌握SETL语言，并借助计算机编程练习来帮助学生对数学归纳法原理的深层次理解，取得较好效果.但由于学生对SETL语言的学习和熟练本身也需要一个过程，所以这一教学方法延长了数学归纳法学习的时间，降低了教学效率，并没有被广泛采用.
最近新课程标准中新增的“算法初步”内容给予我们启示：我们可以借鉴Dubinsky的教学方法，同时利用算法初步知识来克服教学效率低下的不足.
案例3 数学归纳法教学的一种创新设计和实践
3.1 引入（略）
3.2 创设情境，构建数学归纳法证题思想
⑴ 问题1：设计一个计算12+22+32+…+1002的值的算法，并画出程序框图.
算法分析：需要一个累加变量和计数变量，将累加变量的初始值设为0，计数变量的值从1～100，具体步骤如下：
第一步：令i=1，sum=0.
第二步：判断i是否小于等于100，若不是，则输出sum的值；若是，则令sum=sum+i*i，i=i+1.
第三步：重复第二步.
程序框图为：
⑵ 变式1：设计一个计算12+22+32+…+10002的值的算法，并画出程序框图.
发现只需将⑴中的100改成1000即可.
⑶ 变式2：那么12+22+32+…+n2(n为某一正整数)呢？
⑷ 分析、归纳（学生概括，教师补充）：一般12+22+32+…+n2的值的算法只需将⑴中的100改成n即可，程序框架图中虚线框内的循环体不变，实质是一个反复执行的步骤，形成不断累加的循环过程.从算法的步骤看，实际已将12+22+32+…+n2的计算过程浓缩为两步：一是初始值的赋予；二是循环体的循环累加.
⑸ 问题2(教师提出并适当引导)：前人已经获得了一个可直接求得上述平方和的公式，即12+22+32+…+n2=.（教师验证n=1，n=2成立后启发）由于等式涉及的正整数n有无限多个，无法一一验证，如果我们要验证上述等式对一切正整数n成立，前面的算法设计能给予我们怎样的启发？
⑹ 发现（学生归纳，教师补充）：在验证n=1成立后，再验证+(k+1)2=即可.
⑺ 解释（针对有疑惑的同学，由学生解释，教师补充）：类比算法设计中的循环体，+(k+1)2=实质形成一个循环过程，即n=k时等式成立则n=k+1时等式也成立，结合已验证的n=1时等式成立这一结果，形成一个递推链：n=1时等式成立n=2时等式成立 n=3时等式成立……，从而验证了对一切正整数n等式成立.
⑻ 形成证明：（学生叙述，教师书写补充）当n=1时，左式=12=1，右式==1，所以n=1时等式成立，又因为+(k+1)2=，所以对一切正整数n等式成立.
⑼ 与教材中的证明过程的比较与讨论（学生概括，教师补充）：两个证明过程的本质一致；⑻的证明过程中的“+(k+1)2=”，在教材的证明中实际为步骤二：假设当n=k时等式成立，就是12+22+32+…+k2=，那么12+22+32+…+(k+1)2=……=.也就是说，当n=k+1时等式也成立.教材的这种处理在形式上似乎有更为繁琐的嫌疑，但这样的处理更具有普遍意义，也更容易帮助同学形成规范.
⑽ 归纳总结用数学归纳法证明一个关于正整数n的命题的一般步骤.（下略）
这里对学生数学归纳法使用状况的调查结果以及高三综合卷中归纳法的考查现实，反映了现实课堂教学的不足和教学目标的一定偏离，为后续的改进提供了依据。
可行性思考案例及分析
从调查看，对于教学，也存在着不讲比讲好和滞后讲比先前讲好的现象。
我们仍以具体的例子来说明
案例2 题“已知函数y=logm(x2+ax+1)的值域为R，试求实数a的取值范围”有关教学和调查分析
2.1 帮助学生克服解题困难的教学设计和教学过程（到目前较为认可的一个案例）：
2.2.1 特例铺垫
例1：试判断下列函数的定义域和值域是否为R，并进一步探究函数中定义域为R和值域为R之间的关系：①y=log2(x2+2)；②y=log0.5(x2+2)；③y=loga(x2+2)；④y=log2(x2+2x)；⑤y=loga(x2+2x).
设计目的：通过以上复合函数特例，让学生直观感悟以下两点：一是二次项系数为正数的二次函数与对数函数复合形成的函数中，定义域为R的复合函数的值域一定不为R，定义域不为R的复合函数的值域一定为R；二是复合函数的值域是否为R与底a的值是否大于1无关。以上两点也是针对学生解题中易被定义域和字母a干扰这一特点设计的。
2.2.2 正面分析
例2：函数y=logmu的值域为R，则u应满足怎样的条件？
例3（例2解答完成后给出）：函数u＝x2+ a x+1中，u要取到（0，+）内的所有值，则a的取值范围是什么？
说明：运用函数图象，借助数形结合分析。
设计目的：分散难点，层层推进。
2.2.3总结升华
结论一：二次项系数为正数的二次函数与对数函数复合形成的函数中，值域为R与定义域不为R等价；
结论二：二次项系数为正数的二次函数与对数函数复合形成的函数中，值域为R与对应二次函数的△≥0等价.
说明：结论一消除了部分学生对于解答中不用考虑定义域的疑惑，排除了定义域对解答的干扰；结论二给予了一个明确的问题解答结论.
2.2.4错解辩析
错解呈现：有同学从复合函数定义域角度出发思考，认为真数位置的x2+ax+1应大于0，所以答案应是△<0。请问这位同学的思考是否正确，如果你认为这位同学的解法是错误的，请简要说明错误原因。
设计目的：进一步消除学生“为什么不用考虑定义域”的疑惑。
2.2.5变式练习
题1：① 若函数y=logm(ax2+ a x+1) 的值域为R，试求实数a的取值范围；
② 若函数y=loga(ax2+ a x+1) 的值域为R，试求实数a的取值范围；
③ 若函数y=log2a-1(ax2+ a x+1) 的值域为R，试求实数a的取值范围；
设计目的：通过“形似题”的变式练习，在变与不变的辩析中，巩固此类问题解题方法，同时实现解法的举一反三。
2.2.6一般拓展
题2：讨论形如y=logg(a)[M(a)x2+N(a)x+P(a)]的函数值域为R时，g(a)，M(a)，N(a)和P(a)应满足的条件.
设计目的：对题的一般形式的拓展讨论，达到两个目的：一是提高学生归纳能力；二是形成结论，提高考试效率。
2.3 设计思路特点归纳
案例中的题目，学生最多的错解是“用△<0去求a的取值范围”，最大的疑惑是“正解用△≥0求a的取值范围，为什么不用考虑定义域”。所以上述设计思路正是立足于学生解题时的疑点和难点，以教师多年的教学经验积累为基础，按照题目的知识结构（见右图），层层展开，有效地帮助学生建立了这一类型题目的程式化运算，具体有以下设计特点：
2.3.1运用辩析，正本清源
“辩析”是中学数学教学中教师常用的教学手段，教学过程中设计者连续运用了“对比辩析”和“错解辩析”。
针对学生“正解用△≥0求a的取值范围，为什么不用考虑定义域”的疑惑，设计者设计了“特例铺垫”这一过程，通过对比让学生认识到“二次项系数为正数的二次函数与对数函数复合形成的函数中，定义域为R的复合函数的值域一定不为R，定义域不为R的复合函数的值域一定为R”这一事实，为后续的正解排疑解惑做好了铺垫工作。
针对学生“用△<0去求a的取值范围”这一常见错误，设计者设计了“错解辩析”这一教学过程，进一步消除学生“为什么不用考虑定义域”的疑惑。
两个辩析设计，立足教师对学生常见错误的了解（这也正是我们教师的优点所在），为学生认清错误，回归正途起到了积极的作用。
2.3.2分散难点，层层推进
与国外同层次的中学数学教师相比，我们的数学教师的解题能力更为突出，对题本身的知识结构的了解也更为深入，正是基于这一点，我们的数学教师运用“分散难点，层层推进”的教学方法往往会显得比较得心应手。
对于案例所给出的题目，正解主要涉及以下推理过程和依据：⑴ 要使复合函数值域为R，u应取得到（0，+）内的所有值，即函数u＝x2+ax+1的值域应包含所有正实数，主要依据为：对数函数y=logmu的定义域为（0，+），值域为全体实数，且函数在定义域内为单调函数；⑵ 要使函数u＝x2+ax+1的值域应包含所有正实数，所以△≥0，主要依据为：函数u＝x2+ax+1的图象与x轴至少应有一交点。设计者正是立足以上知识结构，结合学生疑点，各个击破，层层推进。
2.3.3变式巩固，凸现主旨
变式练习的其中一个作用是在变与不变中凸现某类问题的主要解决方法，促成学生对这种方法的掌握，并提醒学生在掌握主要方法的同时注意其它的影响因素，从而实现学生对这类问题解决方法的全面掌握。上述“变式练习”这一环节也是基于这一点的一个设计，也是教学中普遍运用的一种教学方法。
2.3.4适度拓展，形成结论
由于对考试的关注，在解题教学中，教师一般最终都会针对某一类题的题目，形成一个总结性的结论。我们先不论这种做法的优劣，单从考试的角度看，这确实是一种行之有效的方法，也是我们学生考试成绩优秀的原因之一。上述设计也没有回避这一点，在“一般拓展”这一环节中，通过对案例中给出题目的一般情形的讨论，使学生对此类问题的不同情形有了对应的固定结论。在考试中，学生只要背出结论，就会得到正确的答案，即使不理解也无关紧要，就如我们会操作计算机，但并不懂计算机的工作原理一般。
上述四个设计特点，是我们中学一线数学教师在解题教学中普遍使用的教学方法，是教师集体智慧的结晶，符合张奠宙教授提出的“记忆通向理解，速度赢得效率，严谨形成理性，重复依靠变式”4个方面的双基数学教学理论特征[5]，是双基数学教学理论在实践中的具体化。
2.4 对设计和教学过程的再思考
调查中发现，每届学生都会对这类问题产生理解上的困难，但高三却相对容易理解。
2.4.1 函数概念的二重性问题
Sfard(1991,1994)等人研究认为，数学中，特别是代数中，许多概念既表现为一种过程、算法、操作，又表现为对象、结果、结构。如函数，既代表定义域中的元素按对应法则与值域中元素作对应的过程，又代表特定对应的关系结构。学生形成一个概念，往往要经历由过程到对象的认知过程，而且只有当概念进入对象状态，呈现为静态结构时，一个完整的概念才在学生头脑中定型，并在适当的时机发挥作用。案例中的题目，绝大部分老师是在高一《对数函数》章节新课内容完成后，复习时让学生练习的题目。这一时段，大部分学生对函数概念的认知水平，正处在过程到对象的过渡时期，另一方面学生接触复合函数概念的时间也不长，这些上述分析表明，学生解题时的困难，除了知识和方法上的缺陷造成的困难，还存在由于认知水平不足造成的困难。
2.4.2 学生认知水平发展的局限性
Piaget的认知发展理论指出学生认知水平的发展组成几个不同的阶段，由低到高排列。也就是说学生思维发展具有阶段性，会随着年龄的不同而不同。如少年期（11，12～14，15岁），即初中生，主要是以经验型为主的抽象逻辑思维（简称经验型思维），也就是说，这时学生的抽象逻辑思维水平虽有很大的提高，但还需要具体形象或经验的直接支持，而且初一到初三年级的情况也很不相同，其中初二年级是一关键时期，这个时期的学生处于思维发展的转折点，表现为经验型思维向理论型思维转化。青年时期（14，15～17，18岁），即高中生，主要是以理论型为主的抽象逻辑思维（简称理论型思维），也就是说，这时学生的抽象逻辑思维，可以摆脱具体事实形象，具有较高的抽象概括水平，而且开始形成辩证思维。同时考虑到高一年级是学生由初中到高中的过渡时期，在许多方面高一学生与初三学生具有相似性。这一理论表明，教学应符合学生认知发展规律。
案例题目中，设函数y= x2+3x-a的值域为T，则以上问题解决另一个关键是要理解“（0,+）T”与“函数y=lg(x2+3x-a)的值域为R”的等价性，这一步事实学生是承认的、明确的，但学生经验中这里是要考虑定义域的，为什么解法实际与定义域无关，学生始终想不通，具有难以描述的难点。也就是说，刚学习对数函数的学生还不足以成熟到理解这一问题，所以教师给出上述例题的时机还不成熟。如果，这个例题放到高三，学生很容易理解，这时大部分的学生已经成熟到能理解这一问题。可行性分析，使得很多教师困惑的问题得以澄清，提高了教师教学的针对性和有效性。
2.5 建议
这类题目高一可以不讲，在高三时，让学生去做。前面我们化了九牛二虎之力，帮助学生掌握这类题型的解法。其实就如我们用电脑，不懂原理，但仍可熟练运用。
学生基础确定案例及分析
1．学生基础确定。学生现有的基础决定了教学的起点、目标和教学的重点，这种基础应包括知识水平和能力水平两部分。我们在某一内容的教学开始前，对学生的基础进行简单但有效的调查，并将调查的结果与教案内容有机结合，实践中这一行动取得很好的效果。
我们以最值的有关调查和根据调查对课堂教学的改进案例来加以具体说明。
1.1 传统的函数最值教案和课堂教学实录片断
1.1.1 教案片断
例1：观察函数y=x2－2x－3在下列范围内时的图象特征，并求出其最值。
⑴x∈[－4, －1] ⑵x∈[－4,5] ⑶x∈[4,6] ⑷x∈[a,b]
归纳总结：一元二次函数在指定区间求最值的方法：
⑴ 对称轴不过指定区间，利用函数单调性求最值。
⑵ 对称轴过指定区间，在顶点处求到一个最值，另一最值只须比较端点处函数值的大小。
练习（略）
例2：求函数的最值。
归纳总结：用判别式法——若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的的值。
练习（略）
1.1.2 教学过程片断
⑴学生试做；⑵教师讲解；⑶共同归纳小结；⑷练习巩固。
1.1.3 教案的课堂实施事实
在实际课堂教学中，一般教师会结合自身拥有的经验（默会知识）开展教学，如学生在这里可能会出错，学生这个知识点可能会出现理解上的问题等等。其中的经验主要来自两个方面：自身实践和同行交流。
但教师很少会有意识深入去调查、了解以下情况：我们所讲的例题，所要教学的内容目前是否适合学生；如果适合，学生又对要学习的内容了解或掌握了多少；同一内容，对现在的学生，通过教学应该达成怎样的目的。
1.2 根据调查结果对上述教案和课堂教学不足的分析
上述教学过程有着明显的让学生模仿着解题的痕迹。结合前面提到的对高一学生最值概念的调查，我们认为：⑴ 高一最值教学中，传统课堂上简单归类式教学，会无意识强化学生“机械模仿”学习方式；⑵ 要帮助学生构筑起最值的上位概念，确立学生求最值的基本策略，提高学生自我判断和解题时的决策能力，如例1，对于高一学生，首先要确立学生利用函数的单调性解题的解题策略，其次是一元二次函数类型最值的结论；⑶ 系统归类和“变式”练习要注意时机和针对性，达到有利巩固、有效巩固的目的。
1.3 改进后的课堂教学片断和教案
1.3.1 改进后的课堂教学过程
⑴ 学生试做；⑵ 教师讲解；⑶ 寻找解题依据（可以让独立完成的同学自己讲讲依据）；⑷ 总结解题的策略，并根据解题实践经验，归纳函数最值概念；⑸ 归纳解题步骤；⑹ 变式练习。
1.3.1 教案的改进
⑴ 增加了学生对最值概念，求最值策略等知识内容，与解题步骤、解题方法相比，这是两种不同层次的知识；
⑵ 增加了寻找解题依据过程。
打个比方来说明调查前后我在教学中作了哪些改进：很多老师都会打蓝球和羽毛球，但很少有人把两者联系起来，为什么？因为一般我们是独立通过“简单模仿”获得单手投篮或挥拍技能的，但如果在告诉选手正确的动作要领的基础上，同时告诉选手为什么要这样（技能的上位概念），当选手们理解了用腰部带动大臂再带动小臂的发力原理后，会发现单手投篮发力和羽毛球挥拍发力原理是一样的，而且举一反三会发现网球等发力也一样。当然一定量的练习是不可少的。
调查前的教学：我们理所当然地认为最值概念学生应该是掌握的，会解题学生自然会掌握解题方法策略，就如模仿着学打篮球和打羽毛球；
调查后的教学：我们不但要学生模仿，还让学生理解道理，形成能力。
情境设计的有效性思考案例及分析
问题：为什么不用数学归纳法？
调查事实：高三综合卷中的数列问题，用数学归纳法证题的学生不多。不用的原因：用数学归纳法心理不踏实；好不好用没法判断，试用中效果也不好。
一个要值得注意的改变：随着教材内容的调整，数学归纳法这一方法的重心已经从“怎么用，高难度的用”向“意识到可用”转移，实际的应用技巧和难度已经大大降低。
如何促进学生对数学归纳法原理的理解是数学归纳法教学的重点也是一贯的一个难点.我国传统教学中主要采用两条途径：一是运用多米诺骨牌直观类比；二是通过变式练习，引导学生对数学归纳法原理进行自我反思，促进对原理的理解.这两条途径的优点是教师便于操作，学生易于接受，对促进学生对数学归纳法原理的初步理解和熟练运用有较大帮助，特别体现在学生对数学归纳法的使用技巧掌握上.因为以上两种途径都以学生的自我领悟为基础，特别是多米诺骨牌的直观呈现还是属于“顺序结构”，缺乏对数学归纳法内含的“循环结构”的本质体现，所以对很多同学而言，难以消除他们对“为什么可以假设P(k)成立”的疑惑，也难以促成他们对数学归纳法原理中“循环递推”本质的深层次理解，容易使学生对数学归纳法的应用停留在规范的低水平重复操作上，特别在怎样类型的题目适合用数学归纳法上，学生容易产生困难，也不易使学生创造性地使用数学归纳法.
美国的Dubinsky曾通过让学生掌握SETL语言，并借助计算机编程练习来帮助学生对数学归纳法原理的深层次理解，取得较好效果.但由于学生对SETL语言的学习和熟练本身也需要一个过程，所以这一教学方法延长了数学归纳法学习的时间，降低了教学效率，并没有被广泛采用.
最近新课程标准中新增的“算法初步”内容给予我们启示：我们可以借鉴Dubinsky的教学方法，同时利用算法初步知识来克服教学效率低下的不足.
1 数学归纳法教学的一种创新设计和实践
1.1 引入（略）
1.2 创设情境，构建数学归纳法证题思想
⑴ 问题1：设计一个计算12+22+32+…+1002的值的算法，并画出程序框图.
算法分析：需要一个累加变量和计数变量，将累加变量的初始值设为0，计数变量的值从1～100，具体步骤如下：
第一步：令i=1，sum=0.
第二步：判断i是否小于等于100，若不是，则输出sum的值；若是，则令sum=sum+i*i，i=i+1.
第三步：重复第二步.
程序框图为：
⑵ 变式1：设计一个计算12+22+32+…+10002的值的算法，并画出程序框图.
发现只需将⑴中的100改成1000即可.
⑶ 变式2：那么12+22+32+…+n2(n为某一正整数)呢？
⑷ 分析、归纳（学生概括，教师补充）：一般12+22+32+…+n2的值的算法只需将⑴中的100改成n即可，程序框架图中虚线框内的循环体不变，实质是一个反复执行的步骤，形成不断累加的循环过程.从算法的步骤看，实际已将12+22+32+…+n2的计算过程浓缩为两步：一是初始值的赋予；二是循环体的循环累加.
⑸ 问题2(教师提出并适当引导)：前人已经获得了一个可直接求得上述平方和的公式，即12+22+32+…+n2=.（教师验证n=1，n=2成立后启发）由于等式涉及的正整数n有无限多个，无法一一验证，如果我们要验证上述等式对一切正整数n成立，前面的算法设计能给予我们怎样的启发？
⑹ 发现（学生归纳，教师补充）：在验证n=1成立后，再验证+(k+1)2=即可.
⑺ 解释（针对有疑惑的同学，由学生解释，教师补充）：类比算法设计中的循环体，+(k+1)2=实质形成一个循环过程，即n=k时等式成立则n=k+1时等式也成立，结合已验证的n=1时等式成立这一结果，形成一个递推链：n=1时等式成立n=2时等式成立 n=3时等式成立……，从而验证了对一切正整数n等式成立.
⑻ 形成证明：（学生叙述，教师书写补充）当n=1时，左式=12=1，右式==1，所以n=1时等式成立，又因为+(k+1)2=，所以对一切正整数n等式成立.
⑼ 与教材中的证明过程的比较与讨论（学生概括，教师补充）：两个证明过程的本质一致；⑻的证明过程中的“+(k+1)2=”，在教材的证明中实际为步骤二：假设当n=k时等式成立，就是12+22+32+…+k2=，那么12+22+32+…+(k+1)2=……=.也就是说，当n=k+1时等式也成立.教材的这种处理在形式上似乎有更为繁琐的嫌疑，但这样的处理更具有普遍意义，也更容易帮助同学形成规范.
⑽ 归纳总结用数学归纳法证明一个关于正整数n的命题的一般步骤.（下略）
这里对学生数学归纳法使用状况的调查结果以及高三综合卷中归纳法的考查现实，反映了现实课堂教学的不足和教学目标的一定偏离，为后续的改进提供了依据。

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